動點軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計探究-教育文檔

1、動點軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計探究拓展性課程以培育學(xué)生的主體意識、 完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為 宗旨，從教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)及過程中開發(fā)學(xué)生的潛能，促進(jìn)學(xué)生個 性的發(fā)展，是一種體現(xiàn)不同基礎(chǔ)要求、具有一定開放性的課程 .近年來， 在各地中考中出現(xiàn)一類求動點軌跡的問題， 這一熱 點問題與高中數(shù)學(xué)教學(xué)緊密銜接， 故以動點軌跡問題為專題的拓 展性課程勢在必行 . 由于較難確定動點軌跡的形狀，學(xué)生往往無 從下手 . 通過此課程的學(xué)習(xí)，能讓學(xué)生領(lǐng)會解決動 ?c 軌跡問題的 常用方法，提高學(xué)生綜合運用圓與一次函數(shù)等知識的能力. 在解決動點軌跡問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程等思想方 法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識和將實際問

2、題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能 力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀， 鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的想法， 勇于質(zhì)疑， 大膽創(chuàng)新，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形 成嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度 .一、點動成圓（一）等長判別法 動點到某一定點的距離為定值 . 其原理為圓的定義：到一個 定點的距離等于定長的點的軌跡 .例1如圖1, 一根長為2m的木棒AB斜靠在墻角處，此時 BC為1m當(dāng)A點下滑至A'處并且A'C=1m時，木棒AB的中點P 運動的路徑長為 .答案解析 如圖2,連結(jié)CP CP .vZ ACB=90 , BC=1rp AB=2rp:丄 BAC=30 ,vp是木棒AB的中點，二 PC=PA=imZ P

3、CA=30 ,同理求出Z Bf CP =30°,則 Z PCP =30°,木棒AB的中點P運動的路徑長為：30360 X2 n X 1= n 6m.故答案為：n 6m.功能分析 基礎(chǔ)題 . 此題為學(xué)生之前遇到過的常規(guī)題, 意在讓 學(xué)生回憶動點軌跡是圓弧的情況, 理解等長判別法的含義, 理解 動點到某一定點的距離為定值時,動點的軌跡是圓弧 .教學(xué)建議 在學(xué)生自主解答的基礎(chǔ)上,著重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直 角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半這個性質(zhì)得到動點P到定點C的距離為定值1,故動點P的運動軌跡為圓弧.練習(xí)1如圖3,在Rt ABC紙片中，Z C=90° , AC=BC=4 點

4、P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D （ P 在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點 D的路徑答案解析 vZ C=90°, AC=BC, ABC是等腰直角三角形.如圖4,點D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的 扇形，路徑長=90? n ?4180=2 n .故答案為：2 n .功能分析 中檔題 . 進(jìn)一步理解動點到某一定點的距離為定 值時，動點的軌跡是圓弧 . 培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件和潛在信息， 理性分析運動過程中所保持的不變性質(zhì)的能力 .教學(xué)建議 在例 1 的基礎(chǔ)上解決本題，許多學(xué)生有了經(jīng)驗方 法，可以大膽放手讓其嘗試， 教師只需適時點撥引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動

5、 點D到定點B的距離為定值4,故動點D的運動軌跡為圓弧.只 需要知道動點D的起點與終點即可求出路徑長.變式1如圖5,在平行四邊形 ABCD中, Z BCD=30 , BC=4 CD=32 , M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將 AMN沿 MN所在直線翻折得到 A MN連接 A G貝U AC長度的最小 值是 . 圖 5ANBDMCA'答案解析由題得動點A至U定點M的距離為定值2，故動點 A的運動軌跡為圓弧作ME垂直CD的延長線于點E,由勾股定 理易得：CM=7故最小值為MCA C=7-2=5.故答案為 5.功能分析 拓展題 . 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點軌跡的知識解決其他 類型的題目，拓寬

6、學(xué)生的思維，增強學(xué)生對知識點的運用能力教學(xué)建議 師生共同分析，教師可以讓有能力的學(xué)生多發(fā)表 自己的見解，抓住機(jī)會點撥，表揚他們，也可以鼓勵其他學(xué)生積 極探索，查找自己的思維誤區(qū)，爭取有新的突破 .（二）等角判別法 一動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值 . 其原理為圓周角 定理：同弧或等弧所對的圓周角相等 .反之，若一個動點P能使 得以其為頂點的/ APB大小不變，且AB為固定線段，則點P就 在以AB為一條弦且過點P的圓上運動（如圖6）.例2如圖7 半徑為4的00中，CD為直徑，弦ABLCD且 過半徑0D的中點，點E為00上一動點，CFLAE于點F.當(dāng)點E 從點B出發(fā)順時針運動到點 D時，點F所

7、經(jīng)過的路徑長為答案解析 如圖8,聯(lián)結(jié)AC AO由ABLCD利用垂徑定理 得到G為AB的中點，由中點的定義確定出 0G的長，在直角三角 形AOG，由AO與 0G的長，利用勾股定理求出 AG的長，進(jìn)而 確定出AB的長，由CO+G求出CG的長，在直角三角形 AGC中, 利用勾股定理求出 AC的長，由CF垂直于AE,得到三角形ACF 始終為直角三角形，點 F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑，當(dāng) E位于點B時，CGL AE此時F與G重合；當(dāng)E位于D時，CAL AE 此時F與A重合，可得出當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點 D時， 點F所經(jīng)過的路徑長AG,在直角三角形ACG,利用銳角三角 函數(shù)定義求出/ ACG

