高考二輪小專題-圓錐曲線題型歸納

1、高考二輪小專題：圓錐曲線題型歸納基礎(chǔ)知識(shí) ：1直線與圓的方程；2橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程公式；3橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)：a 、 b 、 c 、 e 、 p 、漸近線?；痉椒ǎ? 待定系數(shù)法：求所設(shè)直線方程中的系數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)a 、 b 、 c 、 e、 p 等等；2 齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關(guān)的問(wèn)題；3 韋達(dá)定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求，用韋達(dá)定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達(dá)定理，而直接計(jì)算出兩個(gè)根；4 點(diǎn)差法：弦中點(diǎn)問(wèn)題，端點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求。也叫五條等式法：點(diǎn)滿足方程兩個(gè)、中點(diǎn)坐標(biāo)

2、公式兩個(gè)、斜率公式一個(gè)共五個(gè)等式；5 距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長(zhǎng)度問(wèn)題、比例問(wèn)題、向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問(wèn)題、比例問(wèn)題、坐標(biāo)問(wèn)題；基本思想：1“常規(guī)求值”問(wèn)題需要找等式，“求范圍”問(wèn)題需要找不等式；2“是否存在”問(wèn)題 當(dāng)作存在 去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無(wú)解；3證明“過(guò)定點(diǎn)”或“定值” ，總要設(shè)一個(gè)或幾個(gè)參變量，將對(duì)象表示出來(lái)，再說(shuō)明與此變量無(wú)關(guān)；4證明不等式，或者求最值時(shí)，若不能用幾何觀察法，則必須用函數(shù)思想將對(duì)象表示為變量的函數(shù)，再解決；5有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法 ，才能使計(jì)算具有可行性 ，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；6大多數(shù)問(wèn)題只要 忠實(shí)、準(zhǔn)確 地將題目每個(gè)條

3、件和要求表達(dá)出來(lái)，即可自然而然產(chǎn)生思路。一、求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長(zhǎng)、漸近線等常規(guī)問(wèn)題例 .x2y2【浙江理數(shù)】設(shè) F1 、 F2 分別為雙曲線2b2 1, （ a >0、 b >0）的左、右焦點(diǎn) . 若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，a滿足 PF2F1F2 ，且 F2 到直線 PF1 的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】 C例 .【遼寧文數(shù)】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為, 如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】 D例（ 14 分）已知橢圓 x2y21 (a b0) .過(guò)點(diǎn)（ 2，

4、1）且方向向量為 a ( 1 ,1) 的直線 L 交橢圓與 A、Ba2b222兩點(diǎn)。若線段 AB 的中點(diǎn)為 M ，求直線 OM 的斜率（用 a、 b 表示）；若橢圓的離心率為3 ，焦距為2，求線段 AB 的長(zhǎng)；3在的條件下，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1 ，求ABF1 的面積。點(diǎn)評(píng)： 常規(guī)求值問(wèn)題的方法：待定系數(shù)法，先設(shè)后求，關(guān)鍵在于找等式。二、“是否存在”問(wèn)題例（ 14 分）已知定點(diǎn)A（ -2， -4），過(guò)點(diǎn) A 作傾斜角為45 度的直線L ，交拋物線y22 px （ p >0）于 B 、C 兩點(diǎn)，且線段 BC 長(zhǎng)為 210。（ I）求拋物線的方程；（ II ）在（ I）中的拋物線上是否存在點(diǎn)

5、D ，使得 DB=DC 成立？若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（答： y22x 。存在點(diǎn) D（ 2， 2）或（ 8，-4）例 .【北京理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A（ -1,1 ）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱， P 是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP 與 BP的斜率之積等于.( ) 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；( ) 設(shè)直線 AP和 BP分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn) P 使得 PAB與 PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。三、過(guò)定點(diǎn)、定值問(wèn)題例、（ 14 分）已知拋物線S 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC 所在直

