畢業(yè)設(shè)計（論文）-凱萊哈密爾頓定理的多種證法和應(yīng)用.doc

本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）（ 屆）設(shè)計（論文）題目 凱萊哈密爾頓定理的多種證法和應(yīng)用 作 者 分 院 專 業(yè) 班 級 指導(dǎo)教師（職稱） 論 文 字 數(shù) 論文完成時間 凱萊哈密爾頓定理的多種證法和應(yīng)用摘要：凱萊哈密爾頓定理是線性代數(shù)中的一個重要定理.本文主要是通過矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形，歸納總結(jié)，上三角矩陣等不同的方法來證明凱萊哈密爾頓定理，并舉例說明凱萊哈密爾頓定理在高等代數(shù)解題中的應(yīng)用，特別是利用凱萊哈密爾頓定理在求解計算題時，比常規(guī)解法更方便、簡捷，為同學(xué)們在高等代數(shù)學(xué)習(xí)中得到較好的幫助.關(guān)鍵詞：凱萊哈密爾頓；歸納總結(jié)；上三角矩陣A Variety Proof and Application of Cayley Hamilton TheoreMathematics and applied mathematics class 1001 wu su ling Instructor: yang hao boAbstract：Cayley Hamilton theorem is an important theorem of linear algebra. In this article, various of methods can attest the Cayley Hamilton theorem ,such as through the rational canonical form of matrix, sum up, the upper triangular matrix to attest the Cayley Hamilton theorem andgive an example to instructions cayley Hamilton theorem in the application of the advanced algebra problem solving , Especially using cayley Hamilton theorem in solving computational problems is more convenient and simpl than the conventional method, this article offer good help in learning advanced algebra to students.Key words：Cayley Hamilton;generalizations;upper triangular matrix目錄1引言12凱萊哈密爾頓定理的證法12.1利用數(shù)學(xué)歸納法證明凱萊哈密爾頓定理12.2利用上三角矩陣證明凱萊哈密爾頓定理22.3利用伴隨矩陣證明凱萊哈密爾頓定理33凱萊哈密爾頓定理的應(yīng)用43.1凱萊哈密爾頓定理在高等代數(shù)證明題上的應(yīng)用43.2凱萊哈密爾頓定理在高等代數(shù)計算題上的應(yīng)用53.2.1利用凱萊哈密爾頓定理求解逆矩陣53.2.2利用凱萊哈密爾頓定理求解方陣高次冪問題53.2.3利用凱萊哈密爾頓定理求解二階方陣的平方根73.2.4利用凱萊哈密爾頓定理來解決有限維線性空間直和分解的問題84總結(jié)10參考文獻(xiàn)10致謝12凱萊哈密爾頓定理的多種證法和應(yīng)用1 引言凱萊哈密爾頓定理是矩陣的特征多項式里的一個很重要的性質(zhì)，而特征多項式也是高等代數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一.