高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 6 正態(tài)分布素材 北師大版選修2-3（通用）

1、6 正態(tài)分布自主整理1.離散型隨機(jī)變量的取值是可以_的,但在實(shí)際應(yīng)用中,還有許多隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間中的一切值,是不可以一一列舉的,這種隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.2.如果一個(gè)隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間中的一切值,那么在取出的樣本中,樣本容量越大,所分組數(shù)越多,各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率,設(shè)想樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線,這條曲線稱為隨機(jī)變量X的_.這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱為X的_,記為_.3.如果知道了X的分布密度曲線,則X取值于任何范圍(例如aXb)的概率,都可以通過計(jì)算該曲線下相應(yīng)的_而得到,因此,我們說X的分布密度函數(shù)

2、f(x)完全描述了X的規(guī)律.計(jì)算面積的方法,實(shí)際上是計(jì)算分布密度函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間上的_.4.正態(tài)分布是現(xiàn)實(shí)中最常見的分布,它有兩個(gè)重要的參數(shù):_和_(0),通常用_表示X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布.當(dāng)和給定后,就是一個(gè)具體的正態(tài)分布.當(dāng)n很大時(shí),二項(xiàng)分布也可以用_分布來近似描述.5.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則它在區(qū)間(-2,+2)外取值的概率只有_,而在區(qū)間(-3,+3)外取值的概率只有_,由于這些概率值很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說,通常認(rèn)為這些情況在一次試驗(yàn)中_.高手筆記1.為總體的均值(或期望),即EX=.2(0)為總體的方差,為總體的標(biāo)準(zhǔn)差,即DX=2,=.2.正態(tài)分

3、布的性質(zhì)(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對(duì)稱.(3)曲線在x=處達(dá)到峰值.(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當(dāng)一定時(shí),曲線隨著的變化而沿x軸平移.(6)當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定:越小,曲線起“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.(7)若XN(,2),則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a0,概率P(-ax+a)=(x)dx. 3.正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(-X+)=68.3%P(-2X+2)=95.4%P(-3X+3)=99.7%名師解惑1.正態(tài)分布的題型及求解策略剖析：(1)借助正態(tài)分布密度曲線的圖象及性質(zhì)解題.結(jié)合

4、實(shí)例、圖象,理解正態(tài)曲線的性質(zhì),并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)去解決簡單的問題,要特別注意正態(tài)曲線的對(duì)稱性,以及當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀與大小的關(guān)系.(2)對(duì)于有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算問題,要記住當(dāng)正態(tài)總體取值在區(qū)間(-,+),(-2,+2),(-3,+3)內(nèi)的概率值,將所給問題轉(zhuǎn)化到上述區(qū)間內(nèi)解決,同時(shí)要注意對(duì)稱性的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.質(zhì)量控制的基本思想3原則剖析：一般認(rèn)為凡服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X取(-3,+3)之間的概率為0.997,所以只有0.003的概率在區(qū)間之外,稱這樣的事件為小概率事件,所以,在一個(gè)總量比較大的總體中取一件,一定落在區(qū)間(-3,+3)內(nèi),所以用這樣的方法來檢驗(yàn)總體是否合格.講練互動(dòng)

5、【例1】某班有48名同學(xué),一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,問從理論上講成績?cè)?0分到90分之間的有多少人?分析：要求成績?cè)?0分到90分之間的人數(shù),需先求出分?jǐn)?shù)落在這個(gè)范圍內(nèi)的概率,然后乘以總?cè)藬?shù)即可.解:設(shè)X表示這個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,則XN(80,102),成績?cè)?0分到90分之間的學(xué)生的比例為P(80-10x80+10)= 0.683=0.341 5,所以,成績?cè)?0分到90分之間的人數(shù)為480.341 516(人).綠色通道:記住相關(guān)數(shù)據(jù):P(-x+)=68.3%.變式訓(xùn)練1.某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績x服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)曲線如下圖.成績x位于區(qū)間(52,68

