換元積分法和分部積分法

1、2021/8/614.2 4.2 換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法 第四章第四章 一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法三、分部積分法三、分部積分法（Integration by Substitution and Integration by Parts ）二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法2021/8/62第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo),xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有基本思路基本思路 2021/8/63在上次課中，我們學(xué)習(xí)了

2、在上次課中，我們學(xué)習(xí)了“不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)” 給出了給出了“基本積分公式表基本積分公式表” 。但是，但是，對(duì)于形如對(duì)于形如2sin2 d ;x x21d ;xx這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表我們就無能為力了。我們就無能為力了。為此，為此，2021/8/64一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法定理定理4.2.1 ,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元公式xxxfd)()()d( )( )xfx( )duf u)(xu(也稱配元法配元法 , 湊微分法湊微分法)證明過程請(qǐng)看書!2021/8/6512d .xa

3、xx例例4.2.1 1 1）求求111( )lnxxaa dCxa2）求1d(1)xxx12d2arctan(1)xCxx補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1 求() d(1 . )maxbmx 解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC2021/8/6622 exxdx補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題2 2求求答案：答案：2exC補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題3 3 求求22d.xax答案：答案：1arctanxCaa例例4.2.4 求求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例4.2.5 求求22d.xxa答

4、案：答案：1ln2xaCaxa2021/8/67xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: : 2021/8/68xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式

5、 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題4 4 求自主學(xué)習(xí)課本自主學(xué)習(xí)課本P141P141例例4.2.64.2.6、例例4.2.74.2.7、例例4.2.84.2.82021/8/69例例4.2.9 求tan dcot dx xx x和解解:xdxdxxxxdxsinsin1sincoscotCx + sin ln=類似可求得xdxtanCx cos ln . dsec xx求xxxxxxxxdtansec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxfxxfxf | )(|lnd)()( :一般

6、有例例4.2.10 解解:2021/8/610解法解法2 （與課本解法不一樣）（與課本解法不一樣）xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln212021/8/611補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題5 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題6 6求35cossindxxx4681111coscoscos438xxxC或或68211sinsin.68xxC2021/8/612解 .

7、 d)ln(ln1 2xxxx計(jì)算xxxxxxxxxd)ln1 (ln1d)ln(ln1222 dln1d ln1 2，故，則令xxxuxxu dd)ln(ln122uuxxxx 1Cu . lnCxxx補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題7 72021/8/613 . )0( d axxaxa計(jì)算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsin22Cxaaxa補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題8 8解解:2021/8/614 . d)1 ( arctan xxxx計(jì)算，故，則令xxuxu2dd uuuxxxxd1arctan2d)1 ( arcta

8、n2，從而，則令21dd arctan uuvuv d2d)1 ( arctanvvxxxxCv 2. ) (arctan)(arctan22CxCu 換元法可以連續(xù)使用補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題9 9解解:2021/8/615)2cos2cos21 (241xx 4cosd .x x求求解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題10 10 自主學(xué)習(xí)課本

9、自主學(xué)習(xí)課本P141P141例例4.2.114.2.11例例4.2.134.2.132021/8/616二、第二類換元法二、第二類換元法第一類換元法第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分xxxfd)()(易求,則用第二類換元積分法第二類換元積分法 .難求，uufd)(2021/8/617)()()(ttft( )xt是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且( )0,t ( )( )ftt具有原函數(shù) ,1( )( )d ( )( )dtxf xxfttt證明略證明略, 詳細(xì)過程可參見課本詳細(xì)過程可參見課本P142則有換元公式定理定理4.2.2 設(shè)設(shè)1( )( )txxt其其

10、中中是是的的反函數(shù)反函數(shù)2021/8/618d1xx . . 1+1+d2 dtxxtt令令，故故 1+ 1+ dd211xtttx 1+1+tttd111 2ttd) 111 ( 2Ctt) | 1|ln ( 222ln(1).xxC1 1+ +1 1+ + 例例4.2.14 計(jì)算1）解解:2021/8/619掉根式。積分，原則上是設(shè)法去對(duì)于含有根式的函數(shù)的分。的不含根式的函數(shù)的積即可將問題轉(zhuǎn)化為一般變量積分，直接令根式為新有些含有根式的函數(shù)的 2021/8/620 . d 3xxx計(jì)算 . 6 , ,31321為分母的最小公倍數(shù)的指數(shù)部分的它們xxxx , 0 , 61txt令 ,d 6d

