數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入--2013屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí).ppt

第五十三講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,回歸課本,1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念. (1)形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a和b都是實(shí)數(shù).其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部. 對于復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,它是實(shí)數(shù); 當(dāng)b0時,叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b0時,叫做純虛數(shù).,(2)復(fù)數(shù)的相等 即如果a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么 a+bi=c+dia=c且b=d; a+bi=0a=0且b=0.,注意:(1)如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),則可以比較大小;否則,不能比較大小. (2)復(fù)數(shù)相等的條件是把虛數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù),是虛數(shù)問題實(shí)數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).,2.復(fù)平面的概念 建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面,叫做復(fù)平面.x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù);各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù). 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的.,3.共軛復(fù)數(shù)概念 當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用 表示,即z=a+bi,則 =a-bi(a,bR).,注意:(1)實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身,即z= zR. (2)z=a+bi與z=a-bi(a,bR)互為共軛復(fù)數(shù),則z+ =2a,z- =2bi,|z|=| |,z =|z|2=| |2.,4.復(fù)數(shù)的加法與減法 (1)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律結(jié)合律,即對任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,(3)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量 不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以 為兩鄰邊的平行四邊形的對角線 所對應(yīng)的復(fù)數(shù). 復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1-z2是連接向量 的終點(diǎn),并指向被減數(shù)向量 所對應(yīng)的復(fù)數(shù).,5.復(fù)數(shù)的乘法與除法 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di (1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則 z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 交換律z1z2=z2z1; 結(jié)合律(z1z2)z3=z1(z2z3); 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則 (a+bi)(c+di)= (c+di0).,注意:特殊復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).,考點(diǎn)陪練,1.(2010北京)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn),則C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 解析:兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A(6,5),B(-2,3),則C(2,4),故其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i. 答案:C,2.(2010陜西)復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案:A,3.(2010湖北)若i為虛數(shù)單位,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)是( ) A.E B.F C.G D.H,答案:D,答案:B,答案:A,類型一 復(fù)數(shù)的概念 解題準(zhǔn)備:處理有關(guān)復(fù)數(shù)基本概念的問題,關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念,找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部(即實(shí)部和虛部必須是實(shí)數(shù)),從定義出發(fā)解決問題.本題考查復(fù)數(shù)集的分類及復(fù)數(shù)的幾何意義,用標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式,因為容易確定其實(shí)部與虛部.若不然,則應(yīng)先化為代數(shù)形式后再依據(jù)概念求解.,【典例1】 已知復(fù)數(shù)z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,則當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時,復(fù)數(shù)z是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?(4)零?(5)對應(yīng)點(diǎn)在第三象限? 分析 復(fù)數(shù)z=a+bi的分類取決于其實(shí)部a與虛部b的不同取值.,解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i, (1)當(dāng)m=-2或m=3時,z為實(shí)數(shù); (2)當(dāng)m-2且m3時,z為虛數(shù); (3)當(dāng)m=0時,z為純虛數(shù); (4)當(dāng)m=3時,z=0;,反思感悟 利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解,使復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的基本思想方法,也是化歸思想的重要表現(xiàn).,類型二 復(fù)數(shù)的相等 解題準(zhǔn)備:1.兩個復(fù)數(shù)z1=a+bi(a、bR),z2=c+di(c、dR),當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d時,z1=z2,特別地,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時,a+bi=0.即兩復(fù)數(shù)相等,其實(shí)部與實(shí)部虛部與虛部分別相等. 2.兩個實(shí)數(shù)可以比較大小,但是兩個復(fù)數(shù),如果不全是實(shí)數(shù),它們之間就不能比較大小,只能說相等或不相等. 3.復(fù)數(shù)相等的重要條件提供了將復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題解決的途徑.,【典例2】 設(shè)存在復(fù)數(shù)z同時滿足下列條件:(1)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限;(2)z +2iz=8+ai(aR).試求a的取值范圍.,解 設(shè)z=x+yi(x,yR),則 =x-yi. 由(1)知x0. 又 +2iz=8+ai(aR), 故(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai, 即(x2+y2-2y)+2xi=8+ai,y0,4(y-1)20, 36-a20,即a236,-6a6, 又2x=a,而x0,a0,故-6a0, a的取值范圍為-6,0).,反思感悟 (1)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別相等,利用這一性質(zhì)可以解決以下問題:解復(fù)數(shù)方程;方程有解時系數(shù)的值;求軌跡方程.(2)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法,其轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是復(fù)數(shù)相等的充要條件,基本思路是:設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,yR),由復(fù)數(shù)相等可以得到兩個實(shí)數(shù)等式所組成的方程組,從而可以確定兩個獨(dú)立的基本量.,類型三 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算 解題準(zhǔn)備:(1)復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算,在轉(zhuǎn)化時常用的知識有復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則,模的性質(zhì),共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).,(2)一些常用的結(jié)論 (1i)2=2i; i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i; i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,其中nN*. 若= ,則2= 3=1,1+2=0.,分析 可用的性質(zhì)計算.,反思感悟 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項式的四則運(yùn)算,此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可,但要注意把i的冪寫成最簡單的形式,化簡的依據(jù)是i的周期性,即i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算,基本思路是直接用法則運(yùn)算,但有時如果能用上特殊復(fù)數(shù)i或的一些性質(zhì)以及一些常見的結(jié)論,如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i,-b+ai=i(a+bi),可更有效地簡化運(yùn)算,提高計算速度.,錯源一 對復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的理解不清致誤 【典例1】 當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時,復(fù)數(shù)2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是純虛數(shù)? 錯解 令2m2-5m-3=0, 解得:m=3或 所以當(dāng)m=3或m= 時,復(fù)數(shù)2m2-5m-3+(2m2-m-1)i為純虛數(shù).,剖析 錯解只考慮復(fù)數(shù)的實(shí)部,而沒有顧及虛部,純虛數(shù)的定義要求復(fù)數(shù)的實(shí)部為零而虛部不為零.本例中,當(dāng) 時,2m2-m-1=0,不滿足純虛數(shù)的條件. 正解 由上述分析知,m=3時,滿足上述要求.,錯源二 盲目套用實(shí)數(shù)集上的性質(zhì)致誤 【典例2】 若x=sin15cos15,求(-i)4x的值. 錯解 (-i)4x=(-i)4x=1x=1. 剖析 錯解中沒有根據(jù)地將實(shí)數(shù)中底數(shù)是正數(shù)時的冪指數(shù)運(yùn)算法則(am)n=amn搬到復(fù)數(shù)中去. 正解 因為x=sin15cos15,所以4x=2sin30=1. 所以(-i)4x=(-i)1=-i.,技法一 函數(shù)思想 【典例1】 已知復(fù)數(shù)z1=cos-i,z2=sin+i,求|z1z2|的最大值和最小值. 解題切入點(diǎn) 本題可以轉(zhuǎn)化成利用三角函數(shù)求最值問題.,技法二 數(shù)形結(jié)合思想 【典例2】 如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值為( ),解析 從復(fù)數(shù)的幾何意義分析:|z+i|+|z-i|=2,表示一條線段,線段端點(diǎn)分別為-i,i所對應(yīng)的點(diǎn),而|z+i+1|表示z與-1-i所對應(yīng)兩點(diǎn)間的距離,問題轉(zhuǎn)化為求這個距離的最小值.,構(gòu)圖,如圖所示,|z+i|+|z-i|=2表示z所對應(yīng)的點(diǎn)P在以A(0,-1),B(0,1)為端點(diǎn)的線段上, |z+i