6、線L 的方程為 4x+y-20=0.( ) 求拋物線 S 的方程 ;( ) 若 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q 是拋物線S 上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且ABC 的重OPOQ 。試說(shuō)明動(dòng)直線PQ 是否過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。（答： y216 x ，定點(diǎn)為M （ 16， 0）例 .(14 分 )已知橢圓x2y 21abC：（>>0），過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角a2b21形。( ) 求橢圓的方程;( ) 過(guò)點(diǎn) Q（ 1，0）的直線 L 交橢圓于 A 、B 兩點(diǎn)，交直線x = 4 于點(diǎn) E，設(shè) AQQB ， AEEB 。求證：為定值，并計(jì)算出該定值。點(diǎn)

7、評(píng)：距離轉(zhuǎn)化法把斜線上的轉(zhuǎn)化為垂直與水平上的，比如向量中的比例以坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，比如拋物線中焦半徑與到準(zhǔn)線距離的轉(zhuǎn)化。例（ 14 分）過(guò)拋物線 y24ax （ a >0）的焦點(diǎn) F 作任意一條直線分別交拋物線于A 、B 兩點(diǎn)，如果AOB （O 為原點(diǎn)）的面積是 S，求證：S2為定值。（答： a3）AB點(diǎn)評(píng)： 證明定值問(wèn)題的方法 ：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無(wú)關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點(diǎn)問(wèn)題的方法 ：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明。四最值問(wèn)題例（ 14 分）定長(zhǎng)為3

8、的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2x 上移動(dòng)，記線段AB 的中點(diǎn)為M ，求點(diǎn) M 到 y 軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)。（答：最短距離為5 ，M 的縱坐標(biāo)為2）42點(diǎn)評(píng)： 最值問(wèn)題的方法 ：幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。五、求參數(shù)范圍問(wèn)題。常用思路：尋找不等式。將各限制條件都列出，再求交集。不要遺漏限制條件。常用建立不等式的途徑：(1) 直線與曲線有交點(diǎn)時(shí)判別式大于等于零； 圓錐曲線中變量 X 、Y 的取值范圍； 點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，如弦的中點(diǎn)在曲線內(nèi)部；已知題設(shè)中有的范圍；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有

9、界性；均值不等式；焦半徑的取值范圍；函數(shù)的值域 ;三角形圖形中兩邊之和大于第三邊。例： 1.若直線 y=kx+1 與焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 x 2y21 恒有公共點(diǎn)，則 t 的取值范圍為 _.（答： 1,55tx2y21 的中心和左焦點(diǎn)， 點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)， 則 OP FP2【福建文數(shù)】 若點(diǎn) O和點(diǎn) F 分別為橢圓34的最大值為（）A 2B 3C 6D 8【答案】 C（利用圓錐曲線中變量X 、 Y的取值范圍； ）3設(shè) a >1，則雙曲線 x2y21 的離心率 e 的取值范圍為 _;（答：2,5）a2( a 1)2x2y21 的左右焦點(diǎn)，過(guò) F1 作垂直于 x 軸的直線交雙曲線

10、于A 、B 兩點(diǎn)，若ABF24若 F1 、 F2 是雙曲線2b2a為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍為_;（答： 1,12）5.若 M 是橢圓x 2y21 上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1 、 F2 是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則MF 1MF 2 的最大值為 _;94（答： 9）（利用均值不等式 ）6若點(diǎn) P 是拋物線 y22 x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到點(diǎn)（ 0， 2）的距離與點(diǎn)P 到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_; （答：17）（利用三角形兩邊之和大于第三邊）2六、規(guī)范解題解析幾何在高考中經(jīng)常是兩小題一大題：兩小題經(jīng)常是常規(guī)求值類型，一大題中的第一小題也經(jīng)常是常規(guī)求值問(wèn)題，故常用方程思想先設(shè)后求即可。解決第

