自動(dòng)控制原理-第4章第二次課

自動(dòng)控制原理1

廣義根軌跡是指根軌跡參數(shù)除了根軌跡增益之外的所有根軌跡。(1)參數(shù)根軌跡，(2)開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的根軌跡，(3)具有正反饋內(nèi)環(huán)的零度根軌跡，等等。1.參數(shù)根軌跡

以非根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念4-3廣義根軌跡A為除K*外，系統(tǒng)任意變化的參數(shù)注意：等效意義在于特征方程相同，而此時(shí)閉環(huán)零點(diǎn)是不同的。等效開環(huán)傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2例設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)：等效后的閉環(huán)傳遞函數(shù)：繪制以a為參變量的根軌跡4-3廣義根軌跡自動(dòng)控制原理3例4.10系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)為參變量的廣義根軌跡。解：該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為

用除方程的兩端

其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為自動(dòng)控制原理4根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的規(guī)則，可以繪制以為參變量的根軌跡。

(1)開環(huán)零點(diǎn)

，開環(huán)極點(diǎn)

(2)實(shí)軸上根軌跡(-∞，-1]

由于該系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m=3，大于極點(diǎn)數(shù)n=2，所以在該根軌跡中將有一條從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處沿實(shí)軸終止于開環(huán)零點(diǎn)-1的根軌跡分支。(3)確定復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1，p2的出射角

自動(dòng)控制原理5(4)與虛軸交點(diǎn)采用勞斯表容易求得根軌跡與虛軸交點(diǎn)的jω和相應(yīng)的τ自動(dòng)控制原理6第四節(jié)系統(tǒng)性能的分析一、利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能

利用根軌跡求出系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)后，可以定性地分析或定量地估算系統(tǒng)的性能。

在S平面上最靠近虛軸而附近又無(wú)閉環(huán)零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響最大，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)

比主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部大5倍以上的其它閉環(huán)零、極點(diǎn)的影響可以忽略；甚至在近似計(jì)算中把比主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部大2—3倍的閉環(huán)零、極點(diǎn)也可略去。

在一般情況下，高階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)都以獲得衰減振蕩響應(yīng)過(guò)程為最滿意，因此，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，相應(yīng)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)也可由一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)所確定的二階系統(tǒng)參數(shù)近似估算。自動(dòng)控制原理7例4.12已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比近似求取系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。

解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫出零、極點(diǎn)形式

（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖

自動(dòng)控制原理8自動(dòng)控制原理9（2）根據(jù)阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1和s2的位置。

首先，在s平面上作出時(shí)的阻尼線，使其與實(shí)軸負(fù)方向的夾角

阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)為s1。從根軌跡圖上可得

利用根軌跡圖和幅值方程可求出其對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益根軌跡繪制法則8

，可以求出時(shí)閉環(huán)特征方程的的另一個(gè)根所以是一對(duì)共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)可以近似為二階系統(tǒng)。

自動(dòng)控制原理10由，得：所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為

于是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)近似為

采用MATLAB做仿真對(duì)比，原系統(tǒng)的在時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

自動(dòng)控制原理11MATLAB程序如下：%簡(jiǎn)化后閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線num1=0.436;den1=[10.660.436];step(num1,den1)holdon%原閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線num2=1.06;den2=[1321.06];step(num2,den2)legend('簡(jiǎn)化后系統(tǒng)','原系統(tǒng)')

自動(dòng)控制原理12二.

閉環(huán)偶極子4-4系統(tǒng)性能的分析一對(duì)相距很近的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)。

如果這對(duì)偶極子不十分靠近坐標(biāo)原點(diǎn)和其他極點(diǎn)，則它們對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響可以忽略不計(jì)。閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn)一對(duì)偶極子自動(dòng)控制原理134-4系統(tǒng)性能的分析如果偶極子十分接近原點(diǎn)，即因此，靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響必須考慮。偶極子的確定：閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的距離比它們到其他極點(diǎn)的距離及其自身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)構(gòu)成偶極子。自動(dòng)控制原理144-4系統(tǒng)性能的分析簡(jiǎn)化后錯(cuò)誤自動(dòng)控制原理15三、1.附加開環(huán)零點(diǎn)的作用4-3廣義根軌跡(1)附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

