化工機械第3章平面彎曲

1、第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.1.平面彎曲平面彎曲化工設備機械基礎化工設備機械基礎第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.2.主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.1 3.1 彎曲變形的實例和概念彎曲變形的實例和概念3.2 3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析直梁彎曲的內(nèi)力分析3.3 3.3 平面彎曲的應力計算平面彎曲的應力計算第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.3. 熟悉直梁彎曲的內(nèi)力分析方法熟悉直梁彎曲的內(nèi)力分析方法 熟練掌握剪力圖和彎矩圖的繪制熟練掌握剪力圖和彎矩圖的繪制基本基本要求要求重點重點難點難點l剪力圖和彎矩圖剪力圖

2、和彎矩圖第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.4.【本節(jié)內(nèi)容】【本節(jié)內(nèi)容】1 1、彎曲和平面彎曲的概念；、彎曲和平面彎曲的概念；2 2、梁的概念及其種類；、梁的概念及其種類；3 3、梁的內(nèi)力、梁的內(nèi)力Q Q、M M的分析；的分析；4 4、Q Q（x x）、M M（x x）及及Q Q、M M圖。圖。【目的、要求】【目的、要求】1 1、了解梁上載荷及支座簡化的方法；、了解梁上載荷及支座簡化的方法；2 2、能熟練準確地計算梁支座反力；、能熟練準確地計算梁支座反力；3 3、熟練掌握簡捷法求梁指定截面上的、熟練掌握簡捷法求梁指定截面上的內(nèi)力內(nèi)力Q Q、M M，以及建立，以及建

3、立Q Q（x x）、M M（x x）方方程和繪制程和繪制Q Q、M M圖的方法。圖的方法?！局攸c、難點】【重點、難點】【重點】【重點】：用簡捷法求梁指定截面上的內(nèi)力：用簡捷法求梁指定截面上的內(nèi)力Q Q、M M，以及建立，以及建立Q Q（x x）、M M（x x）方程和繪制方程和繪制Q Q、M M圖；圖；【難點】【難點】：用簡捷法求梁指定截面上的內(nèi)力：用簡捷法求梁指定截面上的內(nèi)力Q Q、M M 時外力正負號的判斷。時外力正負號的判斷。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.5.3.1 3.1 彎曲變形的實例和概念彎曲變形的實例和概念桿件的彎曲變形也是工程中最常見的一種基

4、本變形形式。如：桿件的彎曲變形也是工程中最常見的一種基本變形形式。如：房屋建筑中的樓面梁房屋建筑中的樓面梁(圖圖5-1a)。火車輪軸火車輪軸(圖圖5-1b)。一、彎曲變形一、彎曲變形第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.6.(請看動畫請看動畫)第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.7.扁擔抬水扁擔抬水(圖圖5-1c)跳水板跳水板(圖圖5-1d)第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.8.橋式吊車的大梁橋式吊車的大梁(圖圖5-1e)。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.9.第第3 3章

5、章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.10.l外力特點：外力特點：構件都可以簡化為一根直桿；外力都垂直于桿的軸線。構件都可以簡化為一根直桿；外力都垂直于桿的軸線。l變形特點：變形特點： 在外力作用下桿的軸線由直線變?yōu)榍€在外力作用下桿的軸線由直線變?yōu)榍€彎曲彎曲。 通常把僅受彎曲變形的桿件稱為通常把僅受彎曲變形的桿件稱為梁梁(girder)。二、平面彎曲二、平面彎曲若作用在梁上的外力若作用在梁上的外力( (包括力偶包括力偶) )都位于都位于縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且力的作用線垂直內(nèi)，且力的作用線垂直于梁的軸線，梁的軸線將彎曲成一條仍位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，這種于梁的軸線，梁

6、的軸線將彎曲成一條仍位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，這種彎曲稱為彎曲稱為平面彎曲平面彎曲（plane bending)?？v向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面：梁橫截面對稱：梁橫截面對稱軸與軸線構成軸與軸線構成 的平面，如圖示。的平面，如圖示。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.11.三、靜定梁的基本形式三、靜定梁的基本形式1 1、懸臂梁、懸臂梁(cantilever girder)：一一端為固定端，另一端為自由端的梁端為固定端，另一端為自由端的梁( (右圖所示右圖所示) )。2 2、簡支梁：、簡支梁：一端為固定鉸鏈支座，一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座的梁另一端為活動鉸鏈支座

