流體力學第二版蔡增基課件

1、2-1 流體靜壓強及其特征流體靜壓強及其特征2-2 流體靜壓強的分布規(guī)律流體靜壓強的分布規(guī)律2-3壓強的度量壓強的度量第二章第二章 流體靜力學流體靜力學2-4流體靜力學基本方程式的應用流體靜力學基本方程式的應用2-6作用于平面的液體壓力作用于平面的液體壓力2-7作用于曲面的液體壓力作用于曲面的液體壓力2-5流體的平衡微分方程流體的平衡微分方程2-8液體的相對平衡液體的相對平衡 流體靜力學著重研究流體在外力作用下處于靜止狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實際中的應用。 這里所指的靜止包括絕對靜止和相對靜止兩種。以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標系靜止時，稱流體處于絕對靜止狀態(tài)；當流體相對于非慣性參

2、考坐標系靜止時，稱流體處于相對靜止狀態(tài)。 流體處于絕對靜止或相對靜止狀態(tài)，兩者都表現不出黏性作用，即切向應力都等于零。所以，流體靜力學中所得的結論，無論對實際流體還是理想流體都是適用的。 2-1流體靜壓強及其特征流體靜壓強及其特征一、流體靜壓強的定義、流體靜壓強的定義 在流體內部或流體與固體壁面所存在的單位面積上的法向作用力稱為流體的壓強。當流體處于靜止狀態(tài)時，流體的壓強稱為流體靜壓強，用符號p表示，單位為Pa。 二、二、 流體靜壓強的基本特性流體靜壓強的基本特性 （1）流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的內法線方向。 這一特性可由反證法給予證明： 假設在靜止流體中，流體靜壓強方向不

3、與作用面相垂直，而與作用面的切線方向成角，如圖2-1所示。pnptp切向壓強靜壓強法向壓強圖2-1 那么靜壓強p可以分解成兩個分力即切向壓強pt和法向壓強pn。 由第一章可知，流體具有流動性，受任何微小切力作用都將連續(xù)變形，也就是說流體要流動。 這與我們假設是靜止流體相矛盾。流體要保持靜止狀態(tài)，不能有剪切力存在，而流體也不能承受拉力，唯一的作用力便是沿作用面內法線方向的壓力。 （2）靜止流體中任意一點流體壓強的大小與作用面的方向無關，即任一點上各方向的流體靜壓強都相同。 在靜止流體中圍繞任意一點A取一微元四面體的流體微團ABCD，設直角坐標原點與A重合。微元四面體正交的三個邊長分別為dx，dy

4、和dz，如圖所示。因為微元四面體處于靜止狀態(tài)，所以作用在其上的力平衡。zxydzdxdypzpypxpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上的流體靜壓強作用在BCD面上的靜壓強作用在ABD和上的靜壓強圖圖2 22 2 微元四面體受力分析微元四面體受力分析zxydzdxdy 設作用在ACD、 ABD、ABC和BCD四個面上的流體靜壓強分別為px、py、pz和pn，pn與x、y、z軸的夾角分別為、，則作用在各面上流體的總壓力分別為：zypPxxdd21zxpPydd21yyxzpzPdd21nApPdnn 除壓強外，還有作用在微元四面體微團上的質量力 。 設流體微團的平均密度為，而微元四面

5、體的體積為 dV=dxdydz/6 微元四面體流體微團的質量為dm=dxdydz/6。pzpypxpnzxydzdxdy 假定作用在流體上的單位質量力為 ，它在各坐標軸上的分量分別為fx、fy、fz，則作用在微元四面體上的總質量力在三個坐標軸上的分量為：f;ddd61yyzfyxWzzzfyxWddd61;ddd61xxzfyxWpzpypxpnzxydzdxdy 由于流體的微元四面體處于平衡狀態(tài)，故作用在其上的所有力在任意軸上投影的和等于零： 0 xP 0yP 0zP 在x軸方向力的平衡方程為：0cosxnxWPPpzpypxpnzxydzdxdy因為0ddd61cosddd21xnnxzf

