《微分幾何》作業(yè)

1、微分幾何作業(yè)微分幾何作業(yè)一. 填空題1. 曲面的第一基本形式為（ ）。2. 空間曲線的基本公式是（ ）。3. 曲面在任一點(diǎn)（u，v）的單位法向量公式為（ ）4. 空間曲線的切向量為（ ）。5. 曲線的主法向量總是指向曲線（ 凹入方向 ）。6. 曲面上正常點(diǎn)滿足的條件為（ ）7. 曲線的撓率表達(dá)式為（ ）。8. 曲面上曲率線滿足的微分方程為（ ）。9. 在曲面S: 上，線的微分方程是( )。10.設(shè)， 若 則 ( )。11.可展曲面上每一點(diǎn)都是 ( 拋物點(diǎn)或平點(diǎn) )點(diǎn)。12.曲線在點(diǎn)的切線方程為（ ）。13 設(shè)曲線C： =(s), 則C在s處的主法線方程是 14 設(shè)，是曲線C：=(s)的三個(gè)基本

2、單位向量， 則=0 15 設(shè)=1，0， 0， =0，2，0， =0，0，6，則（，2）= 24 16 若向量函數(shù)=(t)的終點(diǎn)始終在中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 半徑為2的球面上， 則 = 0 17 若曲線在一點(diǎn)的撓率0, 則曲線在該點(diǎn)是 右 旋的18 在曲面上一點(diǎn)，如果對(duì)于任意方向，法曲率都是零，則該點(diǎn)是曲面上的 平 點(diǎn)19 已知向量, 若,則 20 設(shè)是非零向量,且, 則= 0 21 曲線在處的密切平面方程是 。22 設(shè)曲線的曲率是,則= 23 空間曲線論基本公式是 ,24根據(jù)曲線論的基本定理，在可以相差一個(gè)空間位置的情況下，唯一決定一條空 間曲線的兩個(gè)不變量是曲線的 和 二. 判斷題1. 空間內(nèi)兩自

3、由向量一定共面。（ ）2. 可展曲面上沒有雙曲點(diǎn)。（ ）3. 曲面上曲線在一點(diǎn)的測地曲率是該曲線在這一點(diǎn)切平面上正投影線在這一點(diǎn)的曲率。（ ）4. 若，則是平面曲線。（ ）5. 空間曲線的形狀（不考慮位置差別）完全由它的曲率和撓率唯一確定。（ ）6. 曲面上任一點(diǎn)的單位法向量為。（ ）7. 曲面在正常點(diǎn)處一定有切平面和法線。（ ）8. 曲線 C： =與曲線：=在處有相同的曲率。（ ）9. 表示線的切方向。（ ）10.向量函數(shù)滿足 則必有一常向量，滿足.（ ）11.曲面上點(diǎn)都是橢圓點(diǎn)，則高斯曲率恒大于零. （ ）12.高斯曲率K0的曲面一定是某一條曲線的切線曲面. （ ）三. 選擇題1. 平行于

4、固定平面與（）=0的關(guān)系是：BA：充分條件； B：充要條件； C：必要條件。2. 在曲線=上一點(diǎn)的切線和其鄰近一點(diǎn)決定一平面，當(dāng) 時(shí)的極限平面存在，是：CA：從切平面； B：法平面； C：密切平面。3. 曲線的曲率和撓率與參數(shù)的選擇關(guān)系是（ B ）.A:有關(guān)系 B: 無關(guān) C: 無法判定。4. 下列等式成立的是（ A ）：A：； B； C。5. 撓率曲率的曲線是( A )A半徑為4的圓； B.半徑為的圓；C半徑為2的圓 ； D.半徑為的圓。6. 可展曲面與（ A ）等距等價(jià)：A.球面； B.平面； C.正螺面。7. 具有固定方向與=0的關(guān)系是（ C ）： A.必要條件； B.充分條件； C.充

