(完整版)倍長中線法的應(yīng)用教案

1、倍長中線法的應(yīng)用適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1中點(diǎn)的定義2中點(diǎn)的表示方法：等量關(guān)系、倍的關(guān)系、分的關(guān)系3. 三角形中線的作用：等分線段4. 全等三角形中中線的作用：倍長中線（延長中線至 *，連接*，利用SAS證明三角形全等）教學(xué)目標(biāo)熟練掌握有中點(diǎn)為背景的全等三角形證明的方法 教學(xué)重點(diǎn)在實(shí)際問題中能對(duì)中線倍長法模型的建立，利用中線倍長法解決問題教學(xué)難點(diǎn)利用中線倍長法構(gòu)造全等三角形解決問題教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入1. 如圖1,2. 如圖2,3. 如圖3,4. 如圖4:已知：AD是BC上的中線，且DF=DE .求證:BE/CF.AE、BC交于點(diǎn)M , F點(diǎn)在A

2、M 上, BE/CF, BE=CF .求證：AM 是KBC的中線.AB=AC , DB=DC , F是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證： BF=CFAB=CD , AE=DF , CE=FB。求證：AF=DE .5.已知：如圖5所示，AB = AD , BC= DC, E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AE = AF .圖1圖2圖4圖3圖5二、知識(shí)講解SAS考點(diǎn)1證明三角形全等的方法:考點(diǎn)2證明線段中的不等關(guān)系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊考點(diǎn)3平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等. 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).二、例題精析考點(diǎn)一證明線段中的不等關(guān)系例

3、1已知： ABC中，AB 5, AC 9, AM是中線. 1(1) 求證：AM (AB AC).2(2) BC邊上的中線 AM的長的取值范圍是什么?1(AB AC)2【規(guī)范解答】如圖所示，延長AM到D，使DM AM，連結(jié)BD ,AM 為 BC中線，：BM = MC在ACM和DBM中 ACM 也 DBM (SAS， BD AC在 ABD 中，AD AB BD， 2 AM AB AC - AM【總結(jié)與反思】將AM邊放在某個(gè)三角形中，利用三邊關(guān)系求出取值范圍; 中線倍長法的具體應(yīng)用：延長 AM至D，使DM=AM，連接BD ;利用SAS證明三角形全等; 將線段AC轉(zhuǎn)換成BD，在MBD中利用三邊關(guān)系求出

4、2AM取值范圍.考點(diǎn)二證明兩個(gè)角相等例2如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF II AD交CA的延長線于點(diǎn) F，交EF于點(diǎn)G , 若BG CF，求證：AD為 ABC的角平分線.【規(guī)范解答】延長FE到點(diǎn)H，使HE FE，連結(jié)BH .在CEF和BEH中CE BECEF BEHFE HE CEF 也 BEH EFCEHB , CF BH BG 二 EHB BGE ,而 BGE AGF , AFGAGF又 I EF II AD , AFG CAD , AGF BAD CAD BAD,： AD為 ABC的角平分線.FE D【總結(jié)與反思】題中E為BC中點(diǎn)，考慮用中線倍長法得到 CEF

5、也BEH，把CF線段轉(zhuǎn)移到BEH中，然后根據(jù)等腰三角 形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角得到結(jié)論。考點(diǎn)三證明線段之間的關(guān)系EF ,例3如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點(diǎn)，延長 BE交AC于F , AF求證：AC BE .【規(guī)范解答】 延長AD到G ,使DG AD，連結(jié)BG BD CD , BDG CDA, AD GD ADC 也 GDB二 AC GB G EAF又T AF EF, EAF AEF G BED- BE BG , BE AC 【總結(jié)與反思】作倍長AD，得到ADC也GDB，可以把AC轉(zhuǎn)移到ABDG中，利用等腰的性質(zhì)得到兩邊相等。四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、如圖，在

6、ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB邊的取值范圍是（）A.2 v AB V 12B.4V AB V 12C.9v AB V 19D.10 vAB V 19【答案】C【規(guī)范解答】延長AD至E,使DE=AD，連接CE,可先證明厶ABD也CD，貝U AB=CE，在ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得 AE-AC v CEv AE+AC，即 9 v CEv 19.則 9 v AB V 19.故選 C.2、已知AM為 ABC的中線， AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、交AC于F .求證：BE CF EF .A【規(guī)范解答】延長FM到N，使MN MF ,連結(jié)BN、EN在三角形BNM和CFM中BM

7、MCZ BMNZ CMFMNMFBNM也CFM , /BNCF交AC于F ,又I AMB , AMC的平分線分別交 AB于E、 EMF EMN 90,禾I用SAS證明 EMN望EMF , EN EF , 在 EBN 中，BE BN EN ,：BE CF EF .NACE是AD上一點(diǎn)，BE = AC, BE的延長線交AC于點(diǎn)F,3、如圖，在 ABC中，D是BC邊的中點(diǎn),求證：/AEF二 ZEAF【規(guī)范解答】延長AD到G,使DG=AD，連結(jié)BG.VD 是 BC 中點(diǎn)，：BD=CD在AACD和BGD中BD CDZ BDG Z CDADG ADACD BGD , ABG=AC，/EAF= ZBGE.V

8、BE=AC, ABE=BGzBEG= ZBGE,a ZBEG= ZAEFZEF= ZEAF.【規(guī)范解答】延長AD到F,使EF=DG，連結(jié)CF.E是 BC 中點(diǎn)，：BE=CE在ABE 和CEF 中BE CEZ BEA Z CEFDG EFABE也EF,：AB=CF ,/BAE= ZCFE vzBAE= ZCDE,A/CFE= ZCDE /-CD=CF AB=CD.【拔高】1、如圖所示，BAC DAE 90 , M 是 BE 的中點(diǎn)，AB AC , AD AE，求證 AM CD .ED【規(guī)范解答】如圖所示，設(shè)AM交DC于H，倍長中線AM到F，連接BF交AD于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)0 容易證明 AME也F

9、MBABN貝U AE FB， EAF F，從而 AE II FB， ANF 90 而 CAD DAB 90， DAB ABN 90，故 CAD 從而CAD也ABF，故 D F而 D DON FOH F 90故 AHD 90，亦即 AM CD .E2、已知MBC, B ACB, D, E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且 BD=CE ,連接DE交底BC于G, 求證GD=GE .s【規(guī)范解答】法（一）：過E作EF/AB，交BC的延長線于F,則ZB= ZFvz3= Z4 , Z3= ZB 蟲=ZFCE=EF 在GEF與GDB 中,1 2DB CE EFB F/.ZGFEGBD .IDG GE證明（二）：過D , E分別作直線DK丄CB, EF丄CB/= Z2 Z2= ZB /= ZB又 VBD=CE ARt經(jīng)DK也:EF .-.DK=EF又$= Z4 .ARt DKG 也 Rt EFG：GD=GEA證明（三）：過D點(diǎn)作DK /AC交BC于K,過D點(diǎn)