7、的梁( (右圖右圖所示所示) ) 。3 3、外伸梁：、外伸梁：從簡支梁的一端或兩端從簡支梁的一端或兩端伸出支座之外的梁伸出支座之外的梁( (右圖所示右圖所示) ) 。mP第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.12.3.23.2、直梁彎曲的內(nèi)力分析、直梁彎曲的內(nèi)力分析右圖所示，承受集中力右圖所示，承受集中力P1、P2作用作用的簡支梁的簡支梁AB保持平衡，求任意截面保持平衡，求任意截面11的內(nèi)力。的內(nèi)力。根據(jù)整個梁的平衡條件，先求出梁在根據(jù)整個梁的平衡條件，先求出梁在載荷作用下的支反力載荷作用下的支反力RA和和RB。假想沿橫截面假想沿橫截面1-1將梁截開分成左、將梁截開

8、分成左、右兩段，取左段梁為研究對象。右兩段，取左段梁為研究對象。P P1P P2R RBa a1a a2P P1P P2R RAR RBABx xR RAx x一、梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力一、梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.13.彎矩彎矩M，其力偶面垂直于橫截面，其力偶面垂直于橫截面，稱為稱為彎矩彎矩(bending moment) 。取截面中心取截面中心C1為力矩點，由平衡方程為力矩點，由平衡方程AARQQRY 0 0 xRMxRMMAAC 001剪力剪力Q，其作用線平行于外力并通過，其作用線平行于外力并通過截面形心截面形心(沿截面作用沿

9、截面作用)，故稱為，故稱為剪力剪力(shearing force) 。P P1P P2R RBQQMMR RAx xM MC1內(nèi)力分析內(nèi)力分析Q Qa a1a a2P P1P P2R RAR RBAB第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.14.Q、M正負號的規(guī)定正負號的規(guī)定1 1、對于剪力、對于剪力Q Q以該截面（如以該截面（如n-nn-n）為界，如左段相對右段向上滑移）為界，如左段相對右段向上滑移（簡稱（簡稱），則），則；反之為負。；反之為負。2 2、對于彎矩、對于彎矩MM若梁在該截面附近彎成若梁在該截面附近彎成，則，則；反之為負。反之為負。第第3 3章章 平面彎

10、曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.15.簡捷法求Q、M左或右外左或右PMPQCm第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.16.如何根據(jù)外力的方向確定如何根據(jù)外力的方向確定Q Q、M M的正負號的正負號( (即即P P外外的正負號的正負號)?)?1 1、對于剪力、對于剪力Q Q P P外外左上、右下左上、右下為正；反之為正；反之左下、右上左下、右上為負。為負。2 2、對于彎矩、對于彎矩MM外力（包括力偶）對截面形心的力矩為外力（包括力偶）對截面形心的力矩為左順、右逆左順、右逆，為正；反之為正；反之左逆、右順左逆、右順為負。為負。反之為負?！白箜樣夷妗睘檎瑸檎?/p>

11、，反之為負。布載荷）產(chǎn)生的所有向上的外力（分或外外mMP第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.17.例例3-1 3-1 吊車大梁的計算簡圖如圖示。梁的自重吊車大梁的計算簡圖如圖示。梁的自重q q668N/m668N/m，吊車的自重和吊，吊車的自重和吊重共為重共為P P10KN10KN，梁長，梁長l=10m=10m。試求當?shù)踯囆兄痢Ｔ嚽螽數(shù)踯囆兄罛 B端為端為l/4/4時，梁跨中央時，梁跨中央C C截面上截面上的剪力和彎矩。的剪力和彎矩。解：解：求支反力求支反力000240qlPRRYlqllPlRMBAAB 解得：解得：KN. KN.8410845BARR計算計算C

