一元一次方程應(yīng)用題解題方法與歸類

1、一元一次方程應(yīng)用題解題方法列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵在于由題目中隱含的等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程。初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)基本可有如下幾種方法：一、直列法。即由題中的 和“、少“、倍”等表示數(shù)量關(guān)系的字眼，直 接列出相關(guān)的方程。例1 在甲處勞動(dòng)的有27人，在乙處勞動(dòng)的有19人，現(xiàn)在另調(diào)20 人去支援，使在甲處人數(shù)為在乙處的人數(shù)的 2倍，應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處 各多少人？分析：顯然，人員調(diào)動(dòng)完成后，甲處人數(shù)= 2X乙處人數(shù)。解：設(shè)調(diào)x人到甲處，則調(diào)（20-x）人到乙處，由題意得：27+x=2（19+20-x）,解之得x=i7.20-x = 2017 = 3 （人）答：應(yīng)調(diào)往甲處17人，乙處3人。二、公式法。學(xué)生熟識(shí)

2、的公式諸如 路程=速度鄧寸間”、工作總量= 工作效率社作時(shí)間”、利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)二 利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)”等 都是解答相關(guān)方程應(yīng)用題的工具。例2 商品進(jìn)價(jià)1800元，原價(jià)2250元，要求以利潤(rùn)率不低于5% 的售價(jià)打折出售，則此商品最低可打幾折出售？分析：根據(jù)利潤(rùn)率公式，列出方程即可。解：設(shè)最低可打x折。據(jù)題意有：5%= (2250X-1800 ) /1800 ,解之得x=0.84答：最低可打8.4折。三、總分法。即根據(jù)總量等于各分量之和來(lái)列出方程，用此法要 注意分量不可有所遺漏。例3 過路的人！這兒埋葬著丟番圖。請(qǐng)計(jì)算下列題目，便可知 他一生經(jīng)過了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之

3、 一是無(wú)憂無(wú)慮的少年。再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家 庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù) 的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風(fēng)燭殘年。請(qǐng)你算一 算，丟番圖活到多大，才和死神見面？ ”分析：本題即是著名的丟番圖的 墓志銘”，題中巧妙地把丟番圖的總 年齡劃分為了幾個(gè)部分，解題時(shí)只需運(yùn)用其總年齡=各部分年齡的和 即可得出解答。解：設(shè)丟番圖活了 x年。據(jù)題意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x = 84答：丟番圖共活了 84歲。由此題的解答，我們還可知道古希臘的這位大數(shù)學(xué)家丟番圖33歲結(jié)婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子活了 42歲等。

4、四、同一法。這類題目的解題原理是：如果同一個(gè)量能用兩個(gè)不同的 代數(shù)式表達(dá)，則這兩個(gè)代數(shù)式必然相等。例4 一隊(duì)學(xué)生從學(xué)校出發(fā)去部隊(duì)軍訓(xùn)，行進(jìn)速度是5千米/時(shí)，走了 4.5千米時(shí)，一名通訊員按原路返回學(xué)校報(bào)信，然后他隨即追趕隊(duì) 伍，通訊員的速度是14千米/時(shí)，他在距離部隊(duì)6千米處追上隊(duì)伍， 問學(xué)校到部隊(duì)的距離是多少？(報(bào)信時(shí)間忽略不計(jì))分析：該題的解答關(guān)鍵在于，通訊員從返回學(xué)校到追上隊(duì)伍所用時(shí)間 與隊(duì)伍走了 4.5千米到距離部隊(duì)6千米這段路程所用時(shí)間是相等的(同一段時(shí)間)。解：設(shè)學(xué)校到部隊(duì)的距離是x千米。據(jù)題意得：(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14 ,解之得：x=15.5答：學(xué)校到部

