專題14證明線段相等的常用方法

1、證明線段相等的常用方法平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當(dāng)也會帶來麻煩，恰當(dāng)選用正確的方法，可取得事半功倍的效果?！净灸Ｐ汀浚ㄒ唬?常用軌跡中：兩平行線間的距離處處相等.線段中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等.角平分線上任一點到角兩邊的距離相等.平行線等分線段定理：若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等（二）三角形中：同一三角形中 , 等角對等邊. （等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）任意三角形的外心到三頂點的距離相等.任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊直角三角形中 , 斜邊的中線等于斜邊一半

2、.有一角為 60 °的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形.中位線：過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊.同底或等底的三角形, 若面積相等, 則高也相等 . 同高或等高的三角形, 若面積相等, 則底也相等.（三）特殊四邊形中：平行四邊形對邊相等, 對角線相互平分.矩形對角線相等, 且其的交點到四頂點的距離相等.菱形中四邊相等.等腰梯形兩腰相等、兩對角線相等.梯形中位線：過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰.（四）圓中：同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對的弦、弦心距相等同圓或等圓中 , 等弦所對的弦心距相等, 等弦心距所對的弦相等.任意圓中

3、 , 任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分.自圓外一點所作圓的兩切線長相等.兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分.（五）全等形中：全等形中，一切對應(yīng)線段（對應(yīng)的邊、高、中線、角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）都相等.（六）等量代換或線段運算：等于同一線段的兩條線段相等 .對應(yīng)相等線段的和相等；對應(yīng)相等線段的差相等對應(yīng)相等線段乘以相等倍數(shù)所得的積相等；對應(yīng)相等線段除以相等倍數(shù)所得的商相等【典例分析】例1 （2019蘇州）如圖，ZXABC中，點E在BC邊上，AE AB ,將線段AC繞點A旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得 CAF BAE ,連接EF , EF與AC交于點G .求證：EF BC .【點撥】利用全等三

4、角形的性質(zhì)證明線段相等，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。6過點A作AG，ED交DEAD例2如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且 BE=AC，延長BE交AC于 F.求證：AF=EF.A【點撥】利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等，如果兩條所/ZV證線段在同一三角形中，可以考慮用此法，此題需要利用中點構(gòu)造八字形全等?！纠?】（2019甘肅）如圖，在正方形 ABCD中，點E是BC的中點，連接 DE , 于點F ,交CD于點G ,連接BF ,證明：AB=FB .【點撥】利用

5、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半證明，由基本結(jié)論獲得 AGXDE的信息，聯(lián)想B是斜邊中點?！纠?】已知：如圖，在平行四邊形 ABCM, E、F分別為邊AR CD上一點，且BE=BR AGL BF于F, CH，BE 于 H,求證：AG=CH【點撥】利用兩三角形面積相等，底相等證明高相等，由兩個垂直聯(lián)想高，由兩條線段相等聯(lián)想面積相等?！纠?】如圖，BD、CE是4ABC的兩條高，F(xiàn)是BC的中點，F(xiàn)GLDE于點G.求證:EG=DG.【點撥】利用等腰三角形三線合一，由垂直證平分聯(lián)想等腰三角形。BD上一點，連接AE ,過點E作EGXCD于點G, EFXBC于點F,由矩形對角線相等聯(lián)想到AE也與該線段相等?！?/p>

6、例6】已知E是正方形ABCD對角線連接EF.求證：AE=FG.【點撥】利用等量代換證明線段相等，與FG相等的線段，再由基本圖形聯(lián)想到【方法梳理】證明線段相等主要看要證明的線段的 位置，根據(jù)位置情況來定方法，如果要證明的線段在同一三角形 中，常用它們所對的角相等；如果要證明的線段分別在兩個三角形中，常用全等三角形；如果要證明的線 段既不在同一三角形中也不在兩個三角形中，則應(yīng)想辦法作輔助線使其構(gòu)成全等三角形?！眷柟逃?xùn)練】1 .如圖，已知在 ABC中，AB = AC,過AB邊上一點 D作DE，BC于點E,延長ED,與CA的延長線交于點F.求證：AF = AD.2 .如圖， ABC和4CDE都是等邊三

7、角形，連接 AD、BE, AD與BE交于點F.求證AD = BE。3 .如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，AD與過點C的切線互相垂直， 垂足為點D, AD交。于點E, 連接 CE, CB.求證：CE = CB.4 .如圖， ABC內(nèi)接于。O, BC是。的直徑，弦 AF交BC于點E, /CAF = 2/B.求證：AE=AC.5 .如圖，四邊形 ABCD是正方形，連接 AC,將 ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) a得 AEF ,連接CF,。為CF的中點，連接OE, OD.(1)如圖1 ,當(dāng)a= 45°時，請寫出OE與OD的關(guān)系，并證明.(2)如圖 2,當(dāng) 45° < a< 90° 時,(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.6 .如圖， ABC是等邊三角形，點 D在AC上，點E在BC的延長線上，且 BD = DE .