選擇性必修一 期末綜合測(cè)試（二）（解析版）2021-2022學(xué)年人教版（2019）高二數(shù)學(xué)選修一

選擇性必修一期末綜合測(cè)試(二)

一、單選題(每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分)

22

1.雙曲線上-上=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

32

A.(O,±l)B.(±1,0)C.(0,土石)D.(土石,0)

【答案】D

【分析】

根據(jù)雙曲線方程可得a,b,然后根據(jù)，2=/+〃可得c,最后得出結(jié)果.

【詳解】

由題可知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，JzLa=y/3,b=,

所以c2=a1+b2=>c=

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土石,0)

故選：D

2.圓(x-l/+y=3的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(-1,0),3B.(1,0),3

C.(-1,0),73D.(1,0),6

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，

(x-l)2+y2=3的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為石，

故選：D.

3.已知空間三點(diǎn)人(-2,0,8),「(人肛機(jī))，8(4,Y,6),若向量⑸與方的夾角為60。，則

實(shí)數(shù)()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【分析】

直接由空間向量的夾角公式計(jì)算即可

【詳解】

QA(-2,0,8),8(4,T,6),

PA=(-2—m,—m,8—m),PB———

PAPB3w2*4-12w+40

由題意有cos60。=

阿麗yj3in2—12//I+685/3/n2—12/n+68

即時(shí)4=3病3+4。,

整理得nr—4m+4=0,

解得〃?=2

故選：B

4.已知雙曲線存一]=1(。>()]>())的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,6)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

在拋物線9=4的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()

.x2y212222

A.--------=IB.二一匕=1C,土-匕=1D.

2128282134

22

上上=1

43

【答案】D

【解析】

GZ-*

試題分析：雙曲線的一條漸近線是丁=一工,則&=￡①，拋物線V=4j7x的準(zhǔn)線是

a

_a=2

x二-不，因此C=S，即/+匕2=02=7②，由①②聯(lián)立解得｛廣，所以雙曲線方

b=\]3

22

程為土—匕=1.故選D.

43

5.如圖圖為中國(guó)古代劉徽的《九章算術(shù)注》中研究“勾股容方”問(wèn)題的圖形，圖中AA3c

為直角三角形，四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形，已知BC=2,AC=4,在AABC上

任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形DEFC的概率為()

A

B

2八51

B.-C.—D.—

992

【答案】A

AnnFx4-x4

【解析】設(shè)CD=x,因?yàn)镈E〃BC,所以——=—，即一=-解得x=—，

ACCB243

設(shè)在AABC任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形DEFC的事件為A，

由幾何概型概率公式可得，

qf4T

p（A）==⑴=±故選A.

C1Q

-x4x2’

2

2,2

6.已知點(diǎn)P為雙曲線三-2r=l（a>0力>0）右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Fi,B分別為雙曲線的左右焦

atr

點(diǎn)，點(diǎn)/是△尸AB的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有SIPF-SIPF>—SIFF成立，

則雙曲線的離心率取值范圍是（）

A.（1,及）B.（1,272）

C.（1,272]D.（1,V21

【答案】D

【解析】設(shè)與馬的內(nèi)切圓的半徑為「，則

SzPF\=3叫",SZP3=*閭S&F1F?5周?「，

因?yàn)椤斑?S41PF]NS&F、FJ所以附|-|P周之乎但閱，

2立c，即￡4亞,

由雙曲線的定義可知|P周一|尸園=為,陽(yáng)瑪|=2c,所以

又由e=￡>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是,故選D.

7.已知點(diǎn)尸（x,y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，當(dāng)2、+4>'取得最小值時(shí)，過(guò)點(diǎn)。（乂月

引圓（x—，）2+（y+L）2=L的切線，則此切線段的長(zhǎng)度為（）

242

A屈B2c10石

2222

【答案】A

【解析】

試題分析：要求解且線段的長(zhǎng)度，只要知道圓心到點(diǎn)P的距離和圓的半徑，結(jié)合勾股定理可

知.由于利用基本不等式及x+2y=3得到

2X+4V>2"'?。到、2.y氧呼2「=?，當(dāng)且僅當(dāng)2*=4丫=2夜，即x=5,y="

33

所以P（一,一），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出P到圓心的距離=

24

且圓的半徑的平方為;，然后根據(jù)勾股定理得到此切線段的長(zhǎng)度j（、5）2-；=岑

,故選

考點(diǎn)：考查學(xué)生會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式求線段長(zhǎng)度，會(huì)

利用勾股定理求直角的三角形的邊長(zhǎng).此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面.

