高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.5 二項式定理 二項式系數(shù)的性質及應用素材 蘇教版選修2-3（通用）

1、二項式系數(shù)的性質及應用對于nN,(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+abn-1+bn. 右邊二項展開式中的(r=0,1,2,n)叫做二項式系數(shù),有如下性質：(1) 對稱性:在二項展開式中與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即=, =，r=0,1,2, ,n.(2) 增減性與最大值: 二項式系數(shù),當k時二項式系數(shù)是遞減的，若n為偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大，若n為奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù)，最大。(3)所有二項式系數(shù)的和為2n，即+=2n。(4)奇數(shù)項的系數(shù)和等于偶數(shù)項的系數(shù)和且等于2n-1，即+=+=2n-1.在解題時要注意二項式展開式中某項的系數(shù)不同于該項的二項式系數(shù)，下面

2、看其應用。一、 二項展開式的系數(shù)問題舉例1. 若(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+a2020x2020(xR),求(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ ( a0+a2020)=_（用數(shù)字作答）。分析:求系數(shù)和有關問題時，常采用賦值法。解:令x=0得a0=1，原式=2020a0+(a1+a2+a3+a2020)=2020a0+(a0+a1+a2+a3+a2020)，再令x=1得a0+a1+a2+a3+a2020=1，所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ ( a0+a2020)=2020.評注:對于二項式系數(shù)問題首先要熟記二項式系數(shù)的性質，其次要掌握賦值法，

3、賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段，在運用時要仔細觀察式子特點，尋找x賦何值時(-1，1，0或其它值)可使已知所得等式更接近所求。二、 求展開式中二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項問題舉例2.若(1+2x)n的展開式中二項式系數(shù)的和為256，求展開式中二項式系數(shù)最大的項與展開式中系數(shù)最大的項。分析:求二項式系數(shù)最大的項，必須先求指數(shù)n的值，而要求展開式中系數(shù)最大的項還需要確定r的值。解:(1)由題意知二項式系數(shù)的和為2n=256得n=8，故展開式中二項式系數(shù)最大的項為T5=C(2x)4=1120 x4,(2)若Tr+1項的系數(shù)最大則r=5或6,故展開式中系數(shù)最大的項為T6= C(2x)5=17

4、92 x5，T7= C(2x)6=1792 x6.評注:求二項式的展開式中二項式系數(shù)最大的項，由條件確定n之后，一般應用系數(shù)性質2，若求系數(shù)最大的項，一般是用比較法，記系數(shù)分別為Pr，Pr+1，Pr+2則有則Pr+1最大，求解出r.三、 求與等差數(shù)列有關的組合數(shù)的和舉例3 設a0，a1，a2，an成等差數(shù)列，求證: a0+ a1+ a2+ an=( a0+ an)2n-1.分析:由等差數(shù)列性質、組合數(shù)性質結合數(shù)列求和的倒序相加法可證明該題。證明: 等差數(shù)列性質知:若m+n=p+q,則am+ an=ap+ aq,又=，Sn=a0+ a1+ a2+ an, Sn= an+ an-1+a1+a0.

5、2Sn=( a0+ an)+ ( a1+ an-1)+ ( a2+ an-2)+( an+ a0)= ( a0+ an)(+)=( a0+ an)2n, a0+ a1+ a2+ an=( a0+ an)2n-1.評注:此題證法與推導等差數(shù)列求和公式類似，此題可拆項求解: ak=( a0+kd)= a0+ nd,左邊= a0(+)+nd（+）= a02n+nd2n-1=2n-1(2a0+kd)= ( a0+ an)2n-1.四、 組合恒等式的證明舉例4 求證:（）2+（）2+（）2+（）2=。分析:觀察等式的特點=，想到構造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n.利用同一項系數(shù)相等進行證明

6、。證明:由(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+ xn) (+x+x2+ xn)。由于xn的系數(shù)是第一個因式中xr的系數(shù)與第二個因式中xn-r的系數(shù)乘積和。即+=（）2+（）2+（）2+（）2(=,r=0,1,2, ,n)而在(1+x)2n的展開式中xn的系數(shù)為=因此原恒等式成立。評注:對與組合數(shù)有關的等式的證明常構造等式，利用兩邊某一項的系數(shù)證明。在證明中，首先對等式認真觀察分析，充分利用展開式系數(shù)的特點，合理構造。五、 綜合運用舉例 已知函數(shù)f(x)=(1-x)2n(xR,nN+)(1)設集合M是以f(x)展開式中所有二項式系數(shù)為元素構成的一個集合，試求M中元素之和An(要求化簡結果)，(2)設F(x)= f(x)+f(-x),當x-1,1時，求F(x)的最大值。分析: (1)由集合元素的互異性和組合數(shù)性質易求解An；(2) 展開化簡放縮最后運用二項式系數(shù)求解。解析:由組合數(shù)性質=,及元素互異性知M=，記An=+,又+，即An+An-=4n.An=(4n+).(2) )F(x)=2(+x2+x4+x2n)2(+)=4n