高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5從力做的功到向量的數(shù)量積課件2北師大版必修

1、2.52.5從力做的功到向量的數(shù)量積從力做的功到向量的數(shù)量積【知識提煉知識提煉】1.1.向量的夾角與投影向量的夾角與投影(1)(1)夾角夾角定義：已知兩個非零向量定義：已知兩個非零向量a和和b，作，作 = =a, =, =b, ,則則_叫作向量叫作向量a與與b的夾角；的夾角；范圍：范圍：_；oaob aob=aob=0 0180180大小與向量共線、垂直的關(guān)系：大小與向量共線、垂直的關(guān)系：=0 0a與與b_，180180a與與b_，9090a_b. .同向同向反向反向(2)(2)投影投影定義：如圖所示：定義：如圖所示： = =a， = =b，過點，過點b b作作bbbb1 1垂直于直線垂直于直

2、線oaoa，垂足為，垂足為b b1 1，則，則obob1 1=_. _=_. _叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影數(shù)量方向上的投影數(shù)量( (簡稱投影簡稱投影).).oaob | |b|cos|cos | |b|cos|cos 大小與夾角的關(guān)系：大小與夾角的關(guān)系：夾角夾角 0 0 銳角銳角 9090 鈍角鈍角 180180 射影射影 _ _ _| |b| |正值正值0 0負值負值-|-|b| |2.2.向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積(1)(1)定義：已知兩個向量定義：已知兩個向量a與與b，它們的夾角為，它們的夾角為，我們把，我們把_叫作叫作a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積( (或內(nèi)積或內(nèi)積) )，記作，記作

3、_，即，即ab= _.= _.| |a|b|cos|cos ab| |a|b|cos|cos (2)(2)幾何意義：數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度| |a| |與與b在在a方向上投影方向上投影_的乘積，或的乘積，或b的長度的長度_與與a在在b方向上投影方向上投影_的乘積的乘積. .(3)(3)物理意義：力對物體做功，就是力物理意義：力對物體做功，就是力f與其作用下物體的位移與其作用下物體的位移s的數(shù)量積的數(shù)量積_._.| |b|cos|cos | |b| | |a|cos|cos fs(4)(4)性質(zhì)：性質(zhì)：若若e是單位向量，則是單位向量，則ea= =ae= _= _；ab_

4、；( (其中其中a, ,b為非零向量為非零向量); ); | |a|=|=coscos =_(| =_(|a|b|0)|0)；對任意兩個向量對任意兩個向量a,ba,b, ,有有 | |ab|_|_|a|b|.|.| |a|cos|cos ab=0=0 ；a a|a ba b(5)(5)運算律：運算律：交換律：交換律：ab= =_. .結(jié)合律：結(jié)合律：( (a)b= _= = _= _. .分配律分配律：a(b+ +c)=)=_. .ba(ab) )a(b) )ab+ +ac【即時小測即時小測】1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)(1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同嗎向量的夾角與直線

5、的傾斜角的范圍相同嗎? ?提示提示: :不相同不相同. .向量的夾角范圍為向量的夾角范圍為0,0,而直線的傾斜角范圍為而直線的傾斜角范圍為0,0,).).(2)(2)影響數(shù)量積的大小的因素有哪些影響數(shù)量積的大小的因素有哪些? ?提示提示: :影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小. .2.2.若若e1 1, ,e2 2是兩個平行的單位向量是兩個平行的單位向量, ,則下面結(jié)果正確的是則下面結(jié)果正確的是( () )a.a.e1 1e2 2=1=1 b.b.e1 1e2 2=-1=-1c.|c.|e1 1e2 2|=1 d.|=1 d.e1 1e

6、2 210,0,則則a a與與b b的夾角的夾角的取值范圍是的取值范圍是( () ) 【解析解析】選選a.a.因為因為a ab b0,0,所以所以coscos0,0,所以所以 . .a.0,) b., c.(, d.,2222()0,) 24.4.若若e1 1, ,e2 2是夾角為是夾角為 的單位向量的單位向量, ,且且a=2=2e1 1+ +e2 2, ,b=-3=-3e1 1+2+2e2 2, ,則則ab等于等于 ( () )a.1a.1 b.-4b.-4 c.-c.- d.d.37272【解析解析】選選c.c.ab=(2=(2e1 1+ +e2 2) )(-3(-3e1 1+2+2e2