其中該定理表示：設(shè)是數(shù)域上的階方陣，則矩陣的特征多項式為零矩陣，即.這個定理告訴我們，任意給定數(shù)域上一個矩陣，總是可以找到一個在數(shù)域的一個多項式，使得，我們就稱是的根.不論是在國內(nèi)還是在國外都有很多有關(guān)凱萊哈密爾頓定理的科研成果，在不同的領(lǐng)域中凱萊哈密爾頓定理也被廣泛的應(yīng)用.在此，我通過閱讀大量有關(guān)凱萊哈密爾頓定理的期刊和圖書，對期刊中所給的證明進(jìn)行了歸納總結(jié)，也對其應(yīng)用進(jìn)行了歸納和研究，并給出相關(guān)例子來加以理解.2 凱萊哈密爾頓定理的證法2.1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明凱萊哈密爾頓定理為任意一個數(shù)域，為數(shù)域上的矩陣所構(gòu)成的集合，是階的一個單位矩陣，其中的是正整數(shù).根據(jù)矩陣的特征根和它對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)，我們可以直接得到對于任意，存在著可逆矩陣，可使得如下形狀的分塊矩陣所示 其中.引理1 可以分成為其中，分別是，階矩陣，并且又假設(shè)是在數(shù)域上的多項式那么就存在，故可以推得 如下面的分塊矩陣所示根據(jù)引理1可以把凱萊哈密爾頓定理表示為：任意矩陣， 其中為的特征多項式.時，直接可以看出結(jié)論成立.假設(shè)該結(jié)論對階的矩陣仍然成立已知，根據(jù)引理1可知存在，使得由歸納假設(shè)可以得知，則，因而可以推出證明完畢.2.2 利用上三角矩陣證明凱萊哈密爾頓定理引理2 設(shè)矩陣是屬于復(fù)數(shù)域上的一個階方陣,則與上三角矩陣相似.證明引理2當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)復(fù)數(shù)域上任意一個階方陣都相似于上三角矩陣.設(shè)的一個特征值為，特征向量為，將擴(kuò)充為維向量空間上的一個基.令，那么為可逆矩陣，可以設(shè)，其中是階行矩陣，為方陣.從歸納假設(shè)中可以得知存在階可逆矩陣，使得為上三角方陣，令，為可逆矩陣，推得因為是上三角陣，那么為上三角陣，推得相似于上三角陣.證明完畢.由引理2可以知道存在著可逆矩陣使是上三角矩陣把上述矩陣記為，當(dāng)時.假設(shè)對于階矩陣來說因而，可以推得把代入上式可以得到.因而.證明完畢.2.3 利用伴隨矩陣證明凱萊哈密爾頓定理記矩陣為階矩陣，那么 設(shè)是特征矩陣的伴隨矩陣，中每個元素的代數(shù)余子式都為的次多項式.那么可以假設(shè)可以表示為 那么 （1）因而從上面可以得知和可以互換，也就說明（1）式是有意義的.將，代人上面的式子，整理得到因而可以推出.證明完畢.除了上面所知道的證明，我們在有關(guān)高等代數(shù)的書籍中常常可以看的用Jordan塊，F(xiàn)robenius塊來證明凱萊哈密爾頓定理.3 凱萊哈密爾頓定理的應(yīng)用3.1 凱萊哈密爾頓定理在高等代數(shù)證明題上的應(yīng)用例1 矩陣是階方陣，（1） 證明可逆的充要條件為的特征多項式中常數(shù)項非零；（2） 當(dāng)是可逆的，證明的多項式可以由的逆矩陣和伴隨矩陣來表示.解：對于問題（1）的證明：設(shè)矩陣的特征多項式表示為根據(jù)凱萊哈密爾頓定理已知.當(dāng)時，可以得到.從而推得可逆的條件為的常數(shù)項不為0對于問題（2）的證明：由上述證明可得當(dāng)可逆時，的常數(shù)項，由式子可以得出所以例2 已知，分別為階和階方陣，并且和沒有公共的特征根，證明有且只有一個解.證明 設(shè)為方陣的特征多項式，為方陣的特征多項式；為的特征根，那么的特征根則表示為，并且.當(dāng)時，可以得出是的特征根與已知條件，沒有公共的特征根相違背，因而對于任意的都存在.