點(diǎn)評(píng)：要求切線段的長(zhǎng)度，利用直角三角形中半徑已知，P與圓心的距離未知，所以根據(jù)基

本不等式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出即可.

22

8.已知點(diǎn)P為雙曲線0-4=13>0力>0）右支上一點(diǎn)，片，工分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，

點(diǎn)/為△夕與鳥(niǎo)的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有SA呼一SMF?班巴成立，則雙

曲線的離心率取值范圍為（）

A.（1,2]B.（1,2）C.（0,2]D.（2,3]

【答案】A

【解析】

如圖，設(shè)圓/與小月工的三邊耳尸2、2《、尸產(chǎn)2分別相切于點(diǎn)E1,G,連接化、正、IG,

則/E_LKE，/F_LPG，/G，PE,它們分別是△陰與，△/P0A/PK的高

?〔SA呼=Jx|P用x"|=；|P6|，SM%=gx|PK|x|/G|=4P6|,

1r

S&F息=^x|耳"岡閨=萬(wàn)恒用其中r是△/牛鳥(niǎo)的內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?/p>

5心醫(yī)_%%235耐心所以§P6|_/P用恒用，兩邊約去"導(dǎo)

歸用=|P用+J耳用,二戶用―儼用=g恒用，根據(jù)雙曲線定義，得

|「耳|一儼閭=2a,\FtF2\^2c,：,2a>c^離心率為e=-<2,雙曲線的離心率取值范圍

為（1,2],故選A.

二、多選題（每題至少有兩個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.已知平面上一點(diǎn)M（5,0）,若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為“切割型直線”，下列

直線中是“切割型直線”的是（）

A.y=x+lB.y=2C.y=4$D.y=2x+l

【答案】BC

【解析】所給直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)M距離能否取4,可通過(guò)求各直線上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最小距離,

即點(diǎn)M到直線的距離來(lái)分析.A.因?yàn)閐=^=3V2>4,故直線上不存在點(diǎn)到M距離等于4,不是

“切割型直線”；B.因?yàn)閐=2〈4,所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)，使之到點(diǎn)M距離等于

20

4,是“切割型直線”；C.因?yàn)閐=^q=4,直線上存在一點(diǎn)，使之到點(diǎn)M距離等于4,是“切割

型直線”；D.因?yàn)?lt;1=費(fèi)=萼>4,故直線上不存在點(diǎn)到M距離等于4,不是“切割型直線”.

10.給定下列四條曲線中，與直線x+y—小=0僅有一個(gè)公共點(diǎn)的曲線是（）

A./+產(chǎn)|B.5+?=1

D.V=-4小x

【答案】ACD

亞

【解析】A中，圓心到直線距離1=啦=匚故直線與圓相切，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，

x+y-yf5=0

A正確；B中，由[史足得135—18小x+9=0,/>0,二直線與橢圓

9+4=1

相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，，B錯(cuò)誤：C中，由于直線平行于雙曲線的漸近線，故只有

x+y—y[5=0

一個(gè)交點(diǎn)，.?（正確；D中，由（2=_4小x得/+2由x+5=0,

這里/=0.故直線與拋物線相切.；.D正確，故應(yīng)選ACD.

E,F,G分別為8C,CCi,BBi的中點(diǎn).則()

A.直線DiD與直線AF垂直B.直線4G與平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為三D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

8

【答案】BC

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)AD可以利用反證法分析得解；對(duì)于選項(xiàng)B可以證明；對(duì)于選項(xiàng)C,可以先找到截

面再計(jì)算得解.