6、yxApzypzyAndd21cosd0ddd61dd21dd21xnxzfyxzypzyp上式變成0d31xfppxnx兩邊除dydz由于xfxd3/1為無窮小，可以略去故得：nxpp同理可得nyppnzpp nzyxpppp所以代入數值得：pzpypxpnzxydzdxdy靜止的流體，點的位置不同，壓強可能不同； 點的位置一定，無論那個方向，壓強大小相同。pzpypxpnzxydzdxdynzyxpppp 2-2流體靜壓強的分布規(guī)律流體靜壓強的分布規(guī)律 在實際工程中，經常遇到并要研究的流體是質量力只有重力的液體。 一、壓強關系式一、壓強關系式 在靜止液體中任意取出一微小圓柱體，如圖所示。

7、微元流體在圖示力的作用下處于平衡狀態(tài)。 軸向方向滿足： P3P40cosPP12GdAp22P 其中dAp11P ldAgG0cos12ldAgdApdAp所以整理得012hgpphgp或hgpp12 或 靜止液體中任兩點的壓強差等于兩點間的深度差與密度、重力加速度的乘積。 二、流體靜壓強的基本方程式二、流體靜壓強的基本方程式 hp0 對于靜止液體密度為的液體，設液面的壓強為p0 ，如圖示。 深度為h處的壓強為：ghpp0 液體靜力學的基本方程式 由此可得到三個重要結論： (1)在重力作用下的靜止液體中，靜壓強隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強值成正比增大。 (2)在靜止液體中，任意

8、一點的靜壓強由兩部分組成： 一部分是自由液面上的壓強p0；另一部分是該點到自由液面的單位面積上的液柱重量gh。 (3)在靜止液體中，位于同一深度(h常數)的各點的靜壓強相等，即任一水平面都是等壓面，壓強的方向指向受力物體的內法向。ABC 等壓面適用條件：只適用于靜止、同種連續(xù)的液體。 對于不同密度的混合液體，在同一容器中處于靜止狀態(tài)，分界面既是水平面又是等壓面。液體靜力學基本方程式的另一種表達形式p0p1p2Z1Z2 在一盛有靜止液體的容器內，任取兩點1和2，點1和點2壓強各為p1和p2，位置坐標各為z1和z2 ，如圖示。Z0)(1001ZZgpp)(2002ZZgpp整理得：gpzgpz00

9、11gpzgpz0022C2211gpzgpz 為了進一步理解流體靜力學基本方程式，現在來討論流體靜力學基本方程的幾何意義 幾何意義幾何意義 由公式可以看出，在同一種靜止液體 中，任何一點的 都是一個常數。 Z是流體質點離基準面的高度，稱為位置水頭。 p/g也是長度單位，它的幾何意義 表示為單位重量流體的壓強水頭。 位置水頭和壓強水頭之和稱為靜水頭。gpZp0p1p2Z1Z2Z0C2211gpzgpz 2-3壓強的度量壓強的度量 一、壓強的兩種計算基準一、壓強的兩種計算基準 壓強計算基準：絕對壓強和相對壓強。 以完全真空時的絕對零壓強(p0)為基準來計量的壓強稱為絕對壓強，用p表示。 以當地大

10、氣壓強pa為基準來計量的壓強稱為相對壓強用 p表示。 絕對壓強與相對壓強、大氣壓強之間的關系： 因為p可以由壓強表直接測得，所以又稱計示壓強。appp 絕對壓強p不可能是負值，但相對壓強可正可負。當相對壓強為正時，稱為正壓，反之為負壓。負壓的絕對值稱為真空度，用符號pv表示。即pPaM點的絕對壓強為 p=pa+2gh2-1gh1 p1=p+1gh1 p2=pa+2gh2 M點的相對壓強為 p=2gh2-1gh1U U形管測壓形管測壓app p+1gh1+2gh2=paM點的絕對壓強為 p=pa-1gh1-2gh2 M點的真空度或負壓強為 pv=pa-p=1gh1+2gh2 三、三、U形管差壓計