8、的度數(shù)，進(jìn)而確定出AG所對圓心角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出AG的長，即可求出點F所經(jīng)過的路徑長為233 n .功能分析 本題的解決，意在讓學(xué)生理解當(dāng)一動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定 值時，動點軌跡為圓弧 . 為后面的練習(xí)做鋪墊 .教學(xué)建議 師生共同分析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動點 F 與 定點A, C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值（即/ AFC=90 ），故動點 F的運動軌跡是圓弧，線段 AC是直徑，因此只要知道點 F運動 的起點與終點便可得出答案 .練習(xí) 2 如圖 9，直線 y=-x+4 與兩坐標(biāo)軸交于 A， B 兩點，點P為線段0A上的動點，聯(lián)結(jié)BP,過點A作AM垂直于直線

9、BP 垂足為M當(dāng)點P從點0運動到點A時，則點M運動路徑的長為.答案解析根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的特點可得A, B兩點坐標(biāo)，由題意可得點 M運動的路徑是以AB的中點N為圓心， AB長的一半為半徑的0A，易得0A的長度為2 n .功能分析 本題的解決，意在鞏固學(xué)生對當(dāng)一動點與兩定點 所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點軌跡為圓弧的理解 .教學(xué)建議 學(xué)生獨立完成, 師生共同訂正答案 . 教師小結(jié), 等 角判別法： 動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時, 動點軌跡 為圓弧.當(dāng)動點M與定點A, B所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值（即 / AMB=90 ），動點 M的運動軌跡是圓弧，線段 AB是直徑.變式2如圖10,在

10、邊長為4的等邊三角形ABC中，點D和 點E分別是邊AB和BC上的兩個動點，且 BD=CE AE與CD相交于點P,貝V BP長度的最小值是 .答案解析 由厶BCCA ACE全等可以得到動點P與定點A, C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值/ APC=120，故動點 P的運動軌跡 是圓弧，線段AC是弦.如圖11,易得BP=433.功能分析 拓展題 . 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點軌跡為圓弧的知識解 決其他類型的題目， 拓寬學(xué)生的思維， 培養(yǎng)學(xué)生對知識點的運用 能力.教學(xué)建議 師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中 BCD與 ACE全等，再引導(dǎo)學(xué)生判別動點 P的運動軌跡，最后 讓部分學(xué)生發(fā)表自己的見解，抓住機(jī)會點撥，表揚

11、他們，也可以 鼓勵其他學(xué)生積極回答 .設(shè)計小結(jié) 確定動點軌跡為圓的一般方法有兩種，等長判別 法和等角判別法 . 幾何動點路徑問題需要挖掘隱含條件和潛在信 息，理性分析運動過程中所保持的不變性質(zhì)， 在此過程可通過畫 圖（起點、終點、中間關(guān)鍵點） 判斷路徑形狀和范圍，然后通 過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析驗證及幾何建構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化 .二、點動成線坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個變量 x （指 數(shù)為 1 ）表達(dá)時，貝動點軌跡為一直線 .例 1 如圖 12，在平面直角坐標(biāo)系中， A（2， 0）， B（0， 3）， 過點B作直線/x軸，點P （a, 3）是直線上的動點，以 AP為邊 在AP右側(cè)作等腰 Rt A

12、PQ / APQ=Rf ,直線AQ交y軸于點C.當(dāng)點P在直線上運動時，點Q也隨之運動，則點Q運動路線的函 數(shù)表達(dá)式為 .答案解析 過點P作EF丄OA垂足為E,過點Q作QFL EF, 垂足為F，如圖13.易得 PEAA QFP.二 PE=QF EA=PF.若點 P 的坐標(biāo)為(a, 3)，貝U PE=QF=3 EA=PF=|2-a|.點Q的坐標(biāo)為(a+3, 5-a ).：無論a為何值，點Q的坐標(biāo)(a+3, 5-a )都滿足一次函數(shù) 解析式 y=-x+8 ，點Q始終在直線y=-x+8上運動.功能分析 培養(yǎng)學(xué)生利用求出動點的坐標(biāo)從而得知動點軌跡 的判別方法.理解坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點 P的橫縱坐標(biāo)都能用同

13、一 個變量x (指數(shù)為1)表達(dá)時，則動點軌跡為一直線.教學(xué)建議 師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo) 系中，根據(jù)條件求出點 Q的坐標(biāo)，再提示可以用K形圖來解決這 個問題，然后請學(xué)生回答解題步 ?E. 最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動點 P 的運動軌跡為一次函數(shù)即直線，最后師生一起解出最后答案 .例2如圖14,已知AB=10, P是線段AB上的動點，分別以 AP, PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊 ACP和厶PDB聯(lián)結(jié)CD 設(shè)CD的中點為G,當(dāng)點P從點A運動到點B時，則點G移動路 徑的長是 .功能分析 拓展題 . 加深學(xué)生對點動成線問題的理解 .教學(xué)建議 師生共同分析，教師可以先引導(dǎo)設(shè)出動點 P 與定 點A的坐標(biāo)，再引導(dǎo)學(xué)生利用K形圖解出點B的坐標(biāo)，最后再引 導(dǎo)學(xué)生判別動點P的運動軌跡為直線，只需要求出它的起點與終 點，就能求出路徑長 . 教師可