所以是可逆矩陣.對式子進(jìn)行變換得從而又因為可逆，所以推得.3.2 凱萊哈密爾頓定理在高等代數(shù)計算題上的應(yīng)用3.2.1 利用凱萊哈密爾頓定理求解逆矩陣在高等代數(shù)中我們學(xué)過逆矩陣的解法，常用的一種解法為根據(jù)公式求解逆矩陣.用這種方法求解首先判斷是否為零，若不為零再求得，最后求得逆矩陣.用凱萊哈密爾頓定理可以更方便的求解逆矩陣.設(shè)矩陣為數(shù)域上的一個階方陣，根據(jù)凱萊哈密爾頓定理可以得知.那么矩陣的特征多項式為假設(shè)矩陣是可逆的，那么矩陣的特征多項式的常數(shù)項.于是所以可以求得可逆矩陣?yán)? 矩陣是數(shù)域上的階矩陣，求矩陣的逆矩陣.解 的特征多項式表示為解得，那么矩陣是可逆的.于是有3.2.2 利用凱萊哈密爾頓定理求解方陣高次冪問題在高等代數(shù)中我們曾學(xué)過如何求解方陣高次冪的問題，矩陣是數(shù)域上的階方陣，令，那么，現(xiàn)在我們也可以用凱萊哈密爾頓定理來求解方陣高次冪.巧用凱萊哈密爾頓定理我們可以更方便快捷地求得方陣的高次冪的.例4 設(shè)求.假設(shè)所要求的是矩陣的次冪矩陣，則. 當(dāng)時，得到，當(dāng)時，得到.對進(jìn)行求導(dǎo)得到當(dāng)時，可得到，進(jìn)行依次求導(dǎo)，可以得知，其他常數(shù)項都為零.那么可以表示為于是根據(jù)凱萊哈密爾頓定理得知必有，所以那么例5 設(shè)求.的特征多項式為，由凱萊哈密爾頓定理得設(shè)，由特征根以及得到故3.2.3 利用凱萊哈密爾頓定理求解二階方陣的平方根在矩陣的相關(guān)應(yīng)用中，快捷地，正確的判斷出一個矩陣有沒有平方根矩陣甚至知道怎么求解矩陣的解，是十分有意義的.數(shù)量方程的與矩陣方程有相似的形式，但它們的根的唯一性、存在性、解的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)等各方面的差異卻是很大.所以簡單地將數(shù)量方程得到的結(jié)果直接套用到矩陣的方程上是不行的，如在復(fù)數(shù)域上，數(shù)量方程是一定存在著解的，矩陣方程卻不一定存在著解，或者是有可能有無限個的解，并且解如果不為零，那么也可能是冪零的.對于矩陣方程解的求法，我們可以通過凱萊哈密爾頓定理來實現(xiàn).設(shè)矩陣是數(shù)域上的階方陣，根據(jù)凱萊哈密爾頓定理可以得到設(shè)矩陣是數(shù)域上的二階方陣，為矩陣的跡.矩陣是矩陣的平方根，則將式子代入到上式，可以消去，得到式子根據(jù)可以得到然后，我們可以將矩陣分為是不是數(shù)量矩陣來進(jìn)行研究.（I）矩陣為數(shù)量矩陣如果矩陣為數(shù)量矩陣，那么，則（i）當(dāng)時一般解的形式為（ii）當(dāng)時得出矩陣為數(shù)量矩陣，那么只會存在一對解.（II）矩陣不是數(shù)量矩陣如果矩陣不為數(shù)量矩陣，那么一定不為零，所以可以假設(shè)每個平方根的表達(dá)式為：那么可以得到式子我們知道矩陣不為數(shù)量矩陣，那么不可能為零矩陣，于是（i） 當(dāng)，時（ii）當(dāng)，時（iii）當(dāng)時（iv）當(dāng)時如果，那么必有，與已知假設(shè)相違背，因而可以得出矩陣沒有平方根.例6 求解矩陣的平方根，表示為矩陣不是一個數(shù)量矩陣，且，那么矩陣的平方根為例7 求矩陣的平方根，其中矩陣不是一個數(shù)量矩陣，且，那么矩陣的平方根為3.2.4 利用凱萊哈密爾頓定理來解決有限維線性空間直和分解的問題在這里，主要運用凱萊哈密爾頓定理得到一些重要結(jié)論，因而可以使得向量空間中的直和分解使用范圍擴(kuò)大.凱萊哈密爾頓定理：數(shù)域上的矩陣為階矩陣，它的特征多項式表示為，那么.