5、要條件。8. 如果所有密切平面垂直于某個(gè)固定直線，那么曲線是（ B ）：A.一般空間曲線； B.平面曲線； C.不確定。9. 球面上的法截線是（ A ）：A.大圓； B.一般圓； C.一般曲線。10. 高斯曲率表達(dá)式錯(cuò)誤的為：（ C ）A. ； B.； C.。11. 若向量函數(shù)的終點(diǎn)在通過原點(diǎn)的一條直線上，則(B )A； B. 是定向的； C。12. 在曲線=上一點(diǎn)及其鄰近一點(diǎn)決定一直線，當(dāng) 時(shí)的極限直線存在，是：AA切線； B主法線； C副法線。13. 曲率線滿足的條件是（ C ）。 A ； B; C 。 14. 在線為測地線的半測地坐標(biāo)網(wǎng)時(shí)，曲面的第一基本形式為：AA; B ; C。 15

6、. 若曲面S在每一點(diǎn)的高斯曲率為，則它可以與半徑為( B )的球面貼合A ； B. 2； C. 。 16.如果是曲面上的測地三角形，則公式為：AA.； B.； C.； D.以上三種都對(duì)。17.設(shè)均為非零向量，且，則（B）.線性相關(guān)； .線性無關(guān)；.可以由線性表示； D.可以由線性表示18.空間曲線的形狀( A )決定A由曲率和撓率 B. 僅由曲率C僅由撓率 D. 由參數(shù)的選取19.設(shè)S 是球面， 則( D )AS上每一點(diǎn)是雙曲點(diǎn)； B. S上每一點(diǎn)是拋物點(diǎn)；CS上的圓的指向球心； D. S上的測地線的指向球心.20.第二類克氏符號(hào)只與（ A ）有關(guān)： AE，F(xiàn)，G； BL，M，N； CE，F(xiàn)，

7、G，L，M，N； D都無關(guān)。四. 證明題1. 證明：曲線是平面曲線。證明：因?yàn)?，所以為平面直線 所以是平面曲線。2. 證明是可展曲面。 證明：=，所以曲面是可展曲面。3. 如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是直線。證明：設(shè)切線方程為，求導(dǎo)得：，所以 為直線。4. 如果曲面上曲線既是測地線又是曲率線，則它是平面線。 證明：因?yàn)榍€是測地線 有 微分得，又因?yàn)榍示€有，所以，曲線為平面曲線。5. 設(shè)C是半徑為的球面上半徑為的圓， 是曲線C上各點(diǎn)的測地曲率.證明： .曲線C的曲率為，法曲率為，由，得 。6. 證明不是可展曲面。證明：=，所以曲面不是可展曲面。7. 證明：如果曲線的所有主法線都

8、經(jīng)過一個(gè)固定點(diǎn)，則曲線是以固定點(diǎn)為圓心的圓.證明：設(shè)定點(diǎn)的向徑為，則有，求導(dǎo)得：。有 。所以常數(shù)。則曲線是以固定點(diǎn)為圓心的圓.8. 可展曲面上的直母線是曲率線.證明：曲率線滿足的條件為 ；可展曲面上的直母線滿足，因此它滿足行列式方程。即可展曲面上的直母線是曲率線.9 試證:如果曲線的所有密切面都經(jīng)過一個(gè)固定點(diǎn),則曲線是平面曲線 證明：設(shè)固定點(diǎn)的向徑為，由題意得，對(duì)于任意，都有 而 ， 所以 ，即 因此， ， 這說明是平面曲線，所以也是平面曲線10. 證明：曲面: 在每一點(diǎn)的切平面都通過坐標(biāo)原點(diǎn)證明： 設(shè)是切平面上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo)，則曲面上任一點(diǎn)的切平面方程是 展開即 可以看出，切平面通過原點(diǎn)， 因

9、此，曲面在每一點(diǎn)的切平面都通過原點(diǎn)五. 計(jì)算題1. 求曲線 的曲率和撓率。解：；2. 求曲線在點(diǎn)的法平面方程。解：；。3. 求曲線在處的副法線和從切平面方程。解：； ； 副法線為，從切平面方程為。4. 求正螺面的第一、第二基本形式，并計(jì)算曲線和方向的交角。解：=， =； 。5. 求曲線 的曲率和撓率。解：；6. 求曲線在點(diǎn)的密切平面方程。解：；。7. 求曲線C：= , 的曲率和撓率.解： ,。所以8. 求曲面S：=的高斯曲率解：，。 9 求曲線C：=上從到這一段弧的長度解 10 求曲線C：=在處的和解 所以 ， 11 求曲線的曲率和撓率解 ， ， ， ，所以 ， 12 求曲線C：在處的切線方程解 ，所以，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，