12、截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力(取取C截面截面左側是為研究對象左側是為研究對象)：mKN85.20422KN5 . 22QllqlRMlqRACACBP PAqC2l4llRARB第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.18.二、剪力方程和彎矩方程二、剪力方程和彎矩方程取梁的軸線為取梁的軸線為x軸（一般是以梁的左端作為坐標原點），坐標軸（一般是以梁的左端作為坐標原點），坐標x表示截面表示截面的位置，則的位置，則Q和和M可表示為可表示為x的函數(shù)：的函數(shù)： xMMxQQ表示了表示了Q和和M隨截面位置變化而變化的規(guī)律，分別稱為隨截面位置變化而變化的規(guī)律，分別稱為剪力方程剪力方程和和彎

13、矩方程彎矩方程。三、剪力圖和彎矩圖三、剪力圖和彎矩圖把剪力和彎矩方程用其函數(shù)圖象表示，分別稱為把剪力和彎矩方程用其函數(shù)圖象表示，分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。作用：找到梁上最大剪力和最大彎矩處，以確定危險截面位置。作用：找到梁上最大剪力和最大彎矩處，以確定危險截面位置。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.19.四、剪力圖和彎矩圖的繪制四、剪力圖和彎矩圖的繪制對于一般的情況，繪制剪力圖或彎矩圖的具體步驟可以概括如下：對于一般的情況，繪制剪力圖或彎矩圖的具體步驟可以概括如下：根據(jù)梁上的荷載和支座情況，求出支座反力。根據(jù)梁上的荷載和支座情況，求出支座反力。根據(jù)荷

14、載和支座反力的情況，列出剪力方程和彎矩方程。當梁上受有根據(jù)荷載和支座反力的情況，列出剪力方程和彎矩方程。當梁上受有幾個外力幾個外力(包括集中力、集中力偶、分布力等包括集中力、集中力偶、分布力等)作用時，在各個外力之作用時，在各個外力之間的每一段梁的剪力方程和彎矩方程都互不相同，這時需要對每一段間的每一段梁的剪力方程和彎矩方程都互不相同，這時需要對每一段分別列出其剪力方程和彎矩方程。分別列出其剪力方程和彎矩方程。（即分段列（即分段列Q（x）和和M（x） 根據(jù)剪力方程根據(jù)剪力方程(或彎矩方程或彎矩方程)作出剪力圖作出剪力圖(或彎矩圖或彎矩圖)。下面分析幾個實例下面分析幾個實例第第3 3章章 平面彎

15、曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.20.例例3-2 3-2 懸臂梁懸臂梁ABAB，長，長l，受力，受力P P作用，試繪制其剪力、彎矩圖。作用，試繪制其剪力、彎矩圖。解：解：求支反力（略）。求支反力（略）。建立剪力方程和彎矩方程建立剪力方程和彎矩方程以梁的左端為原點，沿梁軸線作以梁的左端為原點，沿梁軸線作x軸，得軸，得lx0 lx0 PxMPQ繪制繪制Q、M圖圖Q（x）是一常數(shù)，故為一水平線，）是一常數(shù)，故為一水平線，縱坐標為縱坐標為P。M（x）為為x的一次式，表示彎矩的一次式，表示彎矩M沿軸向呈線性變化，故沿軸向呈線性變化，故M圖為一斜直線，圖為一斜直線，由方程式確定兩點坐標：由方程

16、式確定兩點坐標：x0，M0；x=l，MPl lQ第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.21.例例3-3 3-3 圖示簡支梁圖示簡支梁ABAB，長，長l l，在，在C C點受集中力點受集中力P P作用，試列出梁的剪力方程和作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。x x1 1x x2 2lRARB解：解：以整體為研究對象以整體為研究對象求支反力。求支反力。 0 0 0 0PRRYPalRMBABA解得：解得：lPaRlPbRBA 分段建立剪力方程和彎矩方程：分段建立剪力方程和彎矩方程：由于由于C點有集中力點有集中力P作用