直和定理：設(shè)是一個關(guān)于數(shù)域上的維數(shù)為的線性空間，為上的線性變換，假設(shè)的特征多項式在數(shù)域上具有分解式那么的直和分解表示為其中是數(shù)域上互為不相同的數(shù)，為上的恒等變換.但是，這結(jié)論只存在于是復(fù)數(shù)域的時候.現(xiàn)在我們將討論當(dāng)不是復(fù)數(shù)域的時侯有限維線性空間的直和分解.定理2 假設(shè)是一個在上的維線性空間，為上的線性變換，若的特征多項式的分解式如下所示在數(shù)域上兩兩互素，那么的直和分解表示為定理3 假設(shè)是一個在上的維線性空間，為上的線性變換，若的特征多項式的分解式如下所示那么在上多項式?jīng)]有根，所具有的直和分解如下所示在數(shù)域中互為不相同的數(shù)，是的恒等變換，而且，例8 求解在四維空間中有關(guān)矩陣的直和問題，其中矩陣所決定的線性變換表示為.已知的形式如下的特征多項式表示為，在數(shù)域上求得的特征值為，是不可約的，聯(lián)系定理2可以求得可以得知為的一個基.那么顯然可以知道是和的直和.除了以上的應(yīng)用，凱萊哈密爾頓定理還可以應(yīng)用在其他許多地方，該理論在力學(xué)中也經(jīng)常被應(yīng)用，具體可以去看文獻(xiàn)彈性地基上任意厚度疊層板的彎曲問題和三維橫觀各向同性成層地基的傳遞矩陣解.4 總結(jié)本文主要是把凱萊哈密爾頓定理的證法進(jìn)行歸納，并且對該定理的應(yīng)用進(jìn)行了歸納研究，從中我們可以看出證明凱萊哈密爾頓定理的方法有很多，且各種方法都不盡相同.本文中所提到的證明方法都有其各自的特點，凱萊哈密爾頓定理的應(yīng)用也是很廣泛的，通過分析各自應(yīng)用的特點，快速抓住掌握問題的實質(zhì)，理解該定理如何應(yīng)用，然后舉相關(guān)的例子，更好的進(jìn)行理解.參考文獻(xiàn)：1 楊艷,劉合國.Cayley-Hamilton定理的有理證明J.湖北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2009,31(2):109-112.2 錢正方.Cayley-Hamilton定理及最小多項式公式的簡明證法J.成都電訊工程學(xué)院學(xué)報.1988,17(3):281-284.3 栗裕,郭紅梅.二階方陣的平方根解法探究J.黃岡師范學(xué)院學(xué)報J.2011,31(6):36-37.4 黨平安,朱玉卿,王華軍.關(guān)于奇異矩陣的.Cayley-Hamilton定理J.天中學(xué)刊J.2001,16(5):4-5.5 常福全.用Cayley-Hamilton定理直接求方陣的預(yù)解矩陣J.浙江工學(xué)院學(xué)報.1987,(1):18-23.6 張寶善,沈雁.有限維線性空問直和分解問題的新探索J.南京審計學(xué)院學(xué)報.2010,7(4):78-81.7 高榮譽.彈性地基上任意厚度疊層板的彎曲問題J.建筑結(jié)構(gòu).2001,31(4):27-29.8 艾智勇,成怡沖. 三維橫觀各向同性成層地基的傳遞矩陣解J.巖土力學(xué).2010,31(2):25-30. 9 Zheng Quan-shui, Tai Tien-min. Two Simple Proofs of Cayley-Hamilton Theorem and Two Representation TheoremsJ.Applied Mathematics and Mechanics. 1984,5(1):977-984.10 Anandam Bnerjee .Polynomials Satisfied by Square Matrices: A Converse to the Cayley-Hamilton TheoremJ. RESONANCE.2002, 7(11):47-58. 致謝時光匆匆，轉(zhuǎn)眼即逝，四年的大學(xué)生活也到了頭