北師大版選修21 2.3.2 空間向量基本定理 作業(yè).docx

3.2空間向量基本定理1.已知向量a,b,c是空間的一個基底,從a,b,c中選一個向量,一定可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成空間的另一個基底的是()a.ab.bc.cd.不存在解析:因為a,b,c為一個基底,所以若想p,q與另外一個向量構(gòu)成一個基底,則另外一個向量必含有c.答案:c2.am是abc中bc邊上的中線,設(shè)ab=e1,ac=e2,則am為()a.e1+e2b.12e1-12e2c.e1-e2d.12e1+12e2答案:d3.設(shè)o-abc是四面體,g1是abc的重心,g是og1上的一點,且og=3gg1,若og=xoa+yob+zoc,則x,y,z分別為()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d.23,23,23解析:og=34og1=34(oa+ag1)=34oa+342312(ab+ac)=34oa+14(ob-oa)+(oc-oa)=14oa+14ob+14oc,x=14,y=14,z=14.答案:a4.已知o,a,b,c為空間四個點,又oa,ob,oc為空間的一個基底,則()a.o,a,b,c四點共線b.o,a,b,c四點共面c.o,a,b,c四點中任意三點不共線d.o,a,b,c四點不共面答案:d5.如圖所示,已知空間四邊形oabc,其對角線為ob,ac,m,n分別是oa,cb的中點,點g在線段mn上,且使mg=2gn,則og等于()a.16oa+13ob+13ocb.16oa+13ob+23occ.oa+23ob+23ocd.12oa+23ob+23oc解析:og=om+mg=om+23mn=16oa+13ob+13oc.答案:a6.給出下列命題:若ab,則a(b+c)+c(b-a)=bc;a,b,m,n為空間四點,若bm,bn,ba不能構(gòu)成空間的一個基底,則a,b,m,n四點共面;若向量ab,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底;若a,b,c是空間的一個基底,則基向量a和b可以與向量m=a+c構(gòu)成另一個基底.其中正確的有()a.1個b.2個c.3個d.4個解析:對于,a(b+c)+c(b-a)=ab+ac+cb-ca=cb,所以正確;對于,因為bm,bn,ba共面,所以a,b,m,n四點共面,即正確;不正確;對于,因為a,b,m不共面,所以正確.答案:c7.已知a,b,p三點共線,o為空間任意一點,op=oa+ob,則+=.答案:18.已知o是空間任意一點,a,b,c,d四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且oa=2xbo+3yco+4zdo,則2x+3y+4z=.解析:a,b,c,d四點共面的充要條件是oa=ob+oc+od,且+=1,則有-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.答案:-19.已知在四面體abcd中,ab=a-2c,cd=5a+6b-8c,棱ac,bd的中點分別為e,f,則ef=.解析:如圖所示,取bc的中點g,連接eg,fg,則ef=gf-ge=12cd-12ba=12cd+12ab=12(5a+6b-8c)+12(a-2c)=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c10.如圖所示,已知平行六面體abcd-abcd,點e在ac上,且aeec=12,點f,g分別是bd和bd的中點,求下列各式中x,y,z的值.(1)ae=xaa+yab+zad;(2)bf=xbb+yba+zbc;(3)gf=xbb+yba+zbc.解(1)aeec=12,ae=13ac=13(ab+bc+cc)=13(ab+ad+aa),ae=13aa+13ab+13ad,x=y=z=13.(2)f是bd的中點,bf=12(bb+bd)=12(bb+ba+aa+ad)=12(2bb+ba+bc)=bb+12ba+12bc,x=1,y=z=12.(3)f,g分別是bd和bd的中點,gf=12bb,x=12,y=z=0.11.已知e1,e2,e3是空間的一個基底,且oa=e1+2e2-e3,ob=-3e1+e2+2e3,oc=e1+e2-e3,試判斷oa,ob,oc能否作為空間的一個基底.若能,試以此基底表示向量od=2e1-e2+3e3;若不能,請說明理由.解能.假設(shè)oa,ob,oc共面,由向量共面的充要條件知存在實數(shù)x,y使oa=xob+yoc成立,e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.e1,e2,e3是空間的一個基底,e1,e2,e3不共面,-3x+y=1,x+y=2,2x-y=-1,此方程組無解,則不存在實數(shù)x,y,使oa=xob+yoc,oa,ob,oc不共面.故oa,ob,oc能作為空間的一個基底.設(shè)od=poa+qob+zoc,則有2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3.e1,e2,e3為空間的一個基底,p-3q+z=2,2p+q+z=-1,-p+2q-z=3,解得p=17,q=-5,z=-30,od=17oa-5ob-30oc.12.如圖所示,已知平行六面體abcd-a1b1c1d1的底面abcd是菱形,且c1cb=c1cd=bcd.(1)求證:cc1bd.(2)當cdcc1的值為多少時,能使a1c平面c1bd?請給出證明.(1)證明設(shè)cd=a,cb=b,cc1=c.由題意得|a|=|b|,bd=cd-cb=a-b.因為cd,cb,cc1兩兩夾角的大小相等,設(shè)為,所以cc1bd=c(a-b)=ca-cb=|c|a|cos -|c|b|cos =0,所以cc1bd.(2)解要使a1c平面c1bd,只需a1cbd,a1cdc1.由ca1c1d=(ca+aa1)(cd-cc1)=(a+b+c)(a-c)=|a|2-ac+ab-bc+