111集合2課時1

1、主頁主頁1 1、理解集合的概念；、理解集合的概念；2 2、掌握集合中元素的三特性；、掌握集合中元素的三特性；3 3、會用符號表示元素與集合之間的關系；、會用符號表示元素與集合之間的關系；4 4、理解常用的集合的符號表示的意義；、理解常用的集合的符號表示的意義；5 5、會用不同的方、會用不同的方 法表示集合。法表示集合。主頁主頁虎林高級中學虎林高級中學 欒紅民欒紅民主頁主頁回回 顧顧 交交 流流主頁主頁重要數(shù)集：重要數(shù)集：(1) 自然數(shù)集自然數(shù)集(含含0) 即非負整數(shù)集，記為：即非負整數(shù)集，記為：N；(2) 正整數(shù)集正整數(shù)集(不含不含0) ，記為，記為N*或或N； (3) 整數(shù)集，記為整數(shù)集，記

2、為Z；(4) 有理數(shù)集，記為有理數(shù)集，記為Q；(5) 實數(shù)集，記為實數(shù)集，記為R.主頁主頁（1）有限集：）有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集。含有有限個元素的集合稱為有限集。（2）無限集：）無限集：若一個集合是無限集，則該集合稱為無限集。若一個集合是無限集，則該集合稱為無限集。 1、集合的分類：、集合的分類：不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集?？占?。（3）空集：）空集：記作：主頁主頁思考思考1 1：這兩個集合分別有哪些元素？這兩個集合分別有哪些元素？ 考察下列集合：考察下列集合：（1 1）小于）小于5 5的所有自然數(shù)組成的集合；的所有自然數(shù)組成的集合；（2 2）方程）方程 的

3、所有實數(shù)根組成的所有實數(shù)根組成的集合的集合. .3xx（1 1）0 0，1 1，2 2，3 3，4 4；（；（2 2）-1-1，0 0，1 1思考思考2 2：由上述兩組數(shù)組成的集合由上述兩組數(shù)組成的集合可分別怎樣表示？可分別怎樣表示？ （1 1）00，1 1，2 2，3 3，44（2 2）-1-1，0 0，11主頁主頁 2、集合的表示方法：、集合的表示方法：（1 1）列舉法）列舉法: :把集合的元素一一列舉出來，并用花括號把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ” ”括起來表示集合的方法括起來表示集合的方法 注意：注意：1 1、元素間要用逗號隔開；、元素間要用逗號隔開；2 2、放在大括號內(nèi)，不

4、管次序。、放在大括號內(nèi)，不管次序。思考思考：bookbook中的字母的集合能否表示為：中的字母的集合能否表示為：，o o ，o o， ( () )主頁主頁例例 1：用列舉法表示下列集合：用列舉法表示下列集合：（1）小于）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；的所有自然數(shù)組成的集合；（2）方程）方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；的所有實數(shù)根組成的集合；（3）由）由120以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合。以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合。解：解：（1）設小于）設小于10的所有自然數(shù)組成的集合為；的所有自然數(shù)組成的集合為；那么那么0,1,2,3,4,5,6,7,8,9（2）設方程）設方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；

5、的所有實數(shù)根組成的集合； 那么那么B=1,0（3）設由）設由120以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合, 那么那么C=2,3,5,7,11,13,17,19主頁主頁思考思考（）你能用自然語言描敘集合，（）你能用自然語言描敘集合，嗎？，嗎？解：小于的正偶數(shù)組成的集合。解：小于的正偶數(shù)組成的集合。（）你能用列舉法表示不等式（）你能用列舉法表示不等式x-73的的解集嗎？解集嗎？答：不能，因為這是個無限集，無法列舉。答：不能，因為這是個無限集，無法列舉。那我們可以怎樣來表示這個集合呢？那我們可以怎樣來表示這個集合呢？|10DxR x主頁主頁 考察下列集合：考察下列集合：（1 1）不等式）不

6、等式 的解組成的集合；的解組成的集合；（2 2）絕對值小于）絕對值小于2 2的實數(shù)組成的集合的實數(shù)組成的集合. .273x思考思考1：這兩個集合能否用列舉法表示？這兩個集合能否用列舉法表示？思考思考2：如何用數(shù)學式子描述上述兩個集合的元素特征？如何用數(shù)學式子描述上述兩個集合的元素特征？ （1 1） R R，且，且 ； （2 2） R R，且，且x5x x| 2x 思考思考3：上述兩個集合可分別怎樣表示？上述兩個集合可分別怎樣表示？ （1 1） R| R| ； （2 2） R| R| x5x x| 2x 主頁主頁集合的表示方法：集合的表示方法：（2 2）描述法）描述法: :元素的一般元素的一般符

7、符號號及及取值范圍取值范圍元素所具有的元素所具有的共同特征共同特征用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 具體方法：具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。這個集合中元素所具有的共同特征。 主頁主頁例例試分別用列舉法和描述法表示下試分別用列舉法和描述法表示下列集合。列集合。2(1)-20 x方程的所有實根組成的集合；22-20-20 xxx解：設方程的實數(shù)根為 ，并且滿足條

