大學(xué)物理05-5麥克斯韋速率分布律

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=20.40 cm、刻有螺旋形細(xì)槽、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼圓柱體。的鋁鋼圓柱體。 平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度。若不考慮分子速度的方向，則叫的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。麥克斯韋速率分布律。OD鉈蒸氣源鉈蒸氣源檢測(cè)器檢測(cè)器L抽氣抽氣抽氣抽氣 BC810 mmHg密勒和庫士實(shí)驗(yàn)（密勒和庫士實(shí)驗(yàn)（1955年）年）上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出

2、退出長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=20.40 cm、刻有螺旋形、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼圓柱體。細(xì)槽的鋁鋼圓柱體。 當(dāng)鋁鋼圓柱體以給定角當(dāng)鋁鋼圓柱體以給定角速度速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只有滿足下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只有滿足下列關(guān)系式的原子才能順利通列關(guān)系式的原子才能順利通過細(xì)槽出口：過細(xì)槽出口： 而其它速率的原子則將沉積在而其它速率的原子則將沉積在槽壁上而不能通槽壁上而不能通過。過。改變角速度改變角速度 ，檢測(cè)器檢測(cè)器D則測(cè)出通過細(xì)槽的不則測(cè)出通過細(xì)槽的不同速率的原子射線強(qiáng)度，于是可得原子蒸氣的速率同速率的原子射線強(qiáng)度，于是可得原子蒸氣的速率分布，見下圖。分布，見下圖。LtvvL這這里里的的斜斜槽槽是是一一速速率率選選擇擇器器。上頁上

3、頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出Ov相對(duì)分子數(shù)相對(duì)分子數(shù)分子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線分子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線分子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線（柱狀圖）如下所示：分子速率分布實(shí)驗(yàn)曲線（柱狀圖）如下所示：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出將速率分成若干相等的區(qū)間，如將速率分成若干相等的區(qū)間，如0 10 m/s; 10 m/s 20 m/s; 20 m/s 30 m/s; 1.1.研究氣體分子的速率分布研究氣體分子的速率分布把速率分成若干相等區(qū)間把速率分成若干相等區(qū)間求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)各

4、區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比速率分布：速率分布：把速率可能出現(xiàn)的值分成若干相等區(qū)間，把速率可能出現(xiàn)的值分成若干相等區(qū)間，全部分子如何分配到這些區(qū)間中去的問題。全部分子如何分配到這些區(qū)間中去的問題。分布表分布表 分布曲線分布曲線 分布函數(shù)分布函數(shù)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出設(shè)任一速率區(qū)間為：設(shè)任一速率區(qū)間為：設(shè)總的氣體分子數(shù)為設(shè)總的氣體分子數(shù)為N，在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為，在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為N分布在速率分布在速率 v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)分布在速率分布在速率 v 附近單位速率間隔

5、內(nèi)的分子數(shù)附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。占總分子數(shù)的比率。當(dāng)當(dāng)2. 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 的定義的定義在平衡態(tài)下，在平衡態(tài)下，f(v)僅是僅是v的函數(shù)的函數(shù)。注意：注意：vf(v)Ov v+vNvNvN0v 時(shí)時(shí)，d vv ；dNN；0( )limvNf vvN ddNN vvvv上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出3. 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) f(v) 的意義：概率密度函數(shù)的意義：概率密度函數(shù)分布在速率分布在速率 v 附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)的百分比分子數(shù)的百分比( (比率比率)

6、 )；對(duì)單個(gè)分子來說，它表示分子速率落在該單位速對(duì)單個(gè)分子來說，它表示分子速率落在該單位速 率間隔內(nèi)的概率。率間隔內(nèi)的概率。4. 速率分布曲線速率分布曲線在在v-v+dv區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比( (概率概率) )為為在在0- 區(qū)間有區(qū)間有0( )d1f vv歸一化條件歸一化條件在在v1-v2區(qū)間區(qū)間21( )dvvNf vvN( )f vvOdv1v2vd( )dNf vvNNN 面積dNN面面積積上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 早在早在1859年，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念和力學(xué)原理年，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念和力學(xué)原