11、形管差壓計 U形管差壓計用來測量兩個容器或同一容器流體中不同位置兩點的壓強差。測量時，把U形管兩端分別與兩個容器的測點A和B連接。U U形管差壓計形管差壓計若A、B為液體，A=B=1)()(1211hhgghppBA 若兩個容器內是同一氣體，由于氣體的密度很小，U形管內的氣柱重量可忽略不計，上式可簡化為ghppBA 四、傾斜微壓計四、傾斜微壓計 在測量氣體的小壓強和壓差時，為了提高測量精度，常采用微壓計。傾斜微壓計是由一個大截面的杯子連接一個可調節(jié)傾斜角度的細玻璃管構成，其中盛有密度為的液體。0ph1h2pasLA120傾斜微壓計傾斜微壓計)(21hhgppasinglppasin1hln傾斜

12、微壓計的放大倍數值越小，傾斜微壓計可使讀數更精確。 【例例2-2】如圖所示測量裝置，活塞直徑d=35，油的相對密度d油=0.92 ，水銀的相對密度dHg=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當活塞重為15時，h=700，試計算形管測壓計的液面高差h值。 【解解】重物使活塞單位面積上承受的壓強為 列等壓面的平衡方程 解得h為： 15590035. 041541522dphgghpHg油4 .1670. 06 .1392. 0806. 91360015590HgHghgph油 【例例2-3】用雙形管測壓計測量兩點的壓強差，如圖所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200 mm，h4=3

13、00mm，h5=500mm，1=1000/m3，2=800/m3，3=13598/m3，試確定和兩點的壓強差?！窘饨狻扛鶕葔好鏃l件，圖中11，22，33均為等壓面。 p1=pA+1gh1 p2=p1-3gh2 p3=p2+2gh3 p4=p3-3gh4 pB=p4-1g(h5-h4) 逐個將式子代入下一個式子，則 pB=pA+1gh1-3gh2+2gh3-3gh4-1g(h5-h4) pA-pB= 1g(h5-h4)+3gh4 +3gh2-2gh3-1g h1 =9.8061000（0.5-0.3） +1334000.3-78500.2 +1334000.25-9.80610000.6=67

14、876（Pa） 2-5流體平衡微分方程流體平衡微分方程 一、流體平衡微分方程式一、流體平衡微分方程式 在靜止流體中任取一邊長為 dx，dy和dz的微元平行六面體的流體微團，如圖所示。O(x,y,z)微元平行六面體微元平行六面體x x方向的受力分析方向的受力分析M(x-1/2dx,y,z)N(x+1/2dx,y,z)zyxxppddd21O(x,y,z)zyxxppddd21M(x-dx/2,y,z)N(x+dx/2,y,z)微元平行六面體微元平行六面體x x方向的受力分析方向的受力分析 設微元平行六面體中心點處的靜壓強為p，則作用在六個平面中心點上的靜壓強可按泰勒級數展開，例如：在垂直于X軸的

15、左平面中心點上的靜壓強為： 3332222d612d212dxxpxxpxxpp 略去二階以上無窮小量后，等于 同理右側面等于 因此，垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為： xxppd21xxppd21zyxxppddd21zyxxppddd21zxyppdddy21zxyyppddd21 同理，可得到垂直于y軸的下、上兩個微元面上的總壓力分別為： 作用在流體微團上的外力除靜壓強外，還有質量力。若流體微團的平均密度為，則質量力沿三個坐標軸的分量為 處于靜止狀態(tài)下的微元平行六面體的流體微團的平衡條件是：作用在其上的外力在三個坐標軸上的分力之和都等與零。例如，對于x軸，則為yxzppdddz