7、2) )= = =-6|=-6|e1 1| |2 2+|+|e1 1|e2 2|cos +2|cos +2|e2 2| |2 2=-6=-61 12 2+1+11 1 +2 +21 12 2=- .=- .22112262ee ee212725.5.已知已知| |a|=5,|=5,|b|=6,|=6,若若ab, ,則則ab=_.=_.【解析解析】由由ab, ,可知可知a與與b的夾角為的夾角為0 0或或, ,故故ab= =30.30.答案答案: :3030【知識探究知識探究】知識點知識點1 1 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1

8、:1:向量的數(shù)量積可正、可負、可為零向量的數(shù)量積可正、可負、可為零, ,其決定因素是什么其決定因素是什么? ?問題問題2:2:向量數(shù)量積向量數(shù)量積ab中的中的“”能否省去能否省去? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.數(shù)量積的寫法及與實數(shù)乘積的區(qū)別數(shù)量積的寫法及與實數(shù)乘積的區(qū)別兩向量兩向量a, ,b的數(shù)量積也稱作內(nèi)積的數(shù)量積也稱作內(nèi)積, ,寫成寫成ab, ,其應(yīng)與代數(shù)中的其應(yīng)與代數(shù)中的a, ,b的乘的乘積積ab區(qū)分開來區(qū)分開來, ,其中其中“”是一種運算符號是一種運算符號, ,不同于實數(shù)的乘法符號不同于實數(shù)的乘法符號. .在向量運算中既不能省略在向量運算中既不能省略, ,也不能用也不能用“”代替代替

9、. .2.2.數(shù)量積運算的結(jié)果數(shù)量積運算的結(jié)果(1)(1)向量線性運算的結(jié)果是一個向量向量線性運算的結(jié)果是一個向量, ,但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量. .(2)(2)由于由于0 0180180, ,所以所以ab可以為正數(shù)、負數(shù)和零可以為正數(shù)、負數(shù)和零, ,且當(dāng)且當(dāng)0 0900;0;當(dāng)當(dāng)=90=90時時, ,ab=0;=0;當(dāng)當(dāng)9090180180時時, ,ab0.0.(3)(3)若若a為零向量為零向量, ,則則| |a|=|=0, ,從而從而ab=0,=0,故零向量與任一向量的數(shù)量故零向量與任一向量的數(shù)量積為積為0.0.(4)(4)aa= =a2 2=|=|a| |

10、2 2. .(5)(5)兩個單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值兩個單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值. .知識點知識點2 2 數(shù)量積的性質(zhì)及運算律數(shù)量積的性質(zhì)及運算律觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)? ?問題問題2:2:數(shù)量積與實數(shù)乘積有什么差異數(shù)量積與實數(shù)乘積有什么差異? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.數(shù)量積五條性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)量積五條性質(zhì)的應(yīng)用性質(zhì)性質(zhì)(1)(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義; ;性質(zhì)性質(zhì)(2)(2)可以解決有關(guān)垂直的問題可以解決有關(guān)垂

11、直的問題; ;性質(zhì)性質(zhì)(3)(3)可以求向量的長度可以求向量的長度; ;性質(zhì)性質(zhì)(4)(4)可以求兩向量的夾角可以求兩向量的夾角; ;性質(zhì)性質(zhì)(5)(5)可以解決有關(guān)不等式的問題可以解決有關(guān)不等式的問題, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時時, ,等號成立等號成立. .2.2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式(1)(1)遵循的運算律遵循的運算律: :數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律, ,不適合乘法結(jié)合律不適合乘法結(jié)合律, ,即即( (ab) )c不一定等于不一定等于a( (bc).).這是由于這是由于( (ab) )

