函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（Word）

1、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）【專題要點(diǎn)】1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.高考資源網(wǎng)2. 了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖像的繪制過程3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.【考綱要求】高考資源網(wǎng)1通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模

2、型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；3通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；4通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；1通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；高考資源網(wǎng)（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。函數(shù)的三要素函數(shù)的表示法函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用初等函數(shù)基本初等函數(shù)：冪函數(shù) ； 二次函

3、數(shù)指數(shù)函數(shù)； 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)映射函數(shù)（2）通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；1 / 13【典例精析】1.函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化具體要求是：1正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證

4、明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性2從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意以下方面高考資源網(wǎng)1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點(diǎn)法和圖象變換法高考資源網(wǎng)2會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題3用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解

5、決數(shù)學(xué)問題4掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力例1、（2008廣東汕頭二模）設(shè)集合A=x|x1，B=x|log2x0，則AB=( ) Ax| x1Bx|x0Cx|x-1 Dx|x1【解析】:由集合B得x1 , AB=x| x1，故選（A） 。點(diǎn)評(píng)本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。例2、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是 （

6、 ） A B C D【解析】：選（B），在（B）中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短。點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分析問題的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視高考資源網(wǎng)例3、設(shè) ，又記則 （ ）A； B； C； D；【解析】:本題考查周期函數(shù)的運(yùn)算。，據(jù)此，因?yàn)樾停蔬x.高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)本題考查復(fù)合函數(shù)的求法，以及是函數(shù)周期性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察，關(guān)于總結(jié)、歸納，要有從特殊到一般的思想。例4、函數(shù)，若,則的值為 （ ）A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：為奇函數(shù)，又故即.點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通

7、過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學(xué)過的知識(shí)相聯(lián)系，使問題迎刃而解。例5、（2008廣東高考試題）設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性【解析】 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；高考資源網(wǎng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性，顯得更加簡單、方便高考資源網(wǎng)2.二次函數(shù)二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)

8、性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系. 這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ). 因此，從這個(gè)意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了. 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.例6、

9、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.【解析】：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知.， ，高考資源網(wǎng) 當(dāng)時(shí)，.高考資源網(wǎng)又， ，綜上可知，所給問題獲證. 高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式例7、設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根和滿足（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；高考資源網(wǎng)（II）試比較與的大小并說明理由【解析】法1：（）令，則由題意可得故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（II），令當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，高考資源網(wǎng)當(dāng)時(shí)，即法2：（I）同解法1高考資源網(wǎng)（II），由（I）知，又于是，即，故高考資源網(wǎng)法3：（I）方程，

10、由韋達(dá)定理得，于是故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是高考資源網(wǎng)（II）依題意可設(shè)，則由，得，故點(diǎn)評(píng)本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運(yùn)算能力3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)高考資源網(wǎng)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合運(yùn)用.Oyx例8、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（ ）高考資源網(wǎng)ABCD【解析】：由圖易得取特殊點(diǎn) .選A.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小例9、（2007全國高考試題）設(shè)，函數(shù)在區(qū)

11、間上的最大值與最小值之差為，則（）高考資源網(wǎng)A B CD【解析】：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，它們的差為， ，4，選D。例10、（2008全國高考試題）若，則（ ）ABC D 【解析】：由，令且取知4.反函數(shù)反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系 主要利用方法為：反函數(shù)的概念及求解步驟：由方程y=(x)中解出x=j(y)；即用y的代數(shù)式表示x.。改寫字母x和y，得出y=-1(x)；求出或?qū)懗龇春瘮?shù)的定義域，（亦即y=(x)的值域）。 即反解互換求定義域互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，高考資源網(wǎng)互為反函數(shù)的

12、兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系：注意：在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴(yán)格單調(diào)，如y=。例11、（2007北京高考試題）函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ窘馕觥浚汉瘮?shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)椋?選B。高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，即：反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域例12、（2008湖南高考試題）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn) .【解析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)得: 即函數(shù)過點(diǎn)則其反函數(shù)過點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)高考資源網(wǎng)點(diǎn)評(píng)：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移

13、5.抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，（一） 函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出

14、來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解題方法有:1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5，借助特殊點(diǎn)，布列方程等.（二 ）特殊化方法高考資源網(wǎng)1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成x等2、在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題，的解答提供思路和方法. 高考資源網(wǎng)總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究，采用特殊的方法

15、和手段求解，往往會(huì)收到事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的快感. 高考資源網(wǎng)例13、定義在上的函數(shù)滿足（），則等于（ ）高考資源網(wǎng)A2B3C6D9解：令，令；令得6.函數(shù)的綜合應(yīng)用高考資源網(wǎng)函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵例14

16、、某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？高考資源網(wǎng)（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=）【解析】：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得高考資源網(wǎng)則，令，即，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，高考資源網(wǎng)因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。點(diǎn)評(píng)：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決問題。利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域

17、或最值是一種常用的方法.例15、某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件. 如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件高考資源網(wǎng)（I）將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；（II）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？高考資源網(wǎng)本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力【解析】：（）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，則依題意有，又由已知條件，于是有，高考資源網(wǎng)所以（）根據(jù)（），我們有21200極小極大故時(shí)，達(dá)到極大值因?yàn)?，所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力7.函數(shù)的零點(diǎn)高考資源網(wǎng)例16、（2008山東荷澤模擬題）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ）AB（1，10）CD高考資源網(wǎng)解：因?yàn)閒（1）010，f（10）10，即f（1）f（10）0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,10）之間有零點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）f（b）0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，二分法，函數(shù)的應(yīng)用都是函數(shù)的重點(diǎn)