（a)（b)自動(dòng)控制原理164-3廣義根軌跡（c)（d)結(jié)論：只有當(dāng)附加零點(diǎn)相對(duì)原有系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的位置選配適當(dāng)，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能同時(shí)得到明顯的改善。自動(dòng)控制原理174-3廣義根軌跡三、2.附加開環(huán)極點(diǎn)的作用（a)（b)（c)

引入開環(huán)極點(diǎn)，可使根軌跡向右彎曲或移動(dòng)，它增加了系統(tǒng)的滯后，相當(dāng)于積分作用（在第五章會(huì)有更深入的分析）。在上例中，引入的開環(huán)極點(diǎn)越接近原點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性被破壞的程度越大，甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定。

自動(dòng)控制原理18四、附加開環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響

如果系統(tǒng)引入一對(duì)相距很近的開環(huán)零、極點(diǎn)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))，且它們之間的距離比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，則這一對(duì)開環(huán)零、極點(diǎn)稱為開環(huán)偶極子。

這對(duì)接近原點(diǎn)的開環(huán)偶極子可以改變開環(huán)增益的大小。

自動(dòng)控制原理19

因此遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的開環(huán)偶極子對(duì)系統(tǒng)性能的影響可以忽略不計(jì)?？拷鴺?biāo)原點(diǎn)的開環(huán)偶極子不能忽略，它對(duì)根軌跡的作用可以概括為：（1）開環(huán)偶極子不影響稍遠(yuǎn)離開偶極子位置的根軌跡形狀。（2）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益，但可影響根軌跡上各點(diǎn)的開環(huán)增益。合理地配置偶極子中的開環(huán)零、極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。自動(dòng)控制原理20分離點(diǎn)d=-0.423分離點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為：3.系統(tǒng)性能的定性分析4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理21模值條件:如果沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn):自動(dòng)控制原理224-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理23Matlab命令：num=0.38den=[1320.38]step(num,den)4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理24Matlab命令：num=1den=[1320]r=rlocus(num,den，2)r=-2.5214-0.2393+0.8579i-0.2393-0.8579i4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理25Matlab命令：num=2den=[1322]step(num,den)4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理26Matlab命令：num=6den=[1326]step(num,den)4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理27Matlab命令：num=10den=[13210]step(num,den)4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理28閉環(huán)系統(tǒng)具有3個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，系統(tǒng)沒(méi)有振蕩的動(dòng)態(tài)分量，階躍響應(yīng)呈現(xiàn)過(guò)阻尼狀態(tài)。4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理294-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理30閉環(huán)系統(tǒng)具有1個(gè)實(shí)數(shù)根和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，它們均位于復(fù)平面左半部，系統(tǒng)有衰減振蕩的動(dòng)態(tài)分量，階躍響應(yīng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)。4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理314-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理32閉環(huán)系統(tǒng)具有復(fù)平面右半部的根，系統(tǒng)有發(fā)散的動(dòng)態(tài)分量，此時(shí)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理33（4）調(diào)節(jié)時(shí)間：主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值，如果是實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，附近沒(méi)有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，取決于該極點(diǎn)的模值。（1）穩(wěn)定性：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于左半S平面系統(tǒng)穩(wěn)定性與閉環(huán)極點(diǎn)有關(guān)，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)。（2）運(yùn)動(dòng)形式：閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)，時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；若閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)，時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的。（3）超調(diào)量：超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率并與其它閉環(huán)零、極點(diǎn)接近坐標(biāo)的程度有關(guān)。閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)位置對(duì)時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)的影響，歸納為：4-4系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理34（5）實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)影響：零點(diǎn)減小系統(tǒng)阻尼，使得峰值時(shí)間提前，超調(diào)量增大；實(shí)數(shù)極點(diǎn)增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間推遲，超調(diào)量減小。（6）偶極子及其處理。遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其他極點(diǎn)的偶極子