16、21yxzzppddd21zyxfFxxdddzyxfFzzdddzyxfFyyddd 垂直于軸的后、前兩個微元面上的總壓力分別為：0dddddd21ddd21zyxfzyxxppzyxxppx0ddddddzyxfzyxxpxzyxxppddd21O(x,y,z)zyxxppddd21M(x-dx/2,y,z)N(x+dx/2,y,z)微元平行六面體微元平行六面體x x方向的受力分析方向的受力分析 整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質量dxdydz則得 同理得 這就是流體平衡微分方程式，是在1755年由歐拉首先推導出來的，所以又稱歐拉平衡微分方程式。此方程的物理意義是：在靜止流體中，單

17、位體積質量力在某一坐標軸上的投影與壓強沿該軸的遞增率相平衡。0 xpfx0ypfy0zpfz 把式兩邊分別乘以dx，dy，dz，然后相加，得 流體靜壓強是空間坐標的連續(xù)函數，即 ，它的全微分為 所以 zzpyypxxpzfyfxfzyxddd)ddd(),(zyxppzzpyypxxppdddd)ddd(dzfyfxfpzyx 此式稱為壓強差公式。 它表明：在靜止流體中，空間點的坐標增量為dx、dy、dz時，相應的流體靜壓強增加dp，壓強的增量取決于質量力。歐拉 萊昂哈德歐拉（1707年4月5日1783年9月18日）是瑞士數學家和物理學家。他被一些數學史學者稱為歷史上最偉大的兩位數學家之一 。

18、是一位數學神童，他寫作最難的數學作品時也令人難以置信的輕松 。他是剛體力學和流體力學的奠基者 。 許多工程設備，在設計時不僅要掌握靜止流體壓強分布規(guī)律，還需要確定靜止液體作用在其表面上的總壓力的大小、方向和位置。例如閘門、水箱、壓力容器的設備。結構物表面可以是平面或曲面，我們先來看作用于平面上的液體靜壓力。 由于靜止液體中不存在切向應力，所以全部力都垂直于淹沒物體的表面。 假設有一塊任意形狀的平面MN與水平成角放置在靜止液體中，如圖所示，右邊是平面MN在垂直面上的投影圖。 2-6作用于平面的液體壓力作用于平面的液體壓力 靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力靜止液體中傾斜平面上液體的總壓力 yxy

19、一、總壓力的大小一、總壓力的大小 假設h為傾斜平面上任一點到自由液面的深度。 在深度h內選取一微元面積dA，y為相應的在OY軸上的距離。壓強p=gh。微元面積上的力 dP=pdA=ghdA 而h=ysin dP=gysindA dAdPdP h h h 上式中沒有考慮大氣壓強的作用，因為平面的四周都受有大氣壓強的作用，互相抵消，該式為僅由液體產生的總壓力。 積分上式，即可得靜止液體作用在整個淹沒平面上的總壓力為 式中 是整個淹沒平面面積A對OX軸的面積矩，yc為平面A的形心C到OX軸的距離。 AcAygAygPsindsinAAydhchydPyxycdA 如果用hc表示形心的垂直深度，稱為形

20、心淹深，那么 則 P=ghcAsinccyhC 因此靜止液體作用在任一淹沒平面上的總壓力等于液體的密度、重力加速度、平面面積和形心淹深的乘積。 如果保持平面形心的淹深不變，改變平面的傾斜角度，則靜止液體作用在該平面的總壓力值不變，即靜止液體作用于淹沒平面上的總壓力與平面的傾斜角度無關。 作用在靜止液體中任一淹沒平面上液體的總壓力也相當于以平面面積為底，平面形心淹深為高的柱體的液重。P=ghcA 二、總壓力的作用點 淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點，即總壓力作用線與平面的交點，稱為壓力中心。由合力矩定理可知，總壓力對OX軸之矩等于各微元面積上的總壓力對OX軸之矩的代數和。作用在微元面積上的壓