5、隊(duì)的距離是15.5千米。當(dāng)然，以上四種方法不是孤立使用的，如例 4的解答必然要用到公式：路程=速度 刈寸間”。并且一個(gè)題目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用總分法：解：設(shè)人員分配后乙處人數(shù)為 x人，甲處為2x人。分配后的總?cè)藬?shù)為27+19+20 = 66人，據(jù)題意有：x+2x =27+19+20 ,解之得x = 22,.2x = 44,故 44 27 = 17 （人），22 19 = 39 （人）答：應(yīng)調(diào)往甲處17人，乙處3人。一元一次方程應(yīng)用題歸類匯集：行程問題，工程問題，和差倍分 問題（生產(chǎn)、做工等各類問題）， 調(diào)配問題，分配問題，配套問題， 增長(zhǎng)率問題數(shù)字問題，方案設(shè)計(jì)與成本分

6、析，古典數(shù)學(xué)，濃度 問題。路程=速度x時(shí)間（一）行程問題：（1）行程問題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系:(2)基本類型有 相遇問題； 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題;環(huán)形跑道問題。(3)解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程 關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來(lái)分析, 理解行程問題。例：甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行 90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行 140公里。(1)慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？(2)兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距 600公里？(3)兩車同時(shí)開出，慢車在快

7、車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？(4)兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？(5)慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。， 入 y 入 .(1)分析：相遇問題，畫圖表示為：甲乙等量關(guān)系是：600(2)分析：相背而行，畫圖表不為: 等量關(guān)系是：(3)分析：等量關(guān)系為：快車所走路程慢車所走路程 +480公里=600公里。解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(4)分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480

8、公里I1 人 4甲乙解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車。 由題意得,(5)分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里解:練習(xí)： 1、已知 A、 B 相距 60 千米，甲位于A 處，騎自行車，他的速度是每小時(shí)15 千米，乙位于B 處，開汽車，他的速度是每小時(shí)45千米。（ 1）若他們同時(shí)相向而行，則經(jīng)幾小時(shí)他們相遇？（ 2）若他們相向而行，小明先騎車0.5 小時(shí)，問幾小時(shí)他們相遇？（ 3）若他們同時(shí)同向而行，則經(jīng)幾小時(shí)乙追上甲？（ 4） 若他們同向而行，甲先騎車1 小時(shí)以后，問乙經(jīng)幾小時(shí)追上甲？（ 5）若他們同向而行，甲先騎車1 小時(shí)以后，發(fā)現(xiàn)他的一個(gè)重要文件在乙那里，因此掉頭去拿，

9、同時(shí)乙也開車給甲送去，問甲經(jīng)幾小時(shí)和乙碰到？2. A、 B 兩地相距1200千米。甲從A 地、乙從B 地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每分鐘行50 千米，乙每分鐘行70 千米。兩人在C 處第一次相遇。問AC 之間距離是多少？如相遇后兩人繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)A、 B 兩地后立即返回， 在 D 處第二次相遇。 問 CD 之間距離是多少？3. 從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時(shí)，已知步行速度為每小時(shí)8千米，公交車的速度為每小時(shí)40千米，設(shè)甲乙兩地相距x千米，則列方程為。4. 某人從家里騎自行車到學(xué)校。若每小時(shí)行15千米，可比預(yù)定的時(shí)間早到15分鐘；若每小時(shí)行9千米，可比預(yù)定的時(shí)間晚到15分鐘；求從

10、家里到學(xué)校的路程有多少千米？（二） 行船問題流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。流水問題有如下兩個(gè)基本公式：1）順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速- 水速（ 2）這里， 順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路程。公式（ 1）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)， 同時(shí)這艘船又在按著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水

11、流速度之差。水速=船速- 逆水速度船速=逆水速度+水速船速=（順?biāo)俣? 逆水速度）+2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2練習(xí)： 1. 一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭的之間的距離？2. 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，風(fēng)速為每小時(shí)24千米， 順風(fēng)飛行需要 2小時(shí)50分鐘，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)，求兩城市間距離。（三）工程問題：工程問題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：工作總量 =工作效率X工作時(shí)間經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，設(shè)工作總量為單位1。例 一件工程，甲獨(dú)做需15 天完成，乙獨(dú)做需12 天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3 天后，甲有其他任務(wù)，剩下工