6、的概率是多少?分析：這是道典型的由圖形求函數(shù),由函數(shù)求概率的題目,我們發(fā)現(xiàn)xN(,2),其中=60,f(x)=,=8.而區(qū)間(52,68關(guān)于x=對(duì)稱,P(52x68)=P(60-8x60+8)=P(-x+)=0.682 6.解:x服從正態(tài)分布,設(shè)其密度函數(shù)f(x)=由圖形知=60,頂點(diǎn)為(60, ),=8.設(shè)x位于區(qū)間(52,68上的概率為P(52x68)=P(60-8x60+8)=P(-x+)=0.683.【例2】設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)XN(110,202),已知滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).分析：要求

7、及格的人數(shù),先要求出P(90X150),而求此概率需將問題轉(zhuǎn)化為正態(tài)變量幾種特殊值的概率形式,然后利用對(duì)稱性求解.解:XN(110,202),=110,=20.P(110-20X110+20)=0.683.X130的概率為(1-0.683)=0.158 5,X90的概率為0.683+0.158 5=0.841 5.及格的人數(shù)為540.841 345(人),130分以上的人數(shù)為540.158 59(人).綠色通道:本題是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性結(jié)合三個(gè)特殊概率值求概率,要學(xué)會(huì)應(yīng)用這種方法.變式訓(xùn)練2.公共汽車車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在0.15%以下設(shè)計(jì)的.如果某地區(qū)成年男子的

8、身高XN(175,36)(單位：cm),則該地區(qū)公共汽車車門高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少?解：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為x cm,則根據(jù)題意便有P(Xx)0.15%.因?yàn)閄N(175,36),所以=175,=6,P(Xx)=1-P(Xx)0.15%21-P(Xx)0.3%.由圖可知P(175-(x-175)Xx)99.7%.因?yàn)镻(-3X+3)=99.7%.所以x175+3=193,即該地區(qū)公共汽車車門高度至少應(yīng)設(shè)計(jì)為193 cm.【例3】某年級(jí)的一次信息技術(shù)測驗(yàn)成績近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:(1)成績不及格的人數(shù)占多少?(2)成績?cè)?090間的學(xué)生占多少

9、?分析：利用正態(tài)分布曲線作出草圖,結(jié)合特殊值求解.解:(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,XN(70,102),則=70,=10,P(70-10X70+10)=0.683,不及格的學(xué)生的比為(1-0.683)=0.158 5,即成績不及格的學(xué)生占15.85%.(2)成績?cè)?090間的學(xué)生的比為P(50X90)-P(60X80)=(0.954-0.683)=0.135 5,即成績?cè)?090間的學(xué)生占13.55%.綠色通道:利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及P(-X+)=68.3%解決本題.變式訓(xùn)練3.設(shè)X服從N（0,1）,求下列各式的值.(1)P(X0);(2)P(X2).解:(1)P(X0)=P(X0).

10、P(X0)+P(X0)=1,P(X0)= .(2)P(-2X2)=P(-2X+2)=0.954.P(0X2)=P(-2X2)=0.477.P(X0)= ,P(X2)=P(X0)-P(0X2)=0.023.【例4】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的直徑，服從正態(tài)分布N(5,0.01)單位:cm.質(zhì)檢部從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中取出一件測量為4.63 cm,則這批產(chǎn)品是否合格?分析：本題是用3原則檢測產(chǎn)品的應(yīng)用.解:由于產(chǎn)品服從正態(tài)分布N(5,0.01),從大批產(chǎn)品中取一件必定落在區(qū)間（-3,+3）內(nèi)，即抽取一件的尺寸一定在區(qū)間(4.7,5.3)內(nèi),而4.63(4.7,5.3).小概率事件發(fā)生了,所以這批產(chǎn)品不符合規(guī)格.綠色通道:本題反映了質(zhì)量控制的基本思想及3原則,若隨機(jī)變量XN(,2),則X在（-3,+3）外取值的概率只有0.3%,通常認(rèn)為這種小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.變式訓(xùn)練4.某設(shè)備在正常運(yùn)行時(shí),產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布,其參數(shù)為=500 g,2=1.為了檢查設(shè)備運(yùn)行是否正常,質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品,測量其質(zhì)量.當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個(gè)產(chǎn)品,測得其質(zhì)量為504 g,他立即要求停止生產(chǎn)檢查設(shè)備.他的決定是否有道理呢?解:如果設(shè)備正常運(yùn)行,產(chǎn)品質(zhì)