21、力 AgyPdsindAygPydsind2xApIgAygPysindsin2hchhpPyypdPyxycdA對OX軸的力矩為 如果用yp表示OY軸上點O到壓力中心的距離，則按合力矩定理有 式中 為平面面積對OX的慣性矩。 上式除以P得 根據慣性矩的平行移軸公式 式中ICX是面積對于通過它形心且平行于OX軸的慣性矩。 因此 從方程式可以看到，壓力中心的位置與角無關，即平面面積可以繞與OX軸平行且通過壓力中心的軸旋轉。由方程還可看到，壓力中心總是在形心下方。AxAyId2AyIAygIgycxcxpsinsincxcxIAyI2AyIyAyIAyyccxcccxcp2 上述計算公式和方法同樣

22、適用于靜止液體作用在水平面上的總壓力問題。 下面介紹靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面壓強是均勻分布的，那么僅有液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力： P=ghAP=ghA 總壓力的作用點是水平面面積的形心?？梢姡瑑H由液體產生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關。靜水奇象靜水奇象 圖中四個容器裝有同一種液體，液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關，與容器所盛液體的重量無關，這一現象稱為靜水奇象。 【例例2-4】 如圖所示一個兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈水總壓力及其作用點的

23、位置。P1P2P 【解解】 淹沒在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2 每米寬水閘左邊的總壓力為 由式確定的作用點P1位置 )(19612 298062121 221NghAyIyycccp1 其中通過形心軸的慣性矩IC=bh13/12，所以 P1的作用點位置在離底h/3=2/3m處。P1P2P12111hhgAghPc 淹沒在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。 每米寬水閘右邊的總壓力為 同理P2作用點的位置在離底h2/3=4/3m處。 每米寬水閘上所承受的凈總壓力為 P=P2-P1=78448-19612=58836（） 假設凈總壓力的作用點離底的距離為h

24、，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應該平衡，即784484980621212222ghP331122hPhPPh56. 158836321961247844831122PhPhPh 由于靜止液體作用在曲面上各點的壓強方向都是法線方向，法線方向彼此不平行，也不一定相交于一點。一般把靜水總壓力沿水平方向和鉛直方向分解，再進行計算。主要研究工程中常見的是圓柱體曲面，如鍋爐汽包、油罐和弧形閥門等。 2-7作用于曲面的液體壓力作用于曲面的液體壓力一、總壓力的大小和方向一、總壓力的大小和方向CDBAzHhdPdPxdPzds作用在圓柱體曲面上的總壓力作用在圓柱體曲面上的總壓力 如圖所示為一圓柱形

25、開口容器中某一部分曲面AB上承受液體靜止壓強的情況。設曲面的寬度為b，在A處取一微小弧段ds，則作用在寬度為b、長度為ds的弧面dA上僅由液體 產 生 的 總 壓 力 為AghsghbPddddAzdAx 這一總壓力在OX軸與OZ軸方向的分力為： 1 1水平分力水平分力 由圖可知， ，代入上式，則 因此，靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OX軸方向的分力，即水平分力為 式中 為曲面面積在平行于Z軸上的投影面積AX對OY軸的面積矩，它等于投影面積的形心到OY軸的距離與投影面積的乘積，即 。cosdcosddAghPPxsindsinddAghPPzzAAdcosdzddAghPxzdAghAhg

26、PcAzxAAhzdAzczAhAhddAzdAx 2 2垂直分力垂直分力 因此靜止液體作用在曲面AB上的總壓力在OZ軸方向的分力，即垂直分力為 xzAghPddpAxzgVAhgPd 由此可知，靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于壓力體的液體重量，PZ的作用線通過壓力體的重心。 3 3總壓力的大小和方向總壓力的大小和方向 求得了靜止液體作用在曲面上水平分力Px和垂直分力Pz后，就可確定靜止液體作用在曲面上的總壓力，即 總壓力與垂線間夾角的正切為 22zxPPPzxFFtgdAzdAx 二、總壓力的作用點二、總壓力的作用點 總壓力作用線與曲面的交點就是總壓力在曲面上的作用點，即壓力中心。