12、程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？分析設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：練習(xí)： 1. 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要10天完成，乙單獨(dú)做需要15天完成，兩人合作4天后，剩下的部分由乙單獨(dú)做，需要幾天完成？2. 某工程由甲、乙兩隊(duì)完成，甲隊(duì)單獨(dú)完成需16天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需12天。如先由甲隊(duì)做4天，然后兩隊(duì)合做，問再做幾天后可完成工程的六分之五？3. 已知某水池有進(jìn)水管與出水管一根，進(jìn)水管工作15小時(shí)可以將空水池放滿，出水管工作24小時(shí)可以將滿池的水放完；（ 1） 如果單獨(dú)打開進(jìn)水管，每小時(shí)可以注入的水占水池的幾分之幾？（ 2） 如果單獨(dú)打開出水管，每小時(shí)可以放出的水占水池的幾分之幾？（ 3）如

13、果將兩管同時(shí)打開，每小時(shí)的效果如何？如何列式？（ 4）對(duì)于空的水池，如果進(jìn)水管先打開2小時(shí)，再同時(shí)打開兩管，問注滿水池還需要多少時(shí)間？4. 有一個(gè)水池，用兩個(gè)水管注水。如果單開甲管，2小時(shí)30分注滿水池，如果單開乙管，5小時(shí)注滿水池。 如果甲、乙兩管先同時(shí)注水20分鐘，然后由乙單獨(dú)注水。問還需要多少時(shí)間才能把水池注滿？ 假設(shè)在水池下面安裝了排水管丙管，單開丙管3小時(shí)可以把一滿池水放完。如果三管同時(shí)開放，多少小時(shí)才能把一空池注滿水？（四）和差倍分問題（生產(chǎn)、做工等各類問題）1. 和、差、倍、分問題：1）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率”來(lái)體現(xiàn)。（2）多少

14、關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余”來(lái)體現(xiàn)。練習(xí)： 1. 整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成?，F(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體先安排多少人工作。2. 岳池縣城某居民小區(qū)的水、電、 氣的價(jià)格是: 水每噸 1.55元 , 電每度 0.67元 , 天然氣每立方米1.47元 . 某居民戶在2006年 11月份支付款 67.54元 , 其中包括用了5噸水、35度電和一些天然氣的費(fèi)用, 還包括交給物業(yè)管理4.00元的服務(wù)費(fèi). 問該居民戶在2006年 11月份用子多少立方米天然氣?3. 已知: 我市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：乘車

15、里程不超過2公里的一律收費(fèi)2元；乘車?yán)锍坛^2公里的，除了收費(fèi)2元外超過部分按每公里1.4元計(jì)費(fèi).（1）如果有人乘出租車行駛了 x公里（x2），那么他應(yīng)付多少車費(fèi)？（列代數(shù)式，不化簡(jiǎn)）（ 2）某游客乘出租車從客運(yùn)中心到三星堆，付了車費(fèi)10.4元，試估算從客運(yùn)中心到三星堆大約有多少公里？4. 某車間加工30個(gè)零件，甲工人單獨(dú)做，能按計(jì)劃完成任務(wù)，乙工人單獨(dú)做能提前一天半完成任務(wù)，已知乙工人每天比甲工人多做1個(gè)零件，問甲工人每天能做幾個(gè)零件？原計(jì)劃幾天完成？5. 已知購(gòu)買甲種物品比乙種物品貴5元，某人用款 300元買到甲種物品10件和乙種物品若干件，這時(shí)，它每到甲、乙物品的總件數(shù)，比把這筆款全都購(gòu)

16、買甲種物品的件數(shù)多5件，問甲、 乙物品每件各是多少元？6. 兩個(gè)班組工人，按計(jì)劃本月應(yīng)共生產(chǎn)680個(gè)零件，實(shí)際第一組超額20、第二組超額15完成了本月任務(wù)，因此比原計(jì)劃多生產(chǎn)118個(gè)零件。問本月原計(jì)劃每組各生產(chǎn)多少個(gè)零件？7. 某工廠甲、乙、 丙三個(gè)工人每天生產(chǎn)的零件數(shù)，甲和乙的比是3： 4，乙和丙的比是2： 3。若乙每天所生產(chǎn)的件數(shù)比甲和丙兩人的和少945件，問每個(gè)工人各生產(chǎn)多少件？（五）勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有:（ 1）既有調(diào)入又有調(diào)出；（ 2）只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變；（ 3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。例 3. 機(jī)械廠加工車間有8