7、理導(dǎo)出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式導(dǎo)出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式23222( )4() e2mvkTmf vvkT)(vfvO它是二次函數(shù)它是二次函數(shù) 與指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù) 共同作用的結(jié)果。共同作用的結(jié)果。2v2exp2mvkT上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出麥克斯韋（麥克斯韋（James Clerk Maxwell 18311879）19世紀(jì)偉大的英國(guó)世紀(jì)偉大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電磁理論的奠經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。的創(chuàng)始人之一。 他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念

8、，建他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論（麥克斯韋方程組），立了經(jīng)典電磁理論（麥克斯韋方程組），預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的年，他的電磁學(xué)通論電磁學(xué)通論問世，這問世，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓的是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓的自然哲自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理學(xué)的數(shù)學(xué)原理并駕齊驅(qū)，它是人類探索并駕齊驅(qū)，它是人類探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率（速度）分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。按速率（速度）分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁

9、返回返回 退出退出麥克斯韋速率分布函數(shù)（概率密度）麥克斯韋速率分布函數(shù)（概率密度）232/22( )4e2mvkTmf vvkT式中式中 是氣體的熱力學(xué)溫度，是氣體的熱力學(xué)溫度， 是每個(gè)分子的質(zhì)量，是每個(gè)分子的質(zhì)量， 是玻是玻耳茲曼常量。耳茲曼常量。Tmk復(fù)雜的系數(shù)復(fù)雜的系數(shù)是因歸一化是因歸一化的需要！的需要！特點(diǎn)：曲線從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)特點(diǎn)：曲線從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過一極大值后，隨著速率的增大過一極大值后，隨著速率的增大而逐漸趨近于橫坐標(biāo)軸。這說明而逐漸趨近于橫坐標(biāo)軸。這說明氣體分子速率可以取從氣體分子速率可以取從0到到之間之間的一切數(shù)值。速率很大和速率很的一切數(shù)值。速率很大和速率很小的分子數(shù)

10、所占的比率都很小，小的分子數(shù)所占的比率都很小，f(0)=f()=0，而具有中等速率的，而具有中等速率的分子數(shù)所占的比率卻很大。分子數(shù)所占的比率卻很大。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題5-5 5-5 從速率分布函數(shù)推算分子的三個(gè)統(tǒng)計(jì)速率從速率分布函數(shù)推算分子的三個(gè)統(tǒng)計(jì)速率(1)(1)算術(shù)平均速率算術(shù)平均速率(2)(2)方均根速率方均根速率0( )dvvf vv2322204() ed2mvkTmvvvkT8kTmmol8RTMmol1.60RTM220( )dvv f vv23222204() ed2mvkTmvvvkT23kTvmmol3RT

11、Mmol1.73RTM上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出(3)(3)最概然速率最概然速率(the most probable speed)：vp最概然速率是指在任一溫度最概然速率是指在任一溫度T 時(shí)，氣體中分子最可能時(shí)，氣體中分子最可能具有的速率值。具有的速率值。(4)(4)三種速率的關(guān)系三種速率的關(guān)系即在即在v =vp時(shí)，分布函數(shù)取極大值。時(shí)，分布函數(shù)取極大值。ddfv2232p2224() 2 ee2mmvvkTkTv vmmvvvkTkTp2kTvmmol2RTMmol1.41RTM2pvvv0)(vfvOpvv2v2p:1.41:1.60:1.