【詳解】

根據(jù)題意，假設(shè)直線5。與直線AF垂直，又3R_LA￡,AEnA尸=AAE,AFU平面AEF,

TT

所以叫4面房,所以四但,乂叩〃cc”所以cc與sc二矛盾，所以直

線DiD與直線AF不垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?GEID1F,4G0平面AEFDi,RFu平面AEFDI,所以4G0平面AEFDi,故選項(xiàng)B正確.

平面人EF截正方體所得截面為等腰梯形AEFDi,山題得該等腰梯形的上底EF=變，下底

2

腰長(zhǎng)為在，所以梯形面積為故選項(xiàng)C正確；

28

假設(shè)C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面凡斯必過(guò)CG的中點(diǎn),

連接CG交所于“，而H不是CG中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于空間幾何線面位置關(guān)系命題的判斷，常用的方法有：（1）舉反例；（2）直接

證明；（3）反證法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法解答.

12--為橢圓G：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)「作C|切線交圓C…f』2于M,N,過(guò)

M,N作C?切線交于Q,則（)

A.可?！钡淖畲笾禐楦麭.￡的最大值為也

2

C.。的軌跡是《+亡=1D.。的軌跡是《=

36484836

【答案】AC

【分析】

設(shè)出點(diǎn)Q,P的坐標(biāo)，分別寫(xiě)出直線方程，根據(jù)系數(shù)相等，求得坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合幾

何關(guān)系，即可求得三角形OPQ得面積，結(jié)合均值不等式則面積的最大值可解；利用相關(guān)點(diǎn)

法，即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

【詳解】

根據(jù)題意，作圖如下：

不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（XQJ,點(diǎn)。坐標(biāo)為（見(jiàn)〃）,

故切點(diǎn)MN所在直線方程為：mx+ny=\2-

又點(diǎn)?為橢圓上的一點(diǎn)，

故切線方程腦V所在直線方程為：+=1；

43

故可得居=今者..即加=3w,〃=4、

不妨設(shè)直線MN交OQF點(diǎn)H,故PHLOQ

設(shè)宜線0。方程為：，a-陽(yáng)=0，

乂OQ=y/nr+H2>

故可得三角形。尸。的面積S=gxOQxPH=夕叫-my\

=；14玉y-3與x|=：|xjJ=；

2

當(dāng)且僅當(dāng)K_=g,且g+g=i時(shí)，即*；=2,才=］時(shí)取得最大值.

43432

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，故上+區(qū)=1,

43

乂相=34，"=4,，

故可得:看+:啥=1，整理得家靠"

故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為:^+i=L

故選：AC.

三、填空題(每題5分，4題共20分)

13.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程為.

【答案】y=~-

8

【解析】因?yàn)閽佄锞€y=2/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此其準(zhǔn)線方程為：y=-；故答

28

案為y=

8

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.

14.若曲線G：y=2+J=FK與曲線。2：3-2)日一日+幻=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則

實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】￥

，一2)

【解析】由6：y=2+J-x2—2x得(x+l)2+(y-2)2=l(y..2),

曲線Ci表示以(-1,2)為圓心以1為半徑的上半圓，

顯然直線y=2與曲線G有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)為半圓的兩個(gè)端點(diǎn)，

...直線丁=爪一女=女。一1)與半圓有2個(gè)除端點(diǎn)外的交點(diǎn)，

2-0

當(dāng)直線y=Mx-D經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，k=——=-2,當(dāng)直線與半圓相切時(shí),

0—1

12+2攵|_4-S-4+x/7

「丁=1,解得左=--------或4=-------(舍去)

[1+k233

所以一4一S(/＜一2時(shí),直線y=A(x-l)與半圓有2個(gè)除端點(diǎn)外的交點(diǎn),

3

故答案為：14-6,_2)

3

15.《九章算術(shù)》第五卷中涉及到一種幾何體一一羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末

廣八尺，裹七尺.該羨除是一個(gè)多面體A8CDFE,如圖，四邊形A8CD,A8EF均為等腰梯形，

ABHCDIIEF,平面ABCZ)_L平面A8EF,梯形ABCD,梯形ABEF的高分別為3,7,且

AB—6?CD=10,EF=8,則4。?8尸=

【答案】14

【分析】

過(guò)A分別作CD,EE的高，垂足分別為N，",可證明AN，A3，AM兩兩垂直,

然后

建立空間直角坐標(biāo)系，求出8,D,F,A的坐標(biāo)，從而求出而?麗的值即可.

