2018版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版.doc

第一章 解三角形1正弦定理和余弦定理的證明方法的探究正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它們的證明方法比較多，除了教材上介紹的向量法外，還可以采用下面的方法1幾何法證明正弦定理設(shè)BD為ABC外接圓O的直徑，則BD2R，下面按A為直角、銳角、鈍角三種情況加以證明(1)若A為直角，如圖，則BC經(jīng)過圓心O，BC為圓O的直徑，BC2R，BC2R.(2)若A為銳角，如圖，連接CD，則BACBDC，在RtBCD中，BD2R，2R.即2R.(3)若A為鈍角，如圖，連結(jié)CD，則BACCDB，sinBACsinCDB，在RtBCD中，BD2R，又，2R，即2R.可證得：2R.同理可證：2R，2R.不論ABC是銳角三角形，直角三角形，還是鈍角三角形，都有2R(其中R為ABC的外接圓的半徑)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，并且都等于其外接圓的直徑2坐標(biāo)法證明余弦定理如圖所示，以ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，這時(shí)頂點(diǎn)B可作角A終邊的一個(gè)點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離rc.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，由三角函數(shù)的定義可得：xccos A，ycsin A，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(ccos A，csin A)，又點(diǎn)C的坐標(biāo)是(b,0)由兩點(diǎn)間的距離公式，可得：aBC.兩邊平方得：a2(bccos A)2(csin A)2b2c22bccos A.以ABC的頂點(diǎn)B或頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，同樣可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. 余弦定理的第二種形式是cos A，cos B，cos C.3向量法證明正弦、余弦定理如圖，在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別是a，b，c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(b,0)由三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)是(ccos A，csin A)所以(ccos Ab，csin A)現(xiàn)將平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，終點(diǎn)為點(diǎn)D，則，且|a，DAC180C.根據(jù)三角函數(shù)的定義，知點(diǎn)D的坐標(biāo)是(acos C，asin C)所以(acos C，asin C)因?yàn)?，所?acos C，asin C)(ccos Ab，csin A)所以由，得.同理可證.所以.由，得acos Cbccos A.兩邊平方，得a2cos2Cb22bccos Ac2cos2A.所以a2a2sin2Cb22bccos Ac2c2sin2A.而由，得a2sin2Cc2sin2A.所以a2b2c22bccos A.同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.2正弦定理的一個(gè)推論及應(yīng)用在初學(xué)正弦定理時(shí)，若問同學(xué)們這樣一個(gè)問題：在ABC中，若sin Asin B，則A與B的大小關(guān)系怎樣？那么近乎所有的同學(xué)都會(huì)認(rèn)為A與B的大小關(guān)系不確定若再問：在ABC中，若AB，則sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會(huì)有很多同學(xué)回答大小關(guān)系不確定鑒于此，下面我們講講這個(gè)問題一、結(jié)論在ABC中，sin Asin BAB.分析題中條件簡(jiǎn)單，不易入手但既在三角形中，何不嘗試用聯(lián)系邊角的正弦定理？證明因?yàn)閟in Asin B2Rsin A2Rsin B(其中R為ABC外接圓的半徑)，根據(jù)正弦定理變式a2Rsin A，b2Rsin B(其中a，b分別為A，B的對(duì)邊)，可得sin Asin Bab，再由平面幾何定理“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”，可得abAB.所以sin Asin BAB.二、結(jié)論的應(yīng)用例1在ABC中，A45，a4，b2，求B.分析在遇到這樣的問題時(shí)，有的同學(xué)一看，這不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B30或B150.其實(shí)這是錯(cuò)誤的！錯(cuò)在哪兒？我們只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)解由正弦定理得，sin B，又sin Bsin A，所以Bsin B，所以CB，所以C有兩解(1)當(dāng)C60時(shí)，有A90；(2)當(dāng)C120時(shí)，有A30.點(diǎn)評(píng)除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解.3細(xì)說三角形中解的個(gè)數(shù)解三角形時(shí)，處理“已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)比較棘手的問題下面對(duì)這一問題進(jìn)行深入探討一、出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下不妨設(shè)已知ABC的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：先做出已知角A，把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；以b邊的不是A點(diǎn)的另外一個(gè)端點(diǎn)為圓心，邊a為半徑作圓C；觀察圓C與邊c交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，便可得此三角形解的個(gè)數(shù)顯然，當(dāng)A為銳角時(shí)，有如圖所示的四種情況：當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，有如圖所示的兩種情況：根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個(gè)數(shù)的解若A為銳角，只有當(dāng)a不小于bsin A時(shí)才有解，隨著a的增大得到的解的個(gè)數(shù)也是不相同的當(dāng)A為鈍角時(shí)，只有當(dāng)a大于b時(shí)才有解二、解決問題的策略1正弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理，可得sin B.若sin B1，三角形無解；若sin B1，三角形有且只有一解；若0sin B1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對(duì)大角)，從而確定B的兩個(gè)解的取舍2余弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.