11、二小題時(shí)常用韋達(dá)定理法結(jié)合以上各種題型進(jìn)行處理，常按照以下七步驟：一設(shè)直線與方程； （提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b 與 x=mmy+n的區(qū)別）二設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒 : 之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊? 即“設(shè)而不求”）三則聯(lián)立方程組；四則消元韋達(dá)定理； （提醒： 拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡(jiǎn)單）五根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：“以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)0”O(jiān)AOBK1K 21 （提醒： 需討論 K 是否存在）OA OB0x1 x2y1 y20“點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問(wèn)題”“直角、銳角、鈍角問(wèn)題”“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0 問(wèn)題”x1 x2y1 y2 >

12、0；“等角、角平分、角互補(bǔ)問(wèn)題”斜率關(guān)系（ K1K20 或 K1K2 ）；“共線問(wèn)題” （如： AQQB數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如： A、 O、 B 三點(diǎn)共線直線 OA與 OB斜率相等）；“點(diǎn)、線對(duì)稱問(wèn)題”坐標(biāo)與斜率關(guān)系；“弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長(zhǎng)公式問(wèn)題（提醒 ：注意兩個(gè)面積公式的合理選擇）；六則化簡(jiǎn)與計(jì)算；七則細(xì)節(jié)問(wèn)題不忽略；判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線問(wèn)題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會(huì)出現(xiàn)0.七、站在系統(tǒng)的高度探究問(wèn)題的本原“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”中文科主要考察“直線與拋物線”，這里就僅舉直線與拋物線的位置關(guān)系為例。請(qǐng)證明以下命題：案例一： 拋物線 y22 px （

13、 p >0），過(guò)焦點(diǎn) F（ p ， 0）作一條弦 AB 交拋物線于 A、B 兩點(diǎn)，其中 A（ x1 ， y1 ）、 B2（ x2 ， y2 ）。如圖（一） 有關(guān)定值問(wèn)題：（ 1） x1 x2p224, y1 y2p ；（ 2） kOAkOB4（3） OAOB3P 24（4） 112；FAFBP（ 5）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條垂直的弦111AB， CD，則；ABCD2P（二）與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題（ 1）AB 為焦點(diǎn)弦， T 為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則TA、 TF、TB 的斜率成等差數(shù)列；（ 2）AB 為焦點(diǎn)弦，過(guò)點(diǎn)A、 B 的切線相交于點(diǎn)M，則 MA 、 MF、 MB 成等比數(shù)列；（三）有關(guān)圓的問(wèn)題（

14、1）以 AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；以A1 B1 為直徑的圓與拋物線的弦AB 相切；（ 2）以 AF 為直徑的圓與y 軸相切；以 BF 為直徑的圓與 y 軸相切；（ 3）其中性質(zhì)（1）拋物線的準(zhǔn)線與x 軸的交點(diǎn) E 在以 AB為直徑的圓外。（四）有關(guān)共線問(wèn)題（ 1） A、 O、 B 三點(diǎn)共線；（ 2） B、 O、 A 三點(diǎn)共線；11（五）有關(guān)平分問(wèn)題：EF 平分AEBK AEKBE 0（六）有關(guān)面積問(wèn)題（1） S OABP2S2OABP 3S2A1FB 14；（ 2）8；（ 3）S FAA12sinABS FBB1（七）有關(guān)定點(diǎn)問(wèn)題符合以上任一條性質(zhì)的弦AB 過(guò)一定點(diǎn)F（即拋物線的焦點(diǎn)） 。案例二： 拋物線 y22 px （ p >0），過(guò)點(diǎn) P （ 2 p ， 0）作一條弦 AB 交拋物線于 A、 B 兩點(diǎn)，其中 A（ x1 ， y1 ）、 B（ x2 ， y2 ）。則（一） OAOB ；（二）以 AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（三） S OAB 的最小值為 4p2，此時(shí) ABx軸