圓錐曲線解題技巧(附例題)匯編

1、學習必備歡迎下載圓錐曲線解題技巧及例題匯編1、定義法(1 )橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2。(2)雙曲線有兩種定義。第一定義中,一2 =2a，當ri>r2時，注意2的最小值為c-a :第二定義中，ri=edi，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與“點到準線距離”互相轉化。(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解

2、決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點 A(X1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(X0,y0)，將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生 弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有:(1)2 2芻十爲=1(a >b A 0)與直線相交于A、a b設弦AB中點為M(Xo,yo)，則有-2 +_y 0

3、。a b(2)I相交于A、B設弦AB2 2篤-寫 =1(a >0,b >0)與直線I相交于 a bfnZpx (p>0)與直線B，設弦AB中點為M(Xo,yo)則有 篤器k = 0 a b中點為 M(X0,y0),則有 2y0k=2p,即 yok=p.例1、(1)拋物線 C:y2=4x【典型例題】上一點 P到點A(3,4丿2 )與到準線的距離和最小，則點 P的坐標為2(2)拋物線C: y =4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小，則點Q的坐標為分析：(1) A在拋物線外，如圖，連 PF,則PH = PF，因而易發(fā)現(xiàn),當A、P、F三點共線時，距離和最小。(2) B在

4、拋物線內(nèi)，如圖，作 QR丄I交于R，則當B、Q、R三點共線時,距離和最小。yIH e'F解：(1) (2, J2 )連PF,當A、P、F三點共線時,AP + PHI4壓一 0=AP + PF最小，此時AF的方程為y =O(x-1)'3-1即 y=2 72 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22 ),(注:另一交點為(丄廠J2)，它為直線AF與拋物線的另一交點,2舍去)1(2) ( -,1 )4過Q作QR丄I交于R,當B、Q、R三點共線時，|BQ+2耳=|BQ+|QR最小，此時Q點的縱坐標為1，代入 y2=4x 得 x=-,4點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”

5、互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。例2、F是橢圓 d +L=1的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。43(1)PA PF I的最小值為A(2)P円 +2|PF的最小值為分析:PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF'或準線作出來考慮問題。解：(1) 4-J5設另一焦點為F '，貝y F'(-1,0)連aF pF'pA +|p F| =1 pA +2aI PF =2a-(| PFj|P A)> 2a-AFf =4-75當P是F 'A的延長線與橢圓的交點時，|PA + |PF|取得最小值為4-J5。(2) 3作出右準線I，作PH

6、丄I交于H，因a2=4, b2=3 , c2=1 ,1a=2, c=1, e=,2 PF P A +2| PF| =1 PA +| PH當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為2a一 Xac= 4-1=3例3、動圓M與圓C1：(x+1) +y =36內(nèi)切，與圓C2：(x-1) +y =4外切,求圓心M分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線(如圖中的 A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”(如圖中的MC = MD )。解：如圖,MC AC| -|mA =MB - DB 即6 - MA = MB -2的軌跡方程。x MA + MB =

7、8(*)學習必備歡迎下載點M的軌跡為橢圓，2a=8, a=4, c=1 , b2=15軌跡方程為2+ Z=115點評：得到方程(*)后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出J(x+1)2+ y2 + J(x-1)2 +y2 =4，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣!3 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 2? sinA,求點 A 的軌跡方程。5分析:由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R (R為外接圓半徑)，可轉化為邊長的關系。解：sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=

8、35-2RSinA AB3-AC =3BC5即卜B| -|Aq =6(*)點A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點) 2a=6, 2c=10- a=3,c=5,b=4所求軌跡方程為2 2X y .-1(x>3)916點評:要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。A(X1,x12), B(X2, X22)，又設AB中點為M(xoyo)用弦長公式及中點公式得出yo關于Xo的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。分析:(1 )可直接利用拋物線設點，如設(2) M到X軸的距離是一種“點線

9、距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。2 2解法一： 設 A(X1, xi ), B(x2, X2), AB 中點 M(xo, yo)(X1 -X2)2 +(X12 -x2)2 =9 則X1 + X2 =2xox12 +x； =2yo由得(Xi-X2)1+(x 1+X2)=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(x 1+X2)2=9由、得 2x 1 x2=(2x o)2-2yo =4x o2-2y o代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9- 4y0 -4x11+4x04y0 =4x1 +-9=(4x24x04x01當 4x02+1=3 即 x0法二：如圖，2mm

10、 2 M 到y(tǒng)。725/2 5±Y 時，(y0)min此時 M 仕亍,-)AA2 + BB2 = AF + BF >A目=33>-,即 MM2>5 ,當AB經(jīng)過焦點F時取得最小值。45軸的最短距離為-4yM /BA/'、A11B111111i111AM點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消Xi, X2,從而形成y。關于X0的函數(shù)，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義,巧妙地將中點M到X軸的距離轉化為它到準線的距1的直線與橢圓及準線從左到右依次變于 A、B、C、D、設 f(m)= I AB| -|CD|,(1)求 f(m),( 2)

11、求f(m)的最值。分析：此題初看很復雜，對 f(m)的結構不知如何運算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)” ，A在準線上，B在橢圓上，同樣 C在橢圓上，D在準線上，可見直接求解較繁,將這些線段“投影”到X軸上，立即可得離，再利用梯形的中位線，轉化為A、B到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當 三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊)的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗 證AB是否能經(jīng)過焦點F，而且點M的坐標也不能直接得出。B 一 Xa) -(Xd - Xc )|f (m) = (Xb -Xa) J2 - (Xd -Xci'y c-ci-1dF10 F2XB-A