11、 , 56故則ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd) 111 (62Ctttt | 1|ln6 6 3 223 . ) 1ln(6632663Cxxxx補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1111解解:2021/8/621 . , , , , . , , , , , 2111的最小公倍數(shù)為分母其中可作變量代換四則運(yùn)算構(gòu)成時(shí)通過被積函數(shù)由一般說來nkqpqpqqqkxtxxxnn2021/8/622. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2tta

12、x22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題12 12 求求自主學(xué)習(xí)課本自主學(xué)習(xí)課本P142例例4.2.14 2）2021/8/623. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1313 求求自主學(xué)習(xí)課本自主學(xué)習(xí)課本P142例例4.2.152021/8/624. )0(d22aaxx解解:,時(shí)當(dāng)

13、ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1414 求求2021/8/625,時(shí)當(dāng)ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時(shí)ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln自主學(xué)習(xí)課本自主學(xué)習(xí)課本P143例例4.2.162021/8/62622(1) axtaxsin或或taxcos

14、22(2) axtaxtan22(3)xataxsec從上面三個(gè)例子，可以看出如果被積函數(shù)含有：從上面三個(gè)例子，可以看出如果被積函數(shù)含有：可作代換可作代換 可作代換可作代換可作代換可作代換2021/8/627解解 于是于是222d()xxa2422secd(tan1)attat 231cosdtta311(sin2 )24ttCa311(sin cos )22tttCa32221arctan22()xxCaaaxa2021/8/628第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(2

15、2xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch第三節(jié)講第三節(jié)講2021/8/629xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln(7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafx令xat 2. 2. 常用基本積分公式的常用基本積分公式的補(bǔ)充補(bǔ)充 2021/8/630 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22C

16、axaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln2021/8/631前面，我們利用復(fù)合函數(shù)的求到法則得到了前面，我們利用復(fù)合函數(shù)的求到法則得到了“換元積分法換元積分法” 。但是，但是，對(duì)于形如對(duì)于形如e d ;xxxln d ;xx xsin d ;xx x的積分用的積分用直接積分法直接積分法或或換元積分法換元積分法都無法計(jì)算都無法計(jì)算. 注意到，注意到，這些積分的被積函數(shù)都有共同的特點(diǎn)這些積分的被積函數(shù)都有共同的特點(diǎn)都是兩種不同類型函數(shù)的乘積。都是兩種不同類型函數(shù)的乘積。這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就是另一個(gè)基本的

17、積分方法：這就是另一個(gè)基本的積分方法：分部積分法分部積分法. 函數(shù)乘積的微分法則反過來用于求這類不定積分，函數(shù)乘積的微分法則反過來用于求這類不定積分，2021/8/632vuvuuv )(積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易計(jì)算 .:)d(的原則或及選取vvu由導(dǎo)數(shù)乘法公式：2021/8/633 第四章第四章 （Integration by Parts）sind .求 xx x補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1616解解: 令,xu sin ,vx 則, 1 ucosvx 原式( cos )xx( cos )

18、 dxxcossinxxxC 另解另解: 令sin ,ux,vx 則cos ,ux 22xv 原式2sin2xx2cosd2xx x三、分部積分法三、分部積分法答案答案sincosxxxC2021/8/634一般說來, 當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時(shí), 可考慮運(yùn)用分部積分法進(jìn)行計(jì)算:冪函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 , 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 , 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積 ,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之積 , 一個(gè)函數(shù)難于用其它方法積分 ,兩個(gè)函數(shù)的乘積 .2021/8/635:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” 的順序, 前者為 后者為u.v補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題18 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 則,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反反: 反三角函數(shù)反