17、，作用，AC、CB段剪力和彎矩各不相同，故取段剪力和彎矩各不相同，故取C點為點為分段點，分段列方程如下分段點，分段列方程如下(以截面左側的外力計算以截面左側的外力計算Q、M）：）：第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.22.AC段：段：BC段：段： lx axllPaaxPxRxMlxalPaPRxQAA2222222 繪繪Q、M圖如圖示。圖如圖示。RARBaxxlPbxRxMaxlPbRxQAA1111110 0 第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.23.例例3-4 3-4 圖示簡支梁圖示簡支梁ABAB，長，長l l，在，在C C點受

18、集中力偶點受集中力偶 m m 作用，試列出梁的剪力方作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。RARB解：解：以整體為研究對象以整體為研究對象求支反力。求支反力。lmRRBA建立剪力方程和彎矩方程：建立剪力方程和彎矩方程： axxlmxRxMaxlmRxQAA1111110 0 ACAC段：段：第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.24.CB段：段：lx amxlmmxRxMlxalmRxQAA222222 繪繪Q、M圖如圖示。圖如圖示。RARBlmlmblma第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-1202

19、2-3-1.25.例例3-53-5圖示簡支梁圖示簡支梁ABAB，長，長l l，受向下的均布載荷，受向下的均布載荷q q 作用，試列出梁的剪力方程作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。解：解：以整體為研究對象以整體為研究對象求支反力。求支反力。qlRRBA21建立剪力方程和彎矩方程：建立剪力方程和彎矩方程： 222AAql812lxq21- qx21qlx212xqxxRxMqx ql21qxRxQ繪繪Q、M圖如圖示。圖如圖示。Q圖是斜直線，圖是斜直線，M圖是二次拋物線（只要確定三點即可繪制）。圖是二次拋物線（只要確定三點即可繪制）。第第3

20、3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.26.繪制剪力圖和彎矩圖的幾點規(guī)律繪制剪力圖和彎矩圖的幾點規(guī)律1.1.若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜 直線。直線。 2.2.若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。二次拋物線。3.3.梁上集中力作用處，剪力圖有突變，突變值為該集中力梁上集中力作用處，剪力圖有突變，突變值為該集中力大小，彎矩圖在此處有轉(zhuǎn)折。大小，彎矩圖在此處有轉(zhuǎn)折。4.4.梁上集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，梁上集中力偶作用

21、處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變值為該集中力偶的力偶矩。突變值為該集中力偶的力偶矩。5.5.剪力剪力Q=0Q=0處，彎矩有極值。處，彎矩有極值。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.27.例例3-6 3-6 圖示懸臂梁圖示懸臂梁ABAB，受向下的均布載荷，受向下的均布載荷q q 與集中力與集中力P Pqaqa的的作用，試列出作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。解：解：以整體為研究對象以整體為研究對象求支反力。求支反力。0 0023 02PqaRY qaPa mMAAA解得：解得：qaRqamAA

22、2 252 分段建立剪力方程和彎矩方程：分段建立剪力方程和彎矩方程：AB段：段：11211112 052 02AAAQ xRqaxaM xR xmqaxqaxa第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.28.BC段：段：ax a a-xqxMaxaxaqxQ2 222 22222222繪繪Q、M圖如圖示。圖如圖示。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.29.1.5.3 1.5.3 梁橫截面上的正應力梁橫截面上的正應力 梁在彎曲時橫截面上有剪力和彎矩。因此，橫截面上梁在彎曲時橫截面上有剪力和彎矩。因此，橫截面上有與這些內(nèi)力相對應的應力。一般情況

23、下，彎矩往往是引有與這些內(nèi)力相對應的應力。一般情況下，彎矩往往是引起梁破壞的主要原因，為了簡化計算，通常取純彎矩梁來起梁破壞的主要原因，為了簡化計算，通常取純彎矩梁來研究。所謂純彎矩，是指梁橫截面上只有彎矩，而剪力為研究。所謂純彎矩，是指梁橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲。零的彎曲。 對于受剪力或不受剪力作用的彎曲梁，其截面因彎曲對于受剪力或不受剪力作用的彎曲梁，其截面因彎曲而產(chǎn)生的正應力的計算公式為：而產(chǎn)生的正應力的計算公式為：第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.30.其中：其中：M Mz z橫截面上收到的彎矩，橫截面上收到的彎矩，NmNm I Iz z橫截面