8、件，因此，用描述法表示為：2-20.xR xA=|2-20.x方程的兩個實數(shù)根為 ， ，因此，用列舉法表示為： ， 主頁主頁（2）由大于）由大于10小于小于20的所有正整數(shù)組的所有正整數(shù)組成的集合。成的集合。解：解：設大于設大于10小于的所有正整數(shù)為小于的所有正整數(shù)為 ，它滿足條件它滿足條件 且且 ，因此，因此，用描述法表示為用描述法表示為xxZ1020 x|1020BxZx用列舉法表示為用列舉法表示為11,12,13,14,15,16,17,18,19B 主頁主頁又如，任何一個奇數(shù)都可以表示成又如，任何一個奇數(shù)都可以表示成21xk所以，奇數(shù)的集合可以表示為所以，奇數(shù)的集合可以表示為|21,E

9、xZ xkkZ主頁主頁 例如，圖例如，圖1-11-1表示任意一個集合表示任意一個集合A A；圖圖1-21-2表示集合表示集合11，2 2，3 3，4 4，5 5 圖圖1-11-1圖圖1-21-2A A1,2,3,1,2,3,5, 4.5, 4. (Venn(Venn圖圖) ) 我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部表示一個集合。部表示一個集合。3 3、圖示法、圖示法: :韋恩圖韋恩圖主頁主頁練習：P5，第1,2題；主頁主頁 1.集合的表示方法集合的表示方法 （1）列舉法：把集合的元素）列舉法：把集合的元素一一一一列舉列舉出來寫在大括號的方法出來寫在大括號的方法

10、（2）描述法：用確定條件表示某）描述法：用確定條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法些對象是否屬于這個集合的方法 （3）圖示法）圖示法課堂小結(jié)課堂小結(jié)主頁主頁有限集：含有有限個元素的集合有限集：含有有限個元素的集合無限集：含有無限個元素的集合無限集：含有無限個元素的集合2.集合的分類集合的分類空空 集：不含任何元素的集合集：不含任何元素的集合. 記作記作主頁主頁練習：P5，第2題；P11，習題1.1，第2,3題主頁主頁 1： 與與 的含義是否相同？的含義是否相同？aa 2：集合集合1，2與集合與集合(1，2)相同嗎？相同嗎？ 4: 集合集合 的幾何意義如何？的幾何意義如何？2( , )|,x

11、yyxxR 3：集合集合 與集合與集合 相同嗎？相同嗎？2 |,y yxxRRxxyx,2xyo2y x前者是函數(shù)的所有前者是函數(shù)的所有函數(shù)值函數(shù)值組成的集合；組成的集合； 后者是函數(shù)的所有后者是函數(shù)的所有自變量自變量組成的集合。組成的集合。拋物線上所有的點組成的集合拋物線上所有的點組成的集合主頁主頁大學期間康托爾主修數(shù)論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數(shù)學推導的嚴格性和數(shù)學分析感興趣。哈雷大學教授H.E.海涅鼓勵他研究函數(shù)論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關于三角級數(shù)的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數(shù)的實數(shù)理論，并初步提出以高階導出集的性質(zhì)作為對無窮

12、集合的分類準則。函數(shù)論研究引起他進一步探索無窮集和超窮序數(shù)的興趣和要求。1872年康托爾在瑞士結(jié)識了J.W.R.戴德金，此后時常往來并通信討論。1873年他估計，雖然全體正有理數(shù)可以和正整數(shù)建立一一對應，但全體正實數(shù)似乎不能。他在1874年的論文關于一切實代數(shù)數(shù)的一個性質(zhì)中證明了他的估計，并且指出一切實代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對應，這就證明了超越數(shù)是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對應關系作為對無窮集合分類的準則。格奧爾格格奧爾格康托爾康托爾康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德） 德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），19

13、18年1月6日病逝于哈雷。其父為遷居俄國的丹麥商人?？低袪?1歲時移居德國,在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學,主修數(shù)學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數(shù)論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。主頁主頁康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢”的概念(又稱為基數(shù))并且用“與自身的真子集有一一對應”作為無窮集的特征?？低袪栒J為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴充到無窮數(shù)。他在18791

14、884年發(fā)表的題為關于無窮線性點集論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點集論，而第5篇很長，此篇論述序關系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類的概念。他定義了一個比一個大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無窮序列，并對無窮問題作了不少的哲學討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。在1891年發(fā)表的集合論的一個根本問題里，他證明了一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設作為一個估計提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴格證明，但他始終未能給出。在整數(shù)和實數(shù)兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始

15、考慮面上的點集和線上的點集有無一一對應。經(jīng)過三年多的探索，1877說，“我見到了，但我不相信。”這似乎抹煞了維數(shù)的區(qū)別。論文于1878年發(fā)表后引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克羅內(nèi)克都反對，而戴德金早在1877年7月就看到,不同維數(shù)空間的點可以建立不連續(xù)的一一對應關系，而不能有連續(xù)的一一對應。此問題直到1910年才由L.E.J.布勞威爾給出證明。主頁主頁19世紀70年代許多數(shù)學家只承認，有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的。他們不承認已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合?？低袪柤险摽隙俗鳛橥瓿烧w的實無窮，從而遭到了一些數(shù)學家和哲學家的批評與攻擊，特別是克羅內(nèi)克。康托爾曾在1883年的論文和以后的哲學論文里對于無窮問題作了詳盡的討論。另一方面，康托爾創(chuàng)建集合論的工作開始時就得到戴德金、外爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和贊揚。20世紀以來集合論不斷發(fā)展，已成為數(shù)學的基礎理論。他的著作有：G.康托爾全集1卷及康托爾-戴德金通信集等。康托爾是德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得