12、c表示一個與表示一個與c共線的向量共線的向量, ,而而a( (bc) )表示一個與表示一個與a共線的向量共線的向量, ,而而c與與a不一定共線不一定共線. .(2)(2)常用公式及注意點常用公式及注意點: :( (a+ +b) )( (a- -b)=|)=|a| |2 2-|-|b| |2 2; ;( (a+ +b) )2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2; ;( (a- -b) )2 2=|=|a| |2 2-2-2ab+|+|b| |2 2. .注意注意:|:|a| |2 2= =aa,|,|b| |2 2= =bb. .【題型探究題型探究】類型一類型一 平面向量

13、數(shù)量積的概念及運算平面向量數(shù)量積的概念及運算【典例典例】1.|1.|a|=2,|=2,向量向量a與向量與向量b的夾角為的夾角為120120, ,則向量則向量a在向量在向量b方方向上的射影等于向上的射影等于( () )a.2a.2 b.120b.120c.-1 d.c.-1 d.由向量由向量b的長度確定的長度確定2.2.已知已知| |a|=3,|=3,|b|=6,|=6,當(dāng)當(dāng)(1)(1)ab,(2),(2)ab,(3),(3)a與與b的夾角是的夾角是6060時時, ,分別求分別求ab, ,a( (a+ +b).).【解題探究解題探究】1.1.向量向量a在向量在向量b方向上的射影公式是什么方向上的

14、射影公式是什么? ?提示提示: :| |a|cos|cos. .2.2.ab時時, ,兩向量的夾角是多少兩向量的夾角是多少? ?提示提示: :若若a與與b同向同向, ,則它們的夾角則它們的夾角=0=0, ,若若a與與b反向反向, ,則它們的夾角則它們的夾角=180=180. .【解析解析】1.1.選選c.c.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知| |a|cos120|cos120=2=2 =-1.=-1.2.(1)2.(1)當(dāng)當(dāng)ab時時, ,若若a與與b同向同向, ,則它們的夾角則它們的夾角=0=0, ,所以所以ab=|=|a|b|cos0|cos0=3=36 61

15、=18,1=18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9+18=27.=9+18=27.若若a與與b反向反向, ,則它們的夾角則它們的夾角=180=180, ,所以所以ab=|=|a|b|cos180|cos180=3=36 6(-1)=-18,(-1)=-18,a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=9-18=-9.=9-18=-9.12()(2)(2)當(dāng)當(dāng)ab時時, ,它們的夾角它們的夾角=90=90, ,所以所以ab=0,=0,a( (a+ +b)=)=a2 2=9.=9.(3)(3)當(dāng)當(dāng)a與與b的夾角是的夾角是6060時時, ,有有ab=|=|a|b|cos60|cos

16、60=3=36 6 =9. =9.a( (a+ +b)=)=a2 2+ +ab=18.=18.12【方法技巧方法技巧】1.1.求平面向量數(shù)量積的流程求平面向量數(shù)量積的流程2.2.形如形如( (m ma+n+nb) )(k(ka+ +lb) )的運算技巧及注意點的運算技巧及注意點(1)(1)技巧技巧: :類似于實數(shù)多項式的運算類似于實數(shù)多項式的運算, ,將運算轉(zhuǎn)化為向量將運算轉(zhuǎn)化為向量a, ,b的數(shù)量積的數(shù)量積運算運算. .(2)(2)注意點注意點: :a與與b的數(shù)量積不可書寫或認(rèn)為是的數(shù)量積不可書寫或認(rèn)為是ab, ,a2 2=|=|a| |2 2的應(yīng)用的應(yīng)用. .【拓展延伸拓展延伸】數(shù)量積運算

17、時的兩個注意點數(shù)量積運算時的兩個注意點(1)(1)要找準(zhǔn)兩向量的夾角要找準(zhǔn)兩向量的夾角. .(2)(2)注意向量數(shù)量積的運算律的應(yīng)用注意向量數(shù)量積的運算律的應(yīng)用. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知正三角形已知正三角形abcabc的邊長為的邊長為1.1.求求: : 1 abac.2 ab bc. ，【解析解析】(1)(1) 的夾角為的夾角為6060, ,所以所以 (2)(2)因為因為 的夾角為的夾角為120120, ,所以所以 abac 與11ab acab ac cos 601 1.22 abbc 與11ab acab bc cos 1201 1.22 ( )類型二類型二 利用數(shù)量積求向量的模利用數(shù)