17、5 名工人，平均每人每天加工大齒輪16 個(gè)或小齒輪10 個(gè)，已知2 個(gè)大齒輪與3 個(gè)小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪， 才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？練習(xí)： 1. 某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？2. 甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，從甲隊(duì)調(diào)12人到乙隊(duì)后，甲隊(duì)剩下來(lái)的人數(shù)是原乙隊(duì)人數(shù)的一半還多15人。求甲、 乙兩隊(duì)原有人數(shù)各多少人？3. 甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時(shí)兩車間的人數(shù)相等

18、，求原來(lái)甲乙車間的人數(shù)。（六）配套問題：1. 某車間有 28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時(shí)平均能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)， 應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母）？2. 包裝廠有工人42人，每個(gè)工人平均每小時(shí)可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長(zhǎng)方形鐵片80片，將兩張圓形鐵片與和一張可配套成一個(gè)密封圓桶，問如何安排工人生產(chǎn)圓形或長(zhǎng)方形鐵片能合理地將鐵片配套？3. 某部隊(duì)派出一支有25人組織的小分隊(duì)參加防汛抗洪斗爭(zhēng)，若每人每小時(shí)可裝泥土18袋或每2人每小時(shí)可抬泥土14袋， 如何安排好人力，才能使裝泥和抬泥密切配合，而正好清場(chǎng)干凈。4. 某車間加工機(jī)軸和軸承，一

19、個(gè)工人每天平均可加工15個(gè)機(jī)軸或10個(gè)軸承。該車間共有80人，一根機(jī)軸和兩個(gè)軸承配成一套，問應(yīng)分配多少個(gè)工人加工機(jī)軸或軸承，才能使每天生產(chǎn)的機(jī)軸和軸承正好配套。5. 某廠生產(chǎn)一批西裝，每2米布可以裁上衣3件，或裁褲子4條，現(xiàn)有花呢 240米，為了使上衣和褲子配套，裁上衣和褲子應(yīng)該各用花呢多少米？（七）分配問題：4. 學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個(gè)床位，如果每室住9人，則空出兩個(gè)房間。求房間的個(gè)數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。5. 學(xué)校春游，如果每輛汽車坐45人，則有28人沒有上車；如果每輛坐50人，則空出一輛汽車，并且有一輛車還可以坐12人，問共有多少學(xué)生，多少汽車？6. 小明看書若干日，若每日

20、讀書32頁(yè)，尚余31頁(yè)；若每日讀36頁(yè)，則最后一日需要讀39頁(yè)，才能讀完，求書的頁(yè)數(shù)。（8） 年齡問題：12. 甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是 .13. 小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年齡（9） 比賽積分問題：10. 某企業(yè)對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行英語(yǔ)考試，試題由50道選擇題組成，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每道題的答案選對(duì)得3分，不選得0分，選錯(cuò)倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個(gè)人選錯(cuò)了 道題。11. 某學(xué)校七年級(jí)8個(gè)班進(jìn)行足球友誼賽，采用勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得 1分，負(fù)一場(chǎng)得0分的記分制。某班與其他7個(gè)隊(duì)各

21、賽1場(chǎng)后，以不敗的戰(zhàn)績(jī)積17分，那么該班共勝了幾場(chǎng)比賽？（十）利潤(rùn)贏虧問題（ 1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)等（ 2）有關(guān)關(guān)系式：商品利潤(rùn)= 商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率一商品進(jìn)價(jià)商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品進(jìn)價(jià)商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率例 . 一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8 折優(yōu)惠賣15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少？分析：探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為X元進(jìn)價(jià)折扣率標(biāo)價(jià)優(yōu)惠價(jià)利潤(rùn)x元8折(1+40% x 元80% (1+40% x15元等量關(guān)系：（利潤(rùn)=折扣后價(jià)格一進(jìn)價(jià)）折扣后價(jià)格-進(jìn)價(jià) 二15解：設(shè)進(jìn)價(jià)為X元，（十一）儲(chǔ)蓄問題 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息， 本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比 叫做利率。利息的20%寸利息稅