函數的奇偶性及周期性（Word）

1、第六節(jié) 函數的奇偶性及周期性一、函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是偶函數關于y軸對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)是奇函數關于原點對稱二、周期性1周期函數對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期2最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期課前檢測1下列函數為偶函數的是()Aysin

2、xByx3Cyex Dyln 解析：選D四個選項中的函數的定義域都是R.ysin x為奇函數冪函數yx3也為奇函數指數函數yex為非奇非偶函數令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln為偶函數2已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數，那么ab 的值是()A B.C. D解析：選Bf(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x4)f(x)，則f(8)的值為()A1 B0C1 D22 / 22解析：選Bf(x)為奇函數且f(x4)f(x)，f(0)0，T4.f(8)f(0)0.

3、4若函數f(x)x2|xa|為偶函數，則實數a_.解析：法一：f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0，對于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05設函數f(x)x3cos x1.若f(a)11，則f(a)_.解析：觀察可知，yx3cos x為奇函數，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.則f(a)a3cos a11019.答案：9 1.奇、偶函數的有關性質：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件；(2)奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱；反之亦然；(3)若

4、奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0；(4)利用奇函數的圖象關于原點對稱可知，奇函數在原點兩側的對稱區(qū)間上的單調性相同；利用偶函數的圖象關于y軸對稱可知，偶函數在原點兩側的對稱區(qū)間上的單調性相反2若函數滿足f(xT)f(x)，由函數周期性的定義可知T是函數的一個周期；應注意nT(nZ且n0)也是函數的周期一、函數奇偶性的判斷例1設Q為有理數集，函數f(x)g(x)，則函數h(x)f(x)·g(x)()A是奇函數但不是偶函數B是偶函數但不是奇函數C既是奇函數也是偶函數D既不是偶函數也不是奇函數自主解答當xQ時，xQ，f(x)f(x)1；當xRQ時，xRQ，f(x)f(x)1.綜上

5、，對任意xR，都有f(x)f(x)，故函數f(x)為偶函數g(x)g(x)，函數g(x)為奇函數h(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f(x)g(x)h(x)，函數h(x)f(x)·g(x)是奇函數h(1)f(1)·g(1)，h(1)f(1)·g(1)1×，h(1)h(1)，函數h(x)不是偶函數答案A由題悟法利用定義判斷函數奇偶性的方法(1)首先求函數的定義域，定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要條件；(2)如果函數的定義域關于原點對稱，可進一步判斷f(x)f(x)或f(x)f(x)是否對定義域內的每一個x恒成立(恒

6、成立要給予證明，否則要舉出反例)注意判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(x)與f(x)的關系，只有對各段上的x都滿足相同的關系時，才能判斷其奇偶性以題試法1判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函數又是偶函數(2)f(x)的定義域為R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)為奇函數(3)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(4)

7、f(x)的定義域為R，關于原點對稱，當x>0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當x<0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當x0時，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數為奇函數二、函數奇偶性的應用例2(1)已知yf(x)x2是奇函數，且f(1)1.若g(x)f(x)2，則g(1)_.(2)設偶函數f(x)在(0，)上為減函數，且f(2)0，則不等式>0的解集為()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函數，且x1時，y2，當x1時，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(

8、1)f(1)21.(2)f(x)為偶函數，>0.xf(x)>0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上為減函數，故x(0,2)或x(，2)答案(1)1(2)B本例(2)的條件不變，若n2且nN*，試比較f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)為偶函數，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函數yf(x)在(0，)為減函數，且0<n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)f(n1)<f(n)<f(n1)f(1n)由題悟法函數奇偶性的應用(1)已知函數的奇偶性求函數的解析式利用奇偶性構造關于f(x)的方程

9、，從而可得f(x)的解析式(2)已知帶有字母參數的函數的表達式及奇偶性求參數常常采用待定系數法：利用f(x)±f(x)0產生關于字母的恒等式，由系數的對等性可得知字母的值(3)奇偶性與單調性綜合時要注意奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反以題試法2(1)已知函數f(x)為奇函數，則ab_.(2)已知定義在R上的奇函數滿足f(x)x22x(x0)，若f(3a2)>f(2a)，則實數a的取值范圍是_解析：(1)當x<0時，則x>0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1

