二輪復(fù)習(xí)--數(shù)列的應(yīng)用

1、二輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的應(yīng)用適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)數(shù)列求和方法；數(shù)列實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)列求和的常用方法，注意數(shù)列的綜合交匯知識(shí)問題，注重方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，掌握新定義類題型以及歸納猜想類題型的證明的解題方法教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列專題與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯問題，數(shù)學(xué)思想在本專題中的應(yīng)用，探究性問題的解題思路及方法，新定義類題型以及歸納猜想類題型的證明的解題方法教學(xué)難點(diǎn)方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想；新定義類題型以及歸納猜想類題型的證明的解題方法教學(xué)過程一、 課堂導(dǎo)入高考考情分析一般每年考一個(gè)大題，通常與函數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合

2、，綜合性較強(qiáng)、難度較大，且往往為壓軸題具有較高的區(qū)分度，與函數(shù)、解析幾何相結(jié)合的點(diǎn)列問題，與不等式結(jié)合的證明問題，以增長(zhǎng)率、分期付款等實(shí)際問題為背景的應(yīng)用問題等，要理清其解題思路二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)整合知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列求和方法；數(shù)列實(shí)際應(yīng)用三、知識(shí)講解考點(diǎn)11. 數(shù)列求和的方法技巧(1)公式法：直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和(2)錯(cuò)位相減法這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可

3、用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和(5)分組轉(zhuǎn)化求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，可先分別求和，然后再合并 考點(diǎn)22. 數(shù)列的綜合問題(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合(2)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何等知識(shí)的綜合(3)增長(zhǎng)率、分期付款、利潤(rùn)成本效益的增減等實(shí)際應(yīng)用問題數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題

4、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決. 四、例題精析考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例1數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式【規(guī)范解答】(1)由an22an1an2得an2an1an1an2.即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項(xiàng)公式為ann22n2.【總結(jié)與反思】1在處理數(shù)列求和問題時(shí)，一定要先讀懂題意，分清題型

5、，區(qū)分等差數(shù)列與等比數(shù)列，不是基本數(shù)列模型的注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想化歸為等差、等比數(shù)列，在利用分組求和時(shí)，要特別注意項(xiàng)數(shù)2在處理等差與等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，先要看所給數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，再依據(jù)條件建立方程求解考點(diǎn)二 數(shù)列與其他知識(shí)交匯命題例2已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義，f1，且滿足對(duì)任意x、y(1，1)，有f(x)f(y)f，數(shù)列xn中，x1，xn1.(1)證明：f(x)在(1,1)上為奇函數(shù)；(2)求數(shù)列f(xn)的通項(xiàng)公式；(3)求證：>.【規(guī)范解答】(1)證明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，則f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)，f(x)在(

6、1,1)上為奇函數(shù)(2)f(x1)f1，f(xn1)ff2f(xn)，2，即f(xn)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，f(xn)2n1.(3)2>2，而2<2.>.【總結(jié)與反思】數(shù)列與函數(shù)的綜合性試題通常用到函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等思想注意數(shù)列是特殊的函數(shù)、等差、等比數(shù)列更是如此，因此求解數(shù)列與函數(shù)的綜合性題目時(shí)，注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，將所給條件向an與n的關(guān)系轉(zhuǎn)化考點(diǎn)三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3 政府決定用“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”對(duì)企業(yè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，用an表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費(fèi)用，用bn表示該企業(yè)第n年的產(chǎn)值設(shè)a1a(萬元)，且以后治理污染的環(huán)保費(fèi)用每

7、年都比上一年增加2a萬元；又設(shè)b1b(萬元)，且企業(yè)的產(chǎn)值每年比上一年的平均增長(zhǎng)率為10%.用Pn表示企業(yè)第n年“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”(1)求該企業(yè)第一年和第二年的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”；(2)試問從第幾年起該企業(yè)“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”不低于20%?【規(guī)范解答】(1)a1a，b1b，Pn，P11%，P23.3%.故該企業(yè)第一年和第二年的“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”分別為1%和3.3%.(2)由題意，得數(shù)列an是以a為首項(xiàng)，以2a為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn是以b為首項(xiàng)，以1.1為公比的等比數(shù)列，ana1(n1)da(n1)·2a(2n1)a，bnb1(110%)n11.1n1b.又Pn，Pn

8、.×1.1×1.1>1，Pn1>Pn，即Pn單調(diào)遞增又P617.72%<20%，P723.03%>20%.故從第七年起該企業(yè)“對(duì)社會(huì)的有效貢獻(xiàn)率”不低于20%.【總結(jié)與反思】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是一個(gè)解方程問題，還是解不等式問題，還是一個(gè)最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問題的結(jié)果考點(diǎn)四 新定義題型 例4 定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)

9、列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()ABCD 【規(guī)范解答】法1：設(shè)an的公比為q.f(an)a，()2q2，f(an)是等比數(shù)列，排除B、D.f(an)，f(an)是等比數(shù)列，排除A.法2：不妨令an2n.因?yàn)閒(x)x2，所以f(an)a4n.顯然f(an)是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比數(shù)列因

10、為f(x)，所以f(an)()n.顯然f(an)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列因?yàn)閒(x)ln|x|，所以f(an)ln2nnln2.顯然f(an)是首項(xiàng)為ln2，公差為ln2的等差數(shù)列，故選C.考點(diǎn)五 方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例5 已知等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和為35，求k的值【規(guī)范解答】(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.從而，an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2，進(jìn)而由Sk35可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5

11、.又kN*，故k7為所求考點(diǎn)六 分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用 例6 設(shè)函數(shù)f(x)lnxp(x1)，pR.(1)當(dāng)p1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)對(duì)任意x1都有g(shù)(x)0成立，求p的取值范圍【規(guī)范解答】(1)當(dāng)p1時(shí)，f(x)lnxx1，其定義域?yàn)?0，)所以f (x)1.由f (x)10得0<x1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(2)由函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)xlnxp(x21)，得g(x)lnx12px.由(1)知，當(dāng)p1時(shí)，f(x)f(1)0，即不等式lnxx1成立當(dāng)p時(shí)，g(x)lnx12p

12、x(x1)12px(12p)x0，即g(x)在1，)上單調(diào)遞減，從而g(x)g(1)0滿足題意；當(dāng)<p<0時(shí)，存在x(1，)使得lnx>0，12px>0，從而g(x)lnx12px>0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，從而存在x0(1，)使得g(x0)g(1)0不滿足題意；當(dāng)p0時(shí)，由x1知g(x)xlnxp(x21)0恒成立，此時(shí)不滿足題意綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍為p考點(diǎn)七 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例7 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an5Sn1成立(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog4|an|，求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn.【規(guī)范解答】(1)

13、當(dāng)n1時(shí)，a15S11，a1.又an5Sn1，an15Sn11，an1an5an1，即.數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列，an()n.(2)bnlog4|()n|n，所以()，Tn(1)()()1.【總結(jié)與反思】給出數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等一般要化歸為基本數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)或前n項(xiàng)和中含有參數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最大(小)項(xiàng)等問題常常要分類討論；給出某項(xiàng)或項(xiàng)的關(guān)系式或給出前n項(xiàng)和的關(guān)系等，常借助公式、性質(zhì)列方程求解考點(diǎn)八 歸納猜想證明題型例8 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【規(guī)范解答】(1)a1S12a23×124×12a27a1a2S24a33×224×24(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28聯(lián)立解得，a3S3a1a21587，綜上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：由(1)知，當(dāng)n1時(shí)，a132×11，猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即