大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析

1、大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析計算5175一行列式計算的典型例題分析: 1利用降階法。1 04 54 21 1解 將第三列乗以-3和-5分別加到第一列、第二列，然后按第一行展開，得0-10一11一652-19 50 10 1 -19 4 -13 40 1再將第三列乗以6加到第一列:按第三行展開，得20 -19 5 20 -19D= 1-13 2 =(-1)3=-241 o1-13由以上演算過程可知，對于任意n階行列式D,皆可用行列式性質(zhì)變?yōu)榈戎档膎-1階行 列式。2. 利用化三角形法計算。2b b-c-a2b僂：將第二仃與第三仃都加到第一仃上 再坯出公內(nèi)于(屮bc),得)=a十十ca十b十g a十b

2、十c2bb c- a2b2c2cc-a力112bc-a 一 b再將第一行乘以(-2b)和He)分別加到第二行與第三行，得1Z = ( + /? + )0 一(口 +b +c)=(a +c)3 c10-(a + b +c)3. 利用升階法。越將D加邊升階得il：這里 020 = 1,2,3,4)1 000011111- AX ?000一血 a-. A也a2=一偽0A fln00-33a殆7 300A 730一創(chuàng) 5AA礎(chǔ)000A a4D =4x 農(nóng)3 九 4 元第2列 J倍、第3列倍、第4列一一倍、A 6?|X Z7 ?二一農(nóng)3第5列二借加到第一列上01X fl1101010D =00A -00

3、000Aa.00000A- CJ5%這個結(jié)論可以推廣到n階行列式的情亂即a坷a, 111 dfl3f n=n 5*4. 利用德蒙公式。1優(yōu)10聲方程 1 1Ar = 一 011 = 10 0 111248。=0-39-27525125M 將行列式粽置便知它是一人4階范德蒙片列式即1 X X，X31 1 1 11248X 2-351 -39-27x2 49251525125%3 8 -27 125= (2-.v)(-3-.v)(5-.)(-3-2)(5- 2)(5 +3)=0(方程的 x = 2vv=-3vx = 5)e矩陣0俄3已知 A= a0解法1同=1工01 1 11 1 1求A0 1 1

4、0 0 1用伴隨矩陣法1 1 111 1月2】=0 1 1=-1 心=01 10 0 100 11 1 1力口 = 011 = 1,珂2 =珂 3 =凡4 = 00 0 10 0 I血=01 1A.= 1 10 000-101 -101.1 一10 1A 000 0餌法(4)分塊法1 10 11r11 a0A.111 -01且=0；=1工0可逆，由三角塊求解注初等行變按法111 1:10010001-100011 1:0100a-010001-10001 1:0010門口0010001-1Lo00 1:0001_000100011逆法ad -1故八= - J1 J J1 力1 =月e.o “其

5、中A；x =叩1 10-1俠7 :求X便XA二B,這里/= 501、X =0 -2 -1=-41、0 1 1,I2 -3,3-2Z10019-3-11到好J 一921011081-5亠35111-2一62Z0、1 00、00 1080 0124 1 23484 5672丿1J 89/1000-31列交決.一322-808-14=317U20一 626,仃234 5 6J 8 9/13 00、136、儻8:設(shè)/0 1 -1B=1 1J) 14,1、2 -3/，求 X 使 AX=2X+B解法一;AX=2X+B,則(A2I)X=B若 A-21 可逆,X = (A-21YB (1 . 10先求(/J-

6、2Z)-1,因為A_2i =_1為準(zhǔn)對角矩陣，則只需求c =；2丿 ”(T T 1 Oi “ /I 0 -2 -1、 (1 2 0 1J IO 1 1 1 丿（說明：對二階方陣用伴隨陳求逆巨很方便）超法二：X 十-2IB,因為（J-2/f1相當(dāng)于一些初等陣之積，它們右乘B,相當(dāng)于 對B送行行初等變換丙此（42JB卜輕A （人X ） Bfl0036、1Too0lo-1-111T0110 0122-3.136X_-41e+3心=3即：處廠爐2 = 23斜十2巧=5可解出h:2斗于是改3 =亠十掃伊 & a, = (1,0,2,3)2 = (W,5)r,a3 = (1,-1, + 2,1)7,4 =

7、(1,2,4,a + 8)丁, 0 = (1,1上+3,5)問(1)門4為何值時，0不能表示成勺心？心3,勺的線性綃合：a.b為何值時，0可以由女G儀3皿4線性表示，且表示法唯一鋌：如區(qū)6分析，上述問題等價于0二出巾k2a2十心6十忍乙是否有絲即1023!0211351135是否有坯丙為111212 力+ 1d + 5211111-1210a十10b00 a+ 10000其中kr: + r.表示矩陣第i行乘以k加到第j行.因比當(dāng)a=-l,b=O時，方程統(tǒng)有無窮多鎧0丁以表示成aa2,a3,aA的線性經(jīng)合. 當(dāng)f7=-l,b=0時,方程緩有無窮多無,此時四以表示成a,a2,a3,a4的線性坦合,

8、 但表示法不唯一.當(dāng)a H -1時，0可以唯一地表示成0aba +/+1+小勺+& 色+ 0%a + b例10設(shè)_112 57 123 710A =134 913TJ45 1116求A的秩分析一般求矩陣的秩可以通過兩個方法來求.方法1.直接用行列式求矩陣的秩即我出矩陣中晟高不為零子式的階數(shù).方法2.利用初等變換來求矩陣的秩.采用方法1與方法2 股根據(jù)矩陣階數(shù)來定，對于較高矩陣?yán)贸醯茸儞Q較為方便.無方法一：A有一個二階子式；二1芒0,而所有包含D的三階子式為1 1 20=123=0,1 4 5117D、= 1210=0,13131122=123=0.134115Ds =127=0,14H117