【詳解】

如圖示：

過(guò)A分別作CD,EE的高，垂足分別為N，M，

???平面ABCD±平面ABEF，ABHCD//EF,

平面ABCDD平面ABEF=A8，故N4_L平面ABEF,

故ANLAM,又AM_LAB，

故AN，AB，40兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB<AM'而分別為x,y,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一孫z,則由題意可知：

8(6,0,0),0=(-2,0,3),F(-l,7,0),A(0,0,0),

故,BF=（—7，7,0）,AD=（-2,0,3）,

故而?旃=14，

故答案為：14

16.如圖，拋物線。：＞2=2川（〃〉0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線4與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M點(diǎn)且

斜率為我的直線/與拋物線。交于第一象限內(nèi)的A，3兩點(diǎn)，若|A例|=力4H，則

cosZAFB=.

【分析】

過(guò)點(diǎn)A作垂足為點(diǎn)E，拋物線的定義知|A目=|A尸|,在Rt&WE中，利用題

333

干條件和三角函數(shù)可得tan/M4E=-,sinNAF7V=一，同理可得sin/6&=-,由

444

cosZAFB=cos（乃一2ZAFN）即可得出答案.

【詳解】

如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AEJJ。，垂足為點(diǎn)E.

由拋物線的定義知|A￡|=|A尸］,

在中,

V|AM|=||AF|,ACOSZA/AE=|,

3

/.tanNMAE=—.

4

過(guò)點(diǎn)A作⑷VJ_x軸，垂足為點(diǎn)N,

則sinZAFN=—=-=tanZMAE=-,

AFAE4

3

同理得sinZBFx=~,

4

：.cosZAFB=cos(萬(wàn)一24AFN)=2sin2乙AFN

故答案為：!

o

四、解答題(17題10分，其余每題12分，7題共70分)

17.(1)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,焦距為4的桶圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

22.

(2)求與雙曲線工-工=1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(-3,2j§)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.

916,

【答案】⑴E+反=1或$+《=1；(2)--22

-=1.

959594■

【解析】

【分析】

(1)分別討論焦點(diǎn)在％軸上，焦點(diǎn)在》軸上，兩種情況,根據(jù)題中條件，分別求解，即可

得出結(jié)果；

r~v2

(2)根據(jù)題中條件，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為—wO),點(diǎn)卜3,2百)在雙曲線上，

916=,

直接代入，求出沈，即可得出結(jié)果.

!y2、

【詳解】(1)若焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：4-+^~—1(z6?>/?>0)，

緒

由長(zhǎng)軸長(zhǎng)知：2a=6,,-.?2=9；由焦距知：2c=4，

/.c=Va2-b2-yj9-b2-21解得：序=5；

v-2v2

，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^-=1；

95

x2

若焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)楠圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:=1（。>b>0）

0b2

同焦點(diǎn)在x軸上，可得〃=9，b2=5.

V2尤2

所以橢圓方程為乙+三=1；

95

2222

綜上，所求橢圓方程為土+匕=1或乙+土=1.

9595

/v2

(2)?.?所求雙曲線與雙曲線二-匕=1有共同的漸近線,

916

二可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為三—匕=加(加工0)，

916v7

又過(guò)點(diǎn)(一3,26),所以2-U,=/〃，解得加=，，

\'9164

4%2v2

所以”.-2_=1即所求.

94

【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題型.

X2v2

18.已知命題p：VxeR,x2+x-m>0.命題，實(shí)數(shù)加滿足：方程」一+△—=1表

m-14-m

示雙曲線.

(1)若命題，為真命題，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若命題“P或4”為假命題，求實(shí)數(shù)山的取值范圍.

