圓錐曲線講義一

1、課題：小結(jié)與復(fù)習(xí)（一） 教學(xué)目的：1 通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，使同學(xué)們完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它 們之間的區(qū)別與聯(lián)系，2通過本節(jié)教學(xué)使學(xué)生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是 解析幾何的基本方法一一坐標(biāo)法；并在教學(xué)中進(jìn)一步培養(yǎng)他們形與數(shù)結(jié)合的思 想、化歸的數(shù)學(xué)思想以及“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識(shí) .三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形、性質(zhì).做好思路分析，弓I導(dǎo)學(xué)生找到解題的落足點(diǎn) 新授課*1課時(shí)*3結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變化和對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)的教育*教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)： 授課類型： 課時(shí)安排： 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀* 內(nèi)容分析：?在學(xué)完橢圓、雙曲線、拋物線知識(shí)之后進(jìn)行必要的小結(jié)與復(fù)習(xí)，可以

2、梳理 知識(shí)要點(diǎn)，使學(xué)生從圓錐曲線這個(gè)整體高度來全面認(rèn)識(shí)三種曲線；同時(shí)也可以 對前面所學(xué)的各種解析幾何的基本方法進(jìn)行歸納整理.所以本節(jié)在全章教學(xué)中起著復(fù)習(xí)、鞏固和提高的作用 *橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過 程以及簡單的幾何性質(zhì)都存在著巨大的相似之處，也有著一定的區(qū)別.而前面只是它節(jié)逐個(gè)學(xué)完了三種曲線，還缺少對它們歸類比較，為了提高水平，使同學(xué) 們能夠完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系*本章介紹使用了較多的思想方法，其中的重點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與 化歸思想，坐標(biāo)法等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生解決解析幾何問題的基本技能和能力 的基礎(chǔ)+解析幾何

3、是最終能體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)與變化、對立與統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)的內(nèi)容之一 ，點(diǎn)與坐標(biāo)、方程與曲線之間的轉(zhuǎn)化與化歸給我們提供了良好的思想教育素材， 我們應(yīng)該給予充分的利用，達(dá)到應(yīng)有的教學(xué)效果本小結(jié)與復(fù)習(xí)可分為二個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)*第一課時(shí)主要講解課本上內(nèi)容，即：一、內(nèi)容提要；二、學(xué)習(xí)要求和需要注意的問題.第二課時(shí)則針對本章的訓(xùn)練重點(diǎn)，講解例題，進(jìn)行鞏固和提高*教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：_橢yx平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1, F2的距離的和為常數(shù)（大于F1F ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓*即MF1平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值為常數(shù)（?。┑膭?dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙標(biāo)準(zhǔn)方 程a,b,c的關(guān)系漸近線|MF22a當(dāng)2 a > 2 c

4、時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)2 a =2 c時(shí)，軌跡是一條線段FiF2當(dāng)2a < 2c時(shí)，軌跡不存在2焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：篤a2焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：芯a曲線.即 |MFJ |MF2|2a當(dāng)2a < 2c時(shí)，軌跡是雙曲 線當(dāng)2 a =2 c時(shí)，軌跡是兩條 射線當(dāng)2a > 2c時(shí)，軌跡不存在2 y b2隹八'、點(diǎn)在x軸上時(shí)：注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn) 在哪一坐標(biāo)軸上a2 c2 b2, a b 0,a 最大，c b, c b, c b2x""2a2y_2ac2點(diǎn)在y軸上時(shí)：a2b, a焦點(diǎn)在X y a b 焦點(diǎn)在b2, c a 0b, a bx軸上時(shí):y軸上時(shí):00橢

5、圓、雙曲線、拋物線分別是滿足某些條件的點(diǎn)的軌跡，由這些條件可以 求出它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過分析標(biāo)準(zhǔn)方程研究這三種曲線的幾何性質(zhì).1.橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間的距 離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡*22.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 篤a2y2a(a b 0)2x3.橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程篤a0)（1）范圍：a x a, b y b，橢圓落在xa,yb組成的矩形中.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱*原點(diǎn)對稱性：圖象關(guān)于y軸對稱.圖象關(guān)于x軸對稱.叫橢圓的 對稱中心，簡稱中心.x軸、y軸叫橢圓的對稱軸.從橢圓的方 程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距.（3）頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)+橢圓共