9、=1210=0.14167因比秩A=2方法211257101316(2)口+心卜(-3) x r2 + 心10001100從而 r(B) =2,因此 r(A)=2例 5.判斷q嚴(yán)(1, 2 3), J =(3, 2,1), 3=(1, 3, 1)是否線性相關(guān).分析:研究向量組旳，勺，的線性相關(guān)的問題由定義可知，就是考察是否存在加 個不全為零的數(shù)人,為,，盒，便線性組合.召務(wù)+廐勾+L5 =0a也+冬出十+%出=0即；J 1- 1 g 儀出+紜處+A =因此，向宜組儀“ &2,，J是否線性相關(guān)，等價于齊次線性方程組(3)是否有非零餌. 若方程組有非零皿，則勺衛(wèi)1,，乙線性相關(guān)，若方程坦只有零鏈，

10、則 內(nèi)宀線性無關(guān)丙此研究向丟間是否線性相關(guān)問題.實質(zhì)上就是研究齊次線性方程 組看沒有零髏問題.解法一 設(shè)存在一組數(shù)&*空他，使億5 + kiai +仏匕3 - 0即龜(1,2,3) + 柑(3,2,1) + 3(1,3,1)= (0,0,0),亦即(人+3A-, +他,2血+2處+ 3為,3化+ k2 +龜)二(0,0,0)k、+弘2 +為二 0dk + 2仁+3人=03k i + A + A-3 = 0i3r系數(shù)矩陣223=Af可以通過初等行變換求得r(A)=3.則此齊次線性方程組311只有零解，故線性無關(guān).二血0加 P 71柏 Mill、 Mil ilKH I 4 HA 1 Ik例6已知咕

11、伸）心訂M-1廠1）,仆（卜-1沏叩廠1,71）,能仲山） 試粘#表示為角角和川線性組臺分析:硏究某-向盤0能否用向量偽覘厶的線性表示糠是否有m個數(shù) 也廣化使和比 +也樸也仏成芷a點+住也+性代胡肚弘占皿曲+5気出強(qiáng) 如屮仏卜仏.代胡因此:向盤儺否用向量姐即紐難表示制于非齊次難方翩（4）是 否有常若方翱（4）有唯-篦則0能用心叫唯-峨性表示若方翱（4）有無 男多解，則0能用勺衛(wèi)廠乙線性表示，但表示法不唯一若方程姒4）無解J 儺用知偽黠蘇解設(shè)”二業(yè)|必2。2“33祁衛(wèi)即（121,1）“山,1,1）珈11）玦（1,1,1廠1）也（1,1,1,1）、H2解冷需也乂冷1T ,5111 即 卩二一 +-

12、ff2 一tt3 一ff4 0四. 特征值與特征向量即:對于心F方稚組= 即為-11 一 1、0-11000,ab1 (u)X、M=o =U (r-21 -1、“)、-21 一 1x5=,()、11 -Lloo1=00,丿00H0）是屬于2 = 1的特征向瑩3-1 r1-3紜A =20 14B =4-7 81-1 26-7 7z-31-1x-2101 1 0解（一）:|刀-閭二一2 A-1=A-2 z x-1= (x-2)(x-l)1 A 1-217-20 1A - 10 1 1=a-2)(z_1)1 01X-101= (z-2)(A-l)A-i1= (A-2)2(z-1)侯1求矩陣的特征值和

13、特征向旦0 1 1.4的特征值為a1=A2 = 2,23=1.對于Au = 2,方程組一 A)X=O,即為 iz-l 1 -1心、何-2 2-1解為1 , I；&工0）是屈于2的特征向雖= 衛(wèi)丿0）A的特征值為2,2,1川的屬于2的特征向魚為心1 （*嚴(yán)0）,Z-13-4X-13-4z-33-久元-34z + 782X1 Z二2Z1-乂-6斗7x-7-67Z-767Z-7(二)AI - 5| =ro-力的屬于1的特征向旦:為化（k20）Uz= (A-3)12-6-1A7= (A-3)1z + 7 -17 A-1= (A-3).=(九一3)(2十 1)二 3的特征值為Z, =4, =-l,Z3

14、=3對于応=a2 =-i,w 方程 m（-i-A）x=o,有;（一/一/0 =r-2(21.-6-4、0-8?3160I2 0 T0 1 -1解向i2= 10 0 0,Id /c、是懇于-啲特征向雖/. 0的持征值為-L-1A9k2. 1他工0）是展于3的特征向量/02- 4z2 -1 0xZ1 0 -1、S2 -1 0IT0 1 -2T0 1 - 2，解向量薊=2V0 4 -8Z.0 0 0,J) 00,lbf2對于z3 = 35方程組(3/-/0X = 0,= | 2(-6注I：求特征值時應(yīng)難在于計算行列式，應(yīng)盡坦:使用行列式性質(zhì)將慕行（列）化成有某 同一因子（久的一次式），然后再計算.這樣易于將多項式因式分餌。由此例還可看出，當(dāng)特征 值是重根時，不一定有2個線性無關(guān)的特征向魚=另外還可從餌（加-X = 0中可驗證 所求的特征值是否正確。（當(dāng)（-/）* = 0只有零解時，可以說明該久不是特征值）注2:特征向量是非卑向量這要牢記五. 二次型例匕將二次型/ = (x1,x,.r3,x4) = x12 +x； +2x +4xrr2 + 2x,.r3 + 4x,.r4