10、，故ab0.(2)因為f(x)x22x在0，)上是增函數，又因為f(x)是R上的奇函數，所以函數f(x)是R上的增函數，要使f(3a2)>f(2a)，只需3a2>2a，解得3<a<1.答案：(1)0(2)(3,1)三、函數的周期性及其應用例3設函數f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數，當x0,1時，f(x)x1，則f_.自主解答依題意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，則fff1.答案由題悟法1周期性常用的結論：對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a；(2)若f(xa)，則T2a；(3)若f(xa)，則T2a.2周期性與奇偶性相

11、結合的綜合問題中，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節(jié)符號作用以題試法3設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式解：(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4課堂練習1下列函數中，既是奇函數又是減函數的是()Ayx3Bysin xCyx Dyx答案：A2

12、設f(x)是周期為2的奇函數，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f()A BC. D.解析：選A由題意得ffff.3已知函數f(x)x|x|2x，則下列結論正確的是()Af(x)是偶函數，遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數，遞減區(qū)間是(1,1)Df(x)是奇函數，遞增區(qū)間是(，0)解析：選C將函數f(x)x|x|2x去掉絕對值得f(x)畫出函數f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(1,1)上單調遞減4已知函數f(x)|xa|xa|(a0)，h(x)則f(x)，h(x)的奇偶性依次為()A偶函數

13、，奇函數 B奇函數，偶函數C偶函數，偶函數 D奇函數，奇函數解析：選Df(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，故f(x)為奇函數畫出h(x)的圖象可觀察到它關于原點對稱或當x>0時，x<0，則h(x)x2x(x2x)h(x)，當x<0時x>0，則h(x)x2x(x2x)h(x)x0時，h(0)0，故h(x)為奇函數5已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，當x0時，f(x)2x2xm(m為常數)，則f(1)的值為()A3 B1C1 D3解析：選A函數f(x)為定義在R上的奇函數，則f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.則f(x)2x2x1，f(1)212×

14、;113，f(1)f(1)3.6若函數f(x)為奇函數，則a()A. B. C. D1解析：選Af(x)是奇函數，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.7已知f(x)是偶函數，當x<0時，f(x)x2x，則當x>0時，f(x)_.解析：x>0，x<0，f(x)f(x)(x)2(x)x2x，故x>0時，f(x)x2x.答案：x2x8.定義在2,2上的奇函數f(x)在(0,2上的圖象如圖所示，則不等式f(x)>x的解集為_解析：依題意，畫出yf(x)與yx的圖象，如圖所示，注意到y(tǒng)f(x)的圖象與直線yx的交點坐標是和，結合圖象可知，f(x)>x的解集

15、為.答案：9已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，其最小正周期為3，且x時，f(x)log2(3x1)，則f(2 011)_.解析：f(2 011)f(3×6701)f(1)f(1)log2(31)2.答案：210已知函數f(x)x2(x0，常數aR)(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(1)2，試判斷f(x)在2，)上的單調性解：(1)當a0時，f(x)x2，f(x)f(x)，函數是偶函數當a0時，f(x)x2(x0，常數aR)，取x±1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函

16、數(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2.故x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在2，)上是單調遞增函數11已知函數f(x)是奇函數(1)求實數m的值；(2)若函數f(x)在區(qū)間1，a2上單調遞增，求實數a的取值范圍解：(1)設x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.

17、(2)要使f(x)在1，a2上單調遞增，結合f(x)的圖象知所以1a3，故實數a的取值范圍是(1,312已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且它的圖象關于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數；(2)若f(x)(0<x1)，求x5，4時，函數f(x)的解析式解：(1)證明：由函數f(x)的圖象關于直線x1對稱，得f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函數f(x)是定義在R上的奇函數，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(2)由函數f(x)是定義在R上的奇函數，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1

18、，f(x)f(x)，又f(0)0，故x1,0時， f(x).x5，4，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數f(x).課后練習1設f(x)是奇函數，且在(0，)內是增函數，又f(3)0，則x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3Bx|x<3，或0<x<3Cx|x<3，或x>3Dx|3<x<0，或0<x<3解析：選D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<3

19、2設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_解析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，從而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，從而a3b10.答案：103已知函數f(x)的定義域是(0，)，且滿足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果對于0<x<y，都有f(x)>f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x)2.解：(1)令xy1，則f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)f(3x)2f，f(x)ff(3x)f0f(1)，fff(1)，ff(1)，則解得1x<0.故不等式的解集為1,0)能力提升1已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)g(x)x，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大小關系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替換x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以f(x)f