6、有四個(gè)頂點(diǎn)：A （ a,0）, A2（a,0） , B （0, b）,B2（0,b）*加兩焦點(diǎn)Fi（ c,0）, F2（c,0）共有六個(gè)特殊點(diǎn)AiA2叫橢圓的長軸，Bi B2叫橢圓的短軸.長分別為2a,2b*a,b分別為橢圓的 長半軸長和短半軸長橢圓的頂點(diǎn) 即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn)離心率：橢圓焦距與長軸長之比*e - e1（b）20 e 1.a¥ a橢圓形狀與e的關(guān)系：e 0,c0 ,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在 e 0時(shí)的特例*e1,ca,橢圓變扁，直至成為極限位置線段Fi F2，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在e 1時(shí)的特例*4橢圓的第二定義*： 一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和

7、它到一條定直線的距離的比是一個(gè)（0,1）內(nèi)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 *其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn) 線，常數(shù)e就是離心率*它是橢圓兩種不同的定義方式橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的,5.橢圓的準(zhǔn)線方程27十X對于二a2 y b21，左準(zhǔn)線11 : x2；右準(zhǔn)線12 : Xc1,下準(zhǔn)線11:2；上準(zhǔn)線丨2: yca2焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 Pa2a22.2cb一 （焦參數(shù)）c橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條, 軸對稱.這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短6.橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）r1 a ex0,（右焦半徑）其中e是離心率焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式:MF1 aMF2ey0（其中ey。F

8、1,F2分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無關(guān) 可以記為：左加右減，上減下加 -X a cos7*橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）*y bsi n2a這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2X2a2詁1（a0, b 0）；2焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：a1（a 0,b 0）2（2） a,b,c有關(guān)系式c2 2 、 a b成立,0,b 0,c0*其中a與b的大小關(guān)系:可以為a b, ab,a b*10*焦點(diǎn)的位置：從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字2 2母X、y項(xiàng)的分母的大小來確定，分母大的項(xiàng)對應(yīng)的字母所在的軸就是焦

9、點(diǎn)所在的軸而雙曲線是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置,即X2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在X軸上；y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在11.雙曲線的幾何性質(zhì):（1）范圍、對稱性X2由標(biāo)準(zhǔn)方程令a2與 1 ,從橫的方向來看，直線X=-a,X=a之間沒有圖象, b2從縱的方向來看，隨著上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線的中心*（2）頂點(diǎn)X的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向.雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為8 .雙曲線的定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F1,F2的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于F1F2 ）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線*即MFiMF2的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距 *在同樣的差下，兩定點(diǎn)間距

10、離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（ 兩條平行線）兩定點(diǎn)間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹 窄（ 兩條射線）.雙曲線的形狀與兩定點(diǎn)間距離、定差有關(guān)9.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)：x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種:（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在頂點(diǎn)：A1（a,0）,A2a,0，特殊點(diǎn)：B1（0, b）, B2 0, b實(shí)軸：A,A2長為2a, a 叫做半實(shí)軸長”虛軸：B1B2長為2b, b叫做虛半軸長*雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異（3）漸近線2過雙曲線41的漸近線yb2（4）離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比2c2a-，叫做雙曲線的離心率*范圍：e 1a雙曲線形狀與

11、 e的關(guān)系：kJc2 a21 Je21，e 越大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 它的開口就越闊 .即漸近線的斜率的絕對值就大， 此可知，雙曲線的離心率越大，12等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線, 雙曲線*等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為:這樣的雙曲線叫做等軸y X ；（ 2）漸近線互相垂直；（3）離心率e13.共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為kbx（k 0），那么此雙曲ka線方程就一定是:X22y(kb)21(k0）或?qū)懗?x2a14.共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸， 線的共軛雙曲線*區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）

12、雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上 法：這樣得到的雙曲線稱為原雙曲c相同*共用一對漸近線.確定雙曲線的共軛雙曲線的方將1變?yōu)?1雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線 I的距離之比為常數(shù)定直C（c a 0）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線*其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)， a線叫做雙曲線的準(zhǔn)線-常數(shù)e是雙曲線的離心率.16.雙曲線的準(zhǔn)線方程：2 2對于 務(wù) 每 1來說，相對于左焦點(diǎn)F1（ c,0）對應(yīng)著左準(zhǔn)線l1：xa b2 a 相對于右焦點(diǎn)F2（c,0）對應(yīng)著右準(zhǔn)線l2 :x 一 c焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 Pb2（也叫焦參數(shù)）c2對于a2x 1來說，相對于上焦點(diǎn) Fi（0, c）對應(yīng)著上準(zhǔn)線li : yba