18、量積求向量的模【典例典例】已知已知| |a|=|=|b|=5,|=5,向量向量a與與b的夾角為的夾角為 . .求求|a+b|,|,|a-b|.|.【解題探究解題探究】聯(lián)想到聯(lián)想到| |a| |2 2= =a2 2, ,要求要求| |a+b|,|,|a-b|,|,應(yīng)先求什么應(yīng)先求什么? ?提示提示: :應(yīng)求應(yīng)求| |a+b| |2 2與與| |a-b|2, ,進而可知先求進而可知先求ab. .3【解析解析】方法一方法一: :由題意可得由題意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因為因為| |a+ +b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2+2+2ab=25+25

19、+2=25+25+2 =75, =75,所以所以| |a+ +b|=5 .|=5 .同理因為同理因為| |a- -b| |2 2=|=|a| |2 2+|+|b| |2 2-2-2ab=25,=25,所以所以| |a- -b|=5.|=5.125.222523方法二方法二: :由向量線性運算的幾何意義求作菱形由向量線性運算的幾何意義求作菱形abcd,abcd,使使ab=ad=5, ab=ad=5, 設(shè)設(shè) 如圖如圖, ,則則 dab3 ，abad ， ，ab|bdab5 ，ab3|ac2 ae255 3.2 ab【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本例的條件不變求本例的條件不變

20、求|3|3a+ +b|.|.【解析解析】由題意可得由題意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因為因為|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b)2 2=9=9a2 2+ +b2 2+6+6ab=325.=325.所以所以|3|3a+ +b|=5 .|=5 .125.2232.(2.(變換條件變換條件) )本例的已知條件若改為本例的已知條件若改為“| |a|=|=|b|=5,|=5,且且|3|3a-2-2b|=5”,|=5”,如何求如何求|3|3a+ +b| |的值的值? ?【解析解析】因為因為|3|3a-2-2b| |2 2=9|=9|a| |2 2-12-12ab

21、+4|+4|b| |2 2=9=925-1225-12ab+4+425=325-1225=325-12ab, ,又因為又因為|3|3a-2-2b|=5,|=5,所以所以325-12325-12ab=25,=25,即即ab=25.=25.所以所以|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b) )2 2=9=9a2 2+6+6ab+ +b2 2=9=925+625+625+25=400.25+25=400.所以所以|3|3a+ +b|=20.|=20.【方法技巧方法技巧】求向量的模的常用思路及方法求向量的模的常用思路及方法(1)(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方,

22、,與向量數(shù)量積聯(lián)系與向量數(shù)量積聯(lián)系, ,并靈活應(yīng)用并靈活應(yīng)用a2 2=|=|a| |2 2, ,勿忘記開方勿忘記開方. .(2)(2)aa= =a2 2=|=|a| |2 2或或| |a|= ,|= ,此性質(zhì)可用來求向量的模此性質(zhì)可用來求向量的模, ,可以實現(xiàn)實可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化. .(3)(3)一些常見的等式應(yīng)熟記一些常見的等式應(yīng)熟記, ,如如( (ab) )2 2= =a2 22 2ab+ +b2 2,(,(a+ +b) )( (a- -b) )= =a2- -b2 2等等. .2a【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】已知向量已知向量a與與b的夾角為的夾角為12

23、0120, ,且且| |a|=4,|=4,|b|=2,|=2,求求: :(1)|(1)|a+ +b|.|.(2)|3(2)|3a-4-4b|.|.【解析解析】ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos120cos120=-4.=-4.(1)(1)因為因為| |a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=|=|a| |2 2+2+2ab+|+|b| |2 2=4=42 2+2+2(-4)+2(-4)+22 2=12,=12,所以所以| |a+ +b|=2 .|=2 .(2)(2)因為因為|3|3a-4-4b| |2 2=(=(3a-4-4b) )2 2=9=9a2