24、的軸慣性矩，橫截面的軸慣性矩，m m4 4 y y所求點至該截面中性軸所求點至該截面中性軸Z Z的距離，的距離，m m Z Z軸軸梁彎曲時，即不伸長，也不縮短縱向?qū)恿簭澢鷷r，即不伸長，也不縮短縱向?qū)樱ㄖ行詫樱┡c橫截面相交的軸線。稱為中性軸（見圖）（中性層）與橫截面相交的軸線。稱為中性軸（見圖）由公式可知，最大應力發(fā)生在距中性軸最遠的點上，用由公式可知，最大應力發(fā)生在距中性軸最遠的點上，用y ymaxmax表示距中性軸最遠點的距離，截面上最大彎曲正應力的絕表示距中性軸最遠點的距離，截面上最大彎曲正應力的絕對值為對值為yIMzzzPa Pa （1-251-25）第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲20

25、22-3-12022-3-1.31.(請看動畫請看動畫)第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.32.常見截面的軸慣性矩和抗彎截面模量常見截面的軸慣性矩和抗彎截面模量maxzzmaxyIM （1-261-26）或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋簔zmaxWM （1-271-27）其中：其中： W Wz z梁上抗彎截面模量，梁上抗彎截面模量，m m3 3. .矩形截面：矩形截面：第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.33.12hbI3zh h 矩形截面的高矩形截面的高b b 矩形截面的寬矩形截面的寬6hbW2z圓形截面：圓形截面：64DI4z33zD1 . 0

26、32DW其中：其中：D D 圓環(huán)外徑圓環(huán)外徑 d d 圓環(huán)內(nèi)徑圓環(huán)內(nèi)徑圓環(huán)截面：圓環(huán)截面：)dD(64I44z)dD(D32W44zD D 圓形截面的直圓形截面的直徑徑第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.34.在實際計算中應用公式，可以不考慮在實際計算中應用公式，可以不考慮M M和和y y的正負號，都以其的正負號，都以其絕對值代入該式計算絕對值代入該式計算 的數(shù)值，然后根據(jù)的數(shù)值，然后根據(jù)M M圖的正負直接判斷圖的正負直接判斷 是是拉應力還是壓應力。即拉應力還是壓應力。即以橫截面的中性軸為界，以橫截面的中性軸為界，M M為正時，中性軸為正時，中性軸以下部分為拉應力

27、，以上部分為壓應力；以下部分為拉應力，以上部分為壓應力；M M為負時，則與其相反。為負時，則與其相反。也可根據(jù)梁的變形情況直接判斷（如下圖也可根據(jù)梁的變形情況直接判斷（如下圖3-73-7示）。示）。第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.35. 梁的抗彎截面模量梁的抗彎截面模量W Wz z的大小不僅與截面面積有關，而的大小不僅與截面面積有關，而且與截面形狀有關，合理選擇梁的截面形狀，可以大大提且與截面形狀有關，合理選擇梁的截面形狀，可以大大提高梁的抗彎強度，工程上常用的各種型鋼，其高梁的抗彎強度，工程上常用的各種型鋼，其W Wz z可從型鋼可從型鋼表中查取。表中查取。1.5.4 1.5.4 梁的彈性彎曲變形梁的彈性彎曲變形撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 對于梁在彎曲變形后對于梁在彎曲變形后, ,衡量其強度的條件是看其應力值衡量其強度的條件是看其應力值是否滿足要求是否滿足要求, ,衡量其剛度的條件是看其變形程度是否滿足衡量其剛度的條件是看其變形程度是否滿足允許變形值以內(nèi)允許變形值以內(nèi). .主要采用兩個值來衡量主要采用兩個值來衡量, ,即撓度和轉(zhuǎn)角即撓度和轉(zhuǎn)角. .第第3 3章章 平面彎曲平面彎曲2022-3-12022-3-1.36.撓度撓度：梁受力發(fā)生彎曲變形后，軸線上的點在垂直于：梁受力發(fā)生彎曲變形后，軸線上的點在垂直