12、73vvv 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出prms TmMvvv三三個(gè)個(gè)速速率率都都與與成成正正比比，與與或或成成反反比比，在在室室溫溫下下它它們們的的數(shù)數(shù)量量級(jí)級(jí)一一般般在在幾幾百百米米每每秒秒至至幾幾千千米米每每秒秒。三種統(tǒng)計(jì)速率有不同的應(yīng)用：三種統(tǒng)計(jì)速率有不同的應(yīng)用： 在討論速率分布時(shí)，要用到最概然速率；在計(jì)在討論速率分布時(shí)，要用到最概然速率；在計(jì)算分子碰撞頻率時(shí)，要用到平均速率；在計(jì)算分子算分子碰撞頻率時(shí)，要用到平均速率；在計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，則要用到方均根速率。的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)，則要用到方均根速率。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出

13、退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出(1)vvfd)(速率在速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比(2)vvNfd)(速率在速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)(3)21( )dvvf vv速率在速率在v1v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比(4)21( )dvvNf v v速率在速率在v1v2內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)(5)( )dvNf v v速率比速率比 v 大大的分子數(shù)的分子數(shù)(6)0( )dvNf v v速率比速率比 v 小小的分子數(shù)的分子數(shù)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出(12

14、) 21dvvvf vv無實(shí)際物理意義！無實(shí)際物理意義！(9)21( )dvvNvf v v速率在速率在v1v2內(nèi)所有分子速率的總和內(nèi)所有分子速率的總和(10)21() ( )d2vNmvf v v速率比速率比 v 大大的所有分子平動(dòng)動(dòng)能之和的所有分子平動(dòng)動(dòng)能之和(7)201()( )d2mvf vv所有分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值所有分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值(8)0( )( )dv f vv( )v(11) 2121ddvvvvvf vvf vv速率在速率在v1v2區(qū)間所有分子速率的平均值區(qū)間所有分子速率的平均值上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出同一氣體，不同溫

15、度：同一氣體，不同溫度：曲線的峰值右移，由于曲線下曲線的峰值右移，由于曲線下面積為面積為1不變，所以峰值降低。不變，所以峰值降低。p2 kTmTvm 不不變變，T1T221TT( )f vp1vp2vvO不同氣體，相同溫度：不同氣體，相同溫度：p2 kTTmvm 不不變變，曲線的峰值左移，由于曲線下曲線的峰值左移，由于曲線下面積為面積為1不變，所以峰值升高。不變，所以峰值升高。m2m121mm( )f vp2vp1vvO上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出練習(xí)一、練習(xí)一、試計(jì)算試計(jì)算27下的氧氣分子的三種速率。下的氧氣分子的三種速率。28.31 3001

16、.731.73483 m/s0.032RTvM8.31 3001.601.60447 m/s0.032RTvM可見在相同溫度下可見在相同溫度下:2p vvv0.032 kg/mol, 27327300 KMT解解: :p8.31 3001.411.41394 m/s0.032RTvM上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出2pH3()10RTv31.41 10 m/s222HH3()RTMvm/s1073. 13氦氣的速率分布曲線如圖所示，氦氣的速率分布曲線如圖所示，練習(xí)二、練習(xí)二、求：求：(2) 氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率。氫氣在該溫度時(shí)的最概

17、然速率和方均根速率。(1) 試在圖上畫出同溫度下氫氣分子速率分布曲線的大致圖；試在圖上畫出同溫度下氫氣分子速率分布曲線的大致圖；解：解：pHe32()1000 m/s2 10RTRTMv(2)1000He2H( )f vO(m/s)v上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題5-6 5-6 試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于 vp-vp/100 和和 vp+vp/100 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。百分比。ppp99100100vvvvppppp10010050vvvvvv 在此利用在此利用

18、vp，引入，引入W=v/vp，把麥克斯韋速率，把麥克斯韋速率分布律改寫成如下簡(jiǎn)單形式：分布律改寫成如下簡(jiǎn)單形式：224eWNWWN解：解：按題意按題意請(qǐng)作為公式記住此請(qǐng)作為公式記住此麥克斯韋速率分布麥克斯韋速率分布律的簡(jiǎn)化式！律的簡(jiǎn)化式！上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出22991004991e1.6601%10050NN把這些量值代入前式即把這些量值代入前式即得得p99,100vWvp150vWv現(xiàn)在現(xiàn)在說明：若以說明：若以W=1代入更為方便。代入更為方便。221411e1.6604%50NN可見誤差極其微小！可見誤差極其微??！上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 選擇進(jìn)入下一節(jié)選擇進(jìn)