24、 2-24-24ab+16+16b2 2=9=916-2416-24(-4)+16(-4)+164=304,4=304,所以所以|3a-4b|=4 .|3a-4b|=4 .319【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件) )本例條件變?yōu)楸纠龡l件變?yōu)椤耙阎蛄恳阎蛄縜與與b的夾角為的夾角為120120, ,且且| |a|=4,|=4,|a+ +b|=2|=2 ”,”,求求| |b|.|.3【解析解析】因為因為ab=|=|a|b|cos|cos=4=4| |b| |cos120cos120=-2|=-2|b|.|.所以所以| |a+b|2=a2+2ab+b2=|=|a| |2 2+2+2

25、ab+|+|b| |2 2=16-4|=16-4|b|+|+|b| |2 2. .因為因為| |a+ +b|=2 ,|=2 ,即即| |a+ +b| |2 2=12,=12,所以所以16-4|16-4|b|+|+|b| |2 2=12.=12.解得解得| |b|=2.|=2.32.(2.(改變問法改變問法) )若本例刪去條件若本例刪去條件“已知向量已知向量a與與b的夾角為的夾角為120120,”,”求求| |a+ +b| |的取值范圍的取值范圍. .【解析解析】設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為, ,則則ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos=8cos.cos=8cos.|

26、|a+ +b| |2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=4=42 2+2+28cos+28cos+22 2=20+16cos.=20+16cos.因為因為0,0,所以所以cos-1,1,cos-1,1,所以所以| |a+ +b| |2 24,36,4,36,則則| |a+ +b|2,6.|2,6.類型三類型三 向量的夾角或垂直向量的夾角或垂直【典例典例】1.1.已知已知| |a|=1,|=1,|b|=4,(|=4,(a- -b) )( (a+2+2b)=-29,)=-29,則則a與與b夾角夾角=_.=_.2.2.已知向量已知向量a, ,b, ,c滿足滿足a+ +b+ +c=0, ,且

27、且| |a|=3,|=3,|b|=5,|=5,|c|=7.|=7.求求a與與b的夾角的夾角.【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中, ,若求若求a與與b的夾角的夾角,還需要什么還需要什么? ?提示提示: :需要利用需要利用( (a- -b) )( (a+2+2b)=-29)=-29求出求出ab. .2.2.要求要求a與與b的夾角的夾角,關(guān)鍵是先求哪些量關(guān)鍵是先求哪些量? ?提示提示: :關(guān)鍵是先求關(guān)鍵是先求ab. .【解析解析】1.1.因為因為( (a- -b) )( (a+2+2b)=|)=|a| |2 2+ +ab-2|-2|b| |2 2=1+=1+ab-32-32=-31+=-

28、31+ab, ,所以所以-31+-31+ab=-29,=-29,所以所以ab=2,=2,所以所以 又因為又因為0,0,所以所以= .= .答案答案: :3321cos.1 42 a bab2.2.因為因為a+ +b+ +c=0,=0,所以所以a+ +b=-=-c, ,所以所以| |a+ +b|=|=|c|.|.所以所以( (a+ +b) )2 2= =c2 2, ,即即a2 2+2+2ab+ +b2 2= =c2 2. .所以所以ab= = 22222222 cabcab4992515.22 又因為又因為a ab b=|=|a|b|cosa|b|cos, ,所以所以 =3=35 5cos.co

29、s.即即coscos= ,= ,因為因為0,0,所以所以= .= .121523【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若條件不變中若條件不變, ,是否存在實數(shù)是否存在實數(shù)使使a+ +b與與a-2-2b垂垂直直? ?存在存在, ,求出求出值值, ,不存在不存在, ,說明理由說明理由. .【解析解析】假設(shè)存在實數(shù)假設(shè)存在實數(shù)使使a+ +b與與a-2-2b垂直垂直. .可得可得(a+ +b) )( (a-2-2b)=0.)=0.即即a2 2-2-2b2 2-2-2ab+ +ab=0.=0.所以所以9-29-225-225-2 解得解得=- .=- .所以存在所以存在=- ,=- ,使得使得a+ +b與