【答案】(1)］一叫―］；(2)l<m<4.

【解析】

【分析】

(1)VxeR,x?+x—m2()恒成立，可得A=1+4HIK0,從而求得m的范圍：(2)由“p

或q”為假命題，可得p，q均為假命題，求出當(dāng)q為真命題時(shí)m的范圍，再由交集與補(bǔ)集的

運(yùn)算求解.

【詳解】(l)；VxeR,x2+x-m?()恒成立，

1+4m<0，解得m<—,

4

，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（一8,-：；

（2）V“p或q”為假命題，，P,q均為假命題，

當(dāng)q為真命題時(shí)，則（m-l）（4-m）<0,解得m>4或m<l.

，q為假命題時(shí)，

由（1）知，p為假命題時(shí)m>一；.

1

777>---

從而v4,即

1<m<4

???實(shí)數(shù)m的取值范圍為l<mK4.

19.如圖，在幾何體A5CDE/中，AB//CD,AD=DC=CB=i,ZABC=60°,四邊形ACFE

為矩形，尸8=廂,M,N分別為E￡A3的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面FC8；

（2）若直線AF與平面FC8所成的角為30°,求平面與平面尸C8夾角的余弦值.

20.答案：（1）取3c的中點(diǎn)Q,連接NQ,，。，如圖所示，則NQ=gAC,NQPAC.

又MF=g\C,MFPAC,;.MF=NQ,MFPNQ,則四邊形MAQ尸為平行四邊形，即

MNPFQ.QFQu平面FCB,MN<Z平面FCB，:.MNP平面FCB.

（2）由ABPCD,AD=DC=CB=tZABC=60°，可得ZAC8=90°,AC=g,AB=2.

Q四邊形ACFE為矩形，4。_18。,，4。，平面96,則Z4FC為直線A尸與平面了CB所

成的角，即4VC=30。，:.FC=3.QFB=如,;.FB2=FC?+CB，F(xiàn)C1BC,則可建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cryz,

M

A(V3,O,O),B(O,1,O),M,:.MA=

設(shè)帆=(苞y,z)為平面的法向量，則需即2,

MBm=OV3嗔

----x4-y-3z=0n

I2,

取x=2石，則而=(273,6,1)為平面MAB的一個(gè)法向量.又CA=(<3,0,0)為平面FCB的一個(gè)

法向量，cos(；n,C4>=—=2而一=空,故平面MAB與平面FCB夾角的余弦值

|m||CA|7x67

為空.

7

22

20.如圖，橢圓(7:「+2=1(。>〃>0)的離心率是短軸長(zhǎng)為2石，橢圓的左、右頂點(diǎn)為

4、4.過(guò)橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓相交于AB兩點(diǎn)，與拋物線E相交于

只。兩點(diǎn)，點(diǎn)M為2。的中點(diǎn).

(1)求橢圓C和拋物線E的方程;

(2)記△A%的面積為S1,AM&Q的面積為邑，若S-3s”求直線/在y軸上截距的范圍.

【答案】⑴橢圓C：《+J1,拋物線E:y2=4x；⑵（7，一坐U坐,一［

【分析】

（1）依題意得到方程組，求出。,匕的值，即可求出拖橢圓方程，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出

拋物線方程；

（2）設(shè)/：x=（y+l,A（X|,yJ,8（X2，%）,P（X3，y3），Q（X4，y4），聯(lián)立/與橢圓，利用韋達(dá)定理及

弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離，求出三角形的面積5，4,再根據(jù)印.3s2得到不等式，解得

即可;

