高中數(shù)學(xué) 第2章數(shù)列 2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)同步精品學(xué)案 新人教A版必修

1、2.3等差數(shù)列前n項(xiàng)和(二)對(duì)點(diǎn)講練一、已知前n項(xiàng)和Sn，求an例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n23n，求通項(xiàng)公式an.分析利用數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系an.解當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n5.又a11，適合an4n5，an4n5 (nN*)總結(jié)已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n1時(shí)，a1S1求得a1，再由n2時(shí)，anSnSn1求an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3nb，求an.解當(dāng)n1時(shí)，a1S13b.n2時(shí)，anSnSn123n1因此，當(dāng)b1時(shí)，a12適合an23n1，an23n1.當(dāng)b

2、1時(shí)，a13b不適合an23n1，an.綜上可知，當(dāng)b1時(shí)，an23n1；當(dāng)b1時(shí)，an.二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題例2在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值解方法一利用前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)由S17S9，得2517(171)d259(91)d，解得d2，所以Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.方法二先求出d2，因?yàn)閍1250，由得所以當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值S132513(2)169.因此Sn的最大值為169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a1

3、3a140.由方法一知d20，所以a130，a140，故當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值S132513(2)169.因此Sn的最大值為169.總結(jié)在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正(負(fù))值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值，則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小)由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解變式訓(xùn)練2等差數(shù)列an中，a10，S9S12，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？解方法一由S9S12，得da1，由，得，解得10n11.當(dāng)n為10或11時(shí)，Sn取最小值，該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小方法二由S9S12，得da1，由Snna1dn

4、2n，得Snn2n2a1 (a15時(shí)，an0；當(dāng)n5時(shí)，an0；當(dāng)n0.當(dāng)n5時(shí)，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tn2(9525)9nn2n29n40，當(dāng)n5時(shí)，Sn|a1|a2|an|a1a2anTn9nn2.Sn.課堂小結(jié)：1公式anSnSn1并非對(duì)所有的nN*都成立，而只對(duì)n2的正整數(shù)才成立由Sn求通項(xiàng)公式anf(n)時(shí)，要分n1和n2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示2求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意nN*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

5、性來(lái)確定n的值，更加直觀(2)通項(xiàng)法：當(dāng)a10，d0，時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a10，時(shí)，Sn取得最小值3求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列an的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且a28，a155，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則()AS9S10 BS9S10 CS11S10 DS11S10答案B解析由已知得d1，a19，a10a19d0，S10S9a10S9.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn29n，第k項(xiàng)滿足5ak8，則k為()A9 B8 C7 D6答案B解析由an，an2n10.由52k108，得：7.5kna1nan BSnnanna1Cna1Snnan D

6、nanSnna1 答案C解析由an，解得an54n.a15411，na1n，nan5n4n2，na1Snn(3n2n2)2n22n2n(n1)0.Snnan3n2n2(5n4n2)2n22n0.na1Snnan.5設(shè)an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()AdS5 DS6與S7均為Sn的最大值答案C解析由S50.又S6S7a70.由S7S8a80，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)0.二、填空題6數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2n(nN*)，則通項(xiàng)an_.答案2n27等差數(shù)列an中，|a3|a9|，公差d0，則使前n項(xiàng)和Sn取得最大值的自然數(shù)n是_答案

7、5或6解析d0，a9a2a50，a60,0a7a8.當(dāng)n5或6時(shí)，Sn取到最大值8在等差數(shù)列an中，已知前三項(xiàng)和為15，最后三項(xiàng)和為78，所有項(xiàng)和為155，則項(xiàng)數(shù)n_.答案10解析由已知，a1a2a315，anan1an278，兩式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)93，即a1an31.由Sn155，得n10.三、解答題9已知f(x)x22(n1)xn25n7(1)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an，求證：an為等差數(shù)列；(2)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成bn，求bn的前n項(xiàng)和(1)證明f(x)x(n1)23n8，an3n8，an1an3，an為等差數(shù)列(2)解bn|3n8|.當(dāng)1n2時(shí)，bn83n，b15.Sn.當(dāng)n3時(shí)，bn3n8，Sn5214(3n8)7.Sn10設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，