30、與a-2-2b垂直垂直. .15150.2285128512【方法技巧方法技巧】1.1.求向量夾角的解題流程及注意事項求向量夾角的解題流程及注意事項(1)(1)解題流程解題流程: :(2)(2)注意事項注意事項在個別含有在個別含有| |a|,|,|b| |與與ab的等量關(guān)系式中的等量關(guān)系式中, ,常利用消元思想計算常利用消元思想計算coscos的值的值. .2.2.求求coscos的兩種情形的兩種情形(1)(1)求出求出ab,|,|a|,|,|b| |的值代入公式計算的值代入公式計算. .(2)(2)得到得到ab,|,|a|,|,|b| |之間的關(guān)系代入公式計算之間的關(guān)系代入公式計算. .3.

31、3.兩向量垂直的確定與應(yīng)用兩向量垂直的確定與應(yīng)用(1)(1)確定確定: :通常利用兩向量垂直的充要條件通常利用兩向量垂直的充要條件, ,即計算即計算ab是否為是否為0.0.(2)(2)應(yīng)用應(yīng)用: :若若ab, ,則則ab=0=0可求其中參數(shù)的值可求其中參數(shù)的值. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015重慶高考重慶高考) )若非零向量若非零向量a, ,b滿足滿足 且且 則則a與與b的夾角為的夾角為( () ) 【解題指南解題指南】解答本題可以根據(jù)相互垂直的向量的數(shù)量積為零進行計解答本題可以根據(jù)相互垂直的向量的數(shù)量積為零進行計算算, ,然后求出夾角然后求出夾角. .2 23，ab32( )()

32、，abab3a. b. c. d.424【解析解析】選選a.a.設(shè)設(shè)a a與與b b的夾角為的夾角為, , 因為因為 所以所以 解得解得coscos= ,= ,因為因為0, 0, , ,所以所以= .= .2 2| | |3，ab32( )()，abab22323|2|( ) ()ababa|b|a b22282 22cos033 ，bbb224【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】1.1.已知已知a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,且且a+3+3b與與7 7a-5-5b垂直垂直, ,a-4-4b與與7a-2b7a-2b垂直垂直, ,求求a a與與b b的夾角的夾角. .【解題指南解題指南】由由( (a+3

33、+3b) )(7(7a-5-5b)=0)=0及及( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0)=0建立建立ab與與b2 2以及以及| |a| |與與| |b| |的等量關(guān)系的等量關(guān)系, ,可求可求a與與b的夾角的夾角. .【解析解析】由已知得由已知得( (a+3+3b) )(7(7a-5-5b)=0,)=0,即即7 7a2 2+16+16ab-15-15b2 2=0=0( (a-4-4b) )(7(7a-2-2b)=0,)=0,即即7 7a2 2-30-30ab+8+8b2 2=0=0, ,兩式相減得兩式相減得2 2ab= =b2 2, ,所以所以ab= = b2 2, ,代入代入, ,

34、中任一式得中任一式得a2 2= =b2, ,設(shè)設(shè)a, ,b的夾角為的夾角為,則則 因為因為0 0180180, ,所以所以=60=60. .1222112cos2 ，ba ba bb2.2.設(shè)設(shè)n和和m是兩個單位向量是兩個單位向量, ,其夾角是其夾角是6060, ,求向量求向量a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角的夾角. .【解析解析】m和和n是兩個單位向量是兩個單位向量, ,其夾角是其夾角是6060, ,所以所以mn=|=|m| | |n| |cos60cos60= ,= ,設(shè)設(shè)a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角為的夾角為,所以所以 因為因為0 0180180, ,所以所以=120=120. .即即a=2=2m+ +n與與b=2=2n-3-3m的夾角為的夾角為120120. .12227(2) (23)12cos277(2)(23) ，a bmnnma bmnnm易錯案例易錯案例 根據(jù)向量的夾角求范圍根據(jù)向量的夾角求范圍【典例典例】設(shè)兩個向量設(shè)兩個向量e1 1, ,e2 2滿足滿足| |e1