12、= P2(Xb 十忑)(Xa +Xd) = J2(Xb +Xc)此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。2m m 1解：(1)橢圓 =1 中，a2=m, b2=m-1 , c2=1，左焦點 F1(-1,0)則 BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x +m(x+1) -m +m=02 2 (2m-1)x +2mx+2m-m =02 im設 B(x1,y1),C(x2,y2),則 X1 +X2=-(2 <m <5)2m 1f (m) = AB - CD| = J2(Xb -Xa) -(Xd -Xc)= >/2(Xi +X2)-(Xa

13、+Xc) = 42X1 +X22m 1(2)L 2m 1 +1 f(m)*22m ''2m1當m=5 時,f(m)min -12m=2 時,f(m)max點評：此題因最終需求XB +xc，而BC斜率已知為1,故可也用“點差法”設BC 中點為 M(xo,yo),通過將 B、C坐標代入作差，得X+，k =0 ,將yo=xo+1 , k=1代入得呂3=0 ,m m-1m丄2mX0 =，可見 Xb +Xc = 2m T2m 1當然，解本題的關鍵在于對f (m) = AB - CD的認識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f (m) = Xb +xc是解此題的要點。學習必備歡迎下載【同步練習】

14、221、已知 i，2是雙曲線=1的左、右焦點，過Fi作直線交雙曲線左支于點a、B，若 AB = ABF 2的周長為(A、4aB、 4a+mC、 4a+2mD、4a-m2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線 x+5=0的距離小1,貝U P點的軌跡方程是a、y2=-16x2 CC=-32xc2C、 y =16xr2 ccD、y =32x3、已知 ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且AB A AC，點B、C的坐標分別為(-1 , 0),(1 , 0)，則頂點a的軌跡方程是(2 2x-+ 432 2乞+ jx>0)432 2xy+匚=1(x <0)432 2go且円)過原

15、點的橢圓的一個焦點為F(1,0),其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是a、(x-2)2 +y2B、(x+2)2+y2x2 +(y -2)29才)D、 x2 +(y +丄)229”-1)2-=1上一點16M的橫坐標為4，則點M到左焦點的距離是x2已知雙曲線9拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點 p(-2, 0)，則弦AB中點的軌跡方程是2 2&過雙曲線x -y =4的焦點且平行于虛軸的弦長為 9、直線y=kx+1與雙曲線x -y =1的交點個數(shù)只有一個，則 k=2 210、設點P是橢圓 + =1上的動點，F(xiàn)1, F2

16、是橢圓的兩個焦點，求 sin / F1PF2的最大值。25911、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列，若直線I與此橢圓相交于 A、B兩點，且AB中點M圓方程。2x12、已知直線l和雙曲線 a2-當=1(a ：>0,b >0)及其漸近線的交點從左到右依次為 bA、B、C、D O求證:AB| =|CD o為(-2 , 1), I AB =4j3,求直線I的方程和橢【參考答案】1、CAF2 - AFt =2a, BF2 - BF = 2a， af2 +bf2-AB =4a, AF2 + BF2 + AB=4a +2m,選 C2、C點P

17、到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線p=8開口向右，則方程為 y2=i6x，選C/ AB門 AC=2咒2，且AB AC點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又 A、B、C三點不共線，即y豐0，故選D O設中心為(X, y),則另一焦點為(2x-1 , 2y),則原點到兩焦點距離和為4得1 + J(2x 1)2中(2y)2 = 4 ,- (x-1)2 +y2 =924又J(x-1)2 +y2 <2(x-1)2+y2<4 ，由，得XM -1,選 A295、 一3學習必備歡迎下載799295左準線為x=- , M到左準線距離為d =4 - 則M到左焦點的距離為 ed =-5553295

18、29-31 / 1、XpS/設弦為 AB , A(x 1, yj, B(x2, y2)AB 中點為(x, y)，則 y1=2x1 , y2=2x2 , y1-y2=2(x 1-X2 )-= 2(x1 +X2) 2=2 2x , X = !X1 X 22111將X = 代入y=2x2得y = ，軌跡方程是X =-2 2 27、y2=x+2(x>2)1(y>2)設 A(Xi, yi).B(X2, 丫2), AB 中點 M(x , y)，則2 c2y1 =2X1,722= 2x2, y12y1 y 2-y2 =2(x1 -X2), (y1 +y2)= 2X1 -X2 kAB = kiMP

19、y -0"X +2y 2 y = 2，即 y2=x+2又弦中點在已知拋物線內(nèi)X +2P,即 y <2x，即 x+2<2x , x>2a2 28、4=b2 =4, C2 =8,c = 2 V2，令 X = 2 J2 代入方程得 8-y2=4y2=4，y= ± 2,弦長為 4 9、±血或± 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=02 2 (1-k2)x2-2kx-2=0 F k HO得 4k2+8(1-k2)=0, k=±72 2=0 1-k2=0 得 k= ± 122210、解：a =2

20、5 , b =9 , c =16設 Fi、F2 為左、右焦點，貝y Fi(-4 , 0)F2(4 , 0)設PR-ri，| PFzIfNFiPF?一FiyP-：-F2則1卄2 =20卩12 +22 -212 cosG =(2c)222-得 2r1r2(1+cos 0 )=4b2 2 rir2的最大值為a24b 2b“ 2叩2叩2. 1+cOS 0 = = /1+2色2寸叩22b218 1+COS 0的最小值為一，即1+cos 0 > a25COS 0 二一257兀0 <0 <兀-arccos則當9 =時，sin0取值得最大值1,252即sin / Fi PF2的最大值為1。2X11、設橢圓方程為a=