13、2相對于下焦點(diǎn)F2（0,c）對應(yīng)著下準(zhǔn)線l2: y c17雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點(diǎn)M與雙曲線焦點(diǎn)Fi,F2的連線段，叫做雙曲線的焦半 徑*焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦半徑公式:MF1a ex)mf2a exo焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的焦半徑公式:MF1a eyoMF2a eyo（其中Fi,F2分另惺雙曲線的下上焦點(diǎn)）18.雙曲線的焦點(diǎn)弦：定義：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦 焦點(diǎn)弦公式：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí):過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí):當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí),過左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí):過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí):aB2ae(X1X2)AB2ae(X1X2)AB2a

14、e(y1AB2ae(y119.雙曲線的通徑:2b2定義：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦.d a20.拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做 拋物線*定 點(diǎn)F叫做拋物線的 焦點(diǎn)，定直線I叫做拋物線的21 準(zhǔn)線*(1) y22p x(p0）,焦點(diǎn)：（號,0），準(zhǔn)線I :x22P y(P0）,焦點(diǎn)：（0,號），準(zhǔn)線I :y22P x( p0）,焦點(diǎn)：（-P ,0），準(zhǔn)線x22P y(p0）,焦點(diǎn)：（0,呂），準(zhǔn)線拋物線的準(zhǔn)線方程:i:l:P*2_P2衛(wèi)2P2（3）準(zhǔn)線都與對稱軸垂相同點(diǎn)：（1）拋物線都過原點(diǎn)；（2）對稱軸為坐標(biāo)軸； 垂足與焦點(diǎn)在對稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱 絕對

15、值的1，即空衛(wèi)442不同點(diǎn)：（1）圖形關(guān)于X軸對稱時(shí)，X為一次項(xiàng)，丫為二次項(xiàng)，方程右端為直,'它們到原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)22px、左端為y ；圖形關(guān)于丫軸對稱時(shí)，X為二次項(xiàng)，丫為一次項(xiàng)，方程右端為2py，左端為X2* （2）開口方向在X軸（或 Y軸）正向時(shí)，焦點(diǎn)在 X軸Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在 X軸（或丫軸）負(fù)半軸時(shí)，方程右端取負(fù)號（或點(diǎn)在22 拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍X軸（或丫軸）負(fù)向時(shí)，焦因?yàn)閜>0,由方程y2 2px p 0可知,這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（X，y）滿足不等式x>0,所以這條拋物線在 y軸的右側(cè)；當(dāng)X的值增大時(shí)，|y|也 增大，

16、這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.（2）對稱性2以y代y，方程y 2 px p 0不變，所以這條拋物線關(guān)于 x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸（3）頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)在方程y2 2px P 0中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0,因此拋物線y2 2px P 0的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).（4）離心率拋物線上的點(diǎn) M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心 率，用e表示.由拋物線的定義可知，23拋物線的焦半徑公式：拋物線2p x(pPFX0衛(wèi)20),Xo拋物線 y22px(p 0),PFX0號2Xo拋物線2P y(pPFP y0 20),P.2yo拋物線X22py（p24.直線與拋物線：0),PFy。f衛(wèi)2y。（1）位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相目離（無公共點(diǎn)）；相切（一個(gè)公共點(diǎn)）將l : y kx b代入C:Ax2Cy2DxEy F0，消去y，得到關(guān)于X的二次方程ax2bxc 0.(*)若0，相交；0，相切；0，相離*綜上，得:聯(lián)立kX b，得關(guān)于2pxX的方程2axbx c 000，則0，兩個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）0，一個(gè)公共點(diǎn)（切點(diǎn)） 0，無公共點(diǎn)（2）相交弦長：（二次項(xiàng)系數(shù)為零），唯個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）（相離）-弦長公式：dlal(3)焦點(diǎn)弦公式:拋物線2px( p0),AB(X