27、 三、壓力體的概念圖三、壓力體的概念圖 壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。作用在曲面上的垂直分力的大小等于壓力體內液體的重量，并且與壓力體內是否充滿液體無關。曲面ab的壓力體是過曲面的a和b兩點引垂線到液面所得ab cd與容器的寬度構成的。ddccFzFz壓力體壓力體 (2)水平分力的計算， 。 (3)確定壓力體的體積。 (4)垂直分力的計算， 。 (5)總壓力的計算， 。 (6)總壓力方向的確定， 。 (7)作用點的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點。zcxAghFpzgVF22zxFFFzxFF /tg四、靜止液體作用在曲

28、面上的總壓力的計算步驟四、靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算步驟 (1)將總壓力分解為水平分力Fx和垂直分力Fz。 【例例2-5】 如圖所示為一水箱，左端為一半球形端蓋，右端為一平板端蓋。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，試求兩端蓋所受的總壓力及方向。 h【解解】 （1）右端蓋是一圓平面，面積為 A右=R2 其上作用的總壓力有 F右=g(h+R)A右=g(h+R) R2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152=520 （N） 方向水平向右 （2）左端蓋是一半球面，分解為水平方向分力Fx左和垂直方向 分力Fz左 Fx左=g(h+R)Ax=g(h+R) R

29、2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152 =520 （N）h方向水平向左 AB部分壓力體為ABCDEOA，即圖中左斜線部分，記為VABCDEOA，它為實壓力體，方向向下； BE部分壓力體為BCDEB，即圖中右斜線部分，記為VBCDEB ，它為虛壓力體，方向向上。因此總壓力體為它們的代數和。 Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA 垂直方向分力由壓力體來求，將半球面分成AB、BE兩部分， Vp正好為半球的體積，所以 Vp=1/2 4/3 R3 Fz左=g Vp= g2/3R3= 1039.8062/3 3.140.153=69.3(N) 方向垂直向下 總作用

30、力為 （N） 合力與水平方向夾角為7 .5243 .695202222左左zxFFF13. 05203 .69tg五、浮力的原理五、浮力的原理 如圖所示，有一物體沉沒在靜止的液體中，它受到的靜水總壓力P可以分解成水平分力px和垂直分力pz。 BCDFPx2Px1 先確定水平分力。對于浸沒于液體中的物體，可以找到一封閉曲線BCFD，該曲線將物體分成左右兩部分，作用于物體上沿著x方向的水平力為分力Px1與Px2之和，它們的大小各為 相應曲面在垂直于軸的垂直投影面上的水壓力。而這兩部分在此垂直面上的投影面完全重合，故Px1與Px2大小相等，方向相反，因此Px=0 Pz1ABCDEFPz Pz2 再確

31、定垂直分力。 作封閉曲線ACED，將物體分成上下兩部分。液體作用在上部分表面上的總壓力的垂直分力Pz1等于壓力體ABEKJ的液體重量，方向垂直向下，即 Pz1= gVABEKJ kJ 液體作用在下部分表面上的總壓力的垂直分力Pz2等于壓力體AFEKJ的液體重量，方向垂直向上，即 Pz2=-gVAFEKJ 液體作用于整個物體上的總壓力的垂直分力Pz是上下 兩部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即 Pz=Pz1+Pz2=-g(VAFEKJ-VABEKJ)=-gVAFEB 負號表示方向向上。 上面的分析結果同樣適用于漂浮在液面上的物體。此 時，壓力體的形狀應為物體在自由液面以下部分的外表面 與自由液面的延展面所包圍的空間的形狀，體積仍然為物 體所排開的液體體積。 綜上所述，液體作用在沉沒或漂浮物體上的總壓力的 方向垂直向上，大小等于物體所排開液體的重量，該力又 稱為浮力，這