【詳解】

2b=2G

（1）根據(jù)題意得：，e=?=；,解得a=2,b=6c=l,拋物線焦點(diǎn)尸（1,0）,

a2=b2+c2

因此橢圓C:三+七=1,拋物線E:y2=4x

43

（2）設(shè)/:x=（y+l（rwO）,A（內(nèi),y）,8（々，%），尸（七，％），。（匕,必），聯(lián)立/與橢圓

x=ty+\

x2/,）

—+—=1

43

整理1得：（3r+4）產(chǎn)+60一9=0,判別式：A=（67）2—4（3『+4）（-9）=144（/+1）

弦長(zhǎng)公式：|叫=衍|,-止g熔口，所以SIM?卷=雪

聯(lián)立/與拋物線E：，，整理得：9一4）一4=0,判別式：A=（-4/）2-4（^）=16（r2+l）

、xty+1

2

弦長(zhǎng)公式：\PQ\=JT^\y3-y4|=\/i+7^16（l+r）,

所以S2=；S/%=~~\PQ\-J--=\/l+/2,

因?yàn)镾「3邑，因此18g7解得：一逅別JL

3『+433

在y軸上截距-士，-邁或-1…如，因此在y軸上截距取值范圍是（,，一四］U當(dāng),+?>.

t2t2\22

21.如圖，四梭錐E-ABCZ）中，AE±AB,AC±BC,BA=2AC,AC=AE=AD=CD,M

co中點(diǎn).

(l)求證：ABIEM^

(2)若二面角E-AB-。的余弦值為立，求直線￡>E與平面ABE所成角的正弦值.

4

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

20

【分析】

(1)由a4=2AC,ACVBC,得N8AC=g,再由AC=AO=C￡>,可得N8CO=￡,從

而得ABI38,再結(jié)已知條件可得CD，AM,8,AE,從而由線面垂直的判定定理可得

?平面進(jìn)而可得43LEM

(2)由(1)知：ABJL平面4WE,NEW即為二面角E—他―力的平面角，過(guò)點(diǎn)“作MHJ_E4

于“，在RSM4H中可求出的值，從而可求出答案；或以A為原點(diǎn)，ARAM為x軸,

y軸，垂直平面ABC￡>向上方向?yàn)閦軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【詳解】

7T

(1)?.?BA=2AC,AC±BC,:.^BAC=~,

3

7T

乂AC=A￡>=C￡>,M為CO中點(diǎn)，則有=

,ABOCD,CD±AM,CD±AE,

回AMDAE=A

.?./W_L平面AWE,

!3￡Mu平面AME,

所以舫_LEM.

E

(2)方法-：由(1)知：A8_L平面AME,

.?./E4"即為二面角E—AB—D的平面角，

所以cosNEAM=@，所以sinNE4M=@^

44

過(guò)點(diǎn)M作_LE4于H,記AC=AD=CD=1,

，RIAM4//中：MH=MAsinNEAM=叵叵=遮

248

乂?.(￡>〃面AEB，

到面AEB的距離與M到面AEB的距離相等，

.八MH7392版

sine=-----=----------產(chǎn)=------

8V520

方法二：以A為原點(diǎn)，AB,AM為x軸,y軸，垂直平面A8C。向上方向?yàn)閆軸,

如圖建立空間宜角坐標(biāo)系，令A(yù)C=2,則4(0,0,0),8(4,0,0),。(-1,6,0)；

因?yàn)槎娼恰暌凰囊弧５挠嘞抑禐楦?，設(shè)田14W,則A”=",HE=巫；

422

所以E0,**,則礙1,-#，煙;又荏=0,曰*，麗=(4,0,0),

4x=0

設(shè)平面W的法向量為7=(x,y,z),則，Gy+冬=0,

取y=—?jiǎng)tx=0,z=6，所以〃=(0,—,

令直線OE與平面便所成角為。,

則sin。=辰s.訃蜀=懸=韁

d病27195

由=^D-AEB?M(Z=—；.'.sin^=

8ED

22.已知橢圓E:=+與=1（。＞。＞0）,它的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,左、右焦點(diǎn)分別

a~b~

為4、F2,若四邊形A耳86為正方形，且面積為2.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線4、12,它們與橢圓E分別交于點(diǎn)C、D、M、

N,且四邊形CDMN是菱形；

①求證：直線4、4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②求出該菱形周長(zhǎng)的最大值.

22

【答案】（1）5+,=1；（2）①證明見(jiàn)解析；②菱形周長(zhǎng)的最大值為40.

【分析】

（1）由已知