適合上述一元二次方程的解c便為此三角形的解3公式法當(dāng)已知ABC的兩邊a，b和角A時(shí)，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷公式如下表：A90A90ababababsin Aabsin Aabsin A一解兩解一解無解一解無解三、實(shí)例分析例在ABC中，已知A45，a2，b(其中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c)，試判斷符合上述條件的ABC有多少個(gè)？分析此題為“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”解三角形的問題，可以利用上述方法來判斷ABC解的情況解方法一由正弦定理，可得sin Bsin 45b，所以AB，故B30，符合條件的ABC只有一個(gè)方法二由余弦定理得22c2()22ccos 45，即c22c20，解得c1.而1b，故符合條件的ABC只有一個(gè)4挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)由于我們對(duì)三角公式比較熟悉，做題時(shí)比較容易入手但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會(huì)出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根本原因是對(duì)題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r(shí)，題目中隱含條件的挖掘1兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍錯(cuò)解cba且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2k0.綜上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2kk4，k2，綜上所述，k的取值范圍為2k0，03.點(diǎn)撥忽略了三角形內(nèi)角和為180，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致取值范圍求錯(cuò)正解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A，AB4A180，0A45.cos A1，14cos2A13，13.溫馨點(diǎn)評(píng)解三角問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.5正弦、余弦定理的應(yīng)用有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?，就能利用兩定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例一、平面幾何中的長度問題例1如圖，在梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60，求梯形的高分析如圖，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，則DE為所求的高由BAD60，知ADC120，又邊CD與AC的長已知，故ACD為已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可解三角形解RtADE，需先求AD的長，這只需在ACD中應(yīng)用余弦定理即可解由BAD60，得ADC120，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC，即19AD242AD2，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEADsin 60.點(diǎn)評(píng)依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個(gè)妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)二、求范圍例2如圖，等腰ABC中，底邊BC1，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，求BD的取值范圍(注：0x1時(shí)，f(x)x為增函數(shù))分析把BD的長表示為ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域解設(shè)ABC.因?yàn)锳BCC，所以A1802，BDCAABD1802180，因?yàn)锽C1，在BCD中，由正弦定理得BD，因?yàn)?45，所以cos 1，而當(dāng)cos 增大時(shí)，BD減小，且當(dāng)cos 時(shí)，BD；當(dāng)cos 1時(shí)，BD，故BD的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)本題考查：(1)三角知識(shí)、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想三、判斷三角形的形狀例3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若k(kR)(1)判斷ABC的形狀；(2)若c，求k的值解(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，bcos Aacos B，方法一sin Bcos Asin Acos B，即sinAcos Bcos Asin B0，sin(AB)0，又AB，AB.ABC為等腰三角形方法二利用余弦定理將角化為邊，ba，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab.ABC為等腰三角形(2)由(1)知：ab.bccos Abck，c，k1.6管窺高考高考解答題一般先運(yùn)用三角恒等變換，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正弦、余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小例1在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的長；(2)求sin 2C的值分析本題主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因?yàn)锳BBC，所以C為銳角，則cos C .因此sin 2C2sin Ccos C2.例2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍分析(1)利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為sin Bsin(A)，再結(jié)合條件從而得證；(2)利用(1)中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將sin Asin C轉(zhuǎn)化為只與A有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解(1)證明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B為鈍角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因?yàn)?A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范圍是.例3在ABC