第12章 全等三角形全章復習與測試（教師版）-七升八數(shù)學暑假銜接（人教版）

第12章全等三角形全章復習與測試【知識梳理】一、全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形對應邊相等，對應角相等.全等三角形判定1——“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.全等三角形判定2——“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）全等三角形判定4——“邊邊邊”：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．二、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應相等SASAASASA兩角對應相等ASAAAS兩邊對應相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.三、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

要點詮釋：

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

四、角的平分線的逆定理角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點詮釋：

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

五、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【考點剖析】一．全等圖形（共3小題）1．（2023?東麗區(qū)一模）兩個全等圖形中可以不同的是（）A．位置 B．長度 C．角度 D．面積【分析】根據(jù)能夠互相重合的兩個圖形叫做全等圖形解答．【解答】解：兩個全等圖形中對應邊的長度，對應角的角度，圖形的面積相等，可以不同的是位置．故選：A．【點評】本題考查了全等圖形，熟記全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?永春縣期末）如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．105° C．120° D．135°【分析】根據(jù)對稱性可得∠1+∠3＝90°，∠2＝45°．【解答】解：觀察圖形可知，∠1所在的三角形與∠3所在的三角形全等，∴∠1+∠3＝90°，又∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故選：D．【點評】主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質(zhì)來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質(zhì)解題．3．（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）下列四個圖形中，屬于全等圖形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．【解答】解：①、②、③和④可以完全重合的，因此全等的圖形是①和②③④．故選：D．【點評】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．二．全等三角形的性質(zhì)（共3小題）4．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，則∠C的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)全等三角形的對應角相等得到∠DBE＝∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠ABC＝80°，∵∠D＝65°，∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°，故選：D．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?梅里斯區(qū)期末）已知圖中的兩個三角形全等，則∠α的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．58° D．50°【分析】要根據(jù)已知的對應邊去找對應角，并運用“全等三角形對應角相等”即可得答案．【解答】解：∵圖中的兩個三角形全等，∴a與a，c與c分別是對應邊，那么它們的夾角就是對應角，∴∠α＝72°．故選：A．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的對應角相等是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?豐澤區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長為12．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出BC，CD的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝CE＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝5+7＝12．故答案為：12．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．三．全等三角形的判定（共4小題）7．（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，點P是AB上任一點，∠ABC＝∠ABD，從下列各條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是（）A．BC＝BD B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．∠CAB＝∠DAB【分析】根據(jù)題意，∠ABC＝∠ABD，AB是公共邊，結(jié)合選項，逐個驗證得出正確結(jié)果．【解答】解：A、補充BC＝BD，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項錯誤；B、補充∠ACB＝∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項錯誤．C、補充AC＝AD，不能推出△APC≌△APD，故此選項正確；D、補充∠CAB＝∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能證明三角形全等的，做題時要逐個驗證，排除錯誤的選項．8．（2023春?普陀區(qū)期末）如圖1，已知在△ABC和△BAD中，BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，能直接判定△ABC≌△BAD的依據(jù)是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【分析】因為BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，即可由SAS判定△ABC≌△BAD．【解答】解：∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴由SAS能直接判定△ABC≌△BAD．故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．9．（2023?牡丹江）如圖，AB∥CD，AD與BC交于點O，請?zhí)砑右粋€條件AB＝DC（答案不唯一），使△AOB≌△DOC．（只填一種情況即可）【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，∠B＝∠C，因此添加條件AB＝DC，使△AOB≌△DOC（ASA）．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴添加一個條件AB＝DC，由ASA即可證明△AOB≌△DOC．故答案為：AB＝DC（答案不唯一）．【點評】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．10．（2023春?山亭區(qū)期中）如圖，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，要使△ABC≌△FED，可以添加的條件是AB＝EF（答案不唯一）．（寫出一個即可）【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：SAS或ASA或AAS，即可推出要添加的條件．【解答】解：∵AD＝FC，∠A＝∠F，∴AD+CD＝CD+CF，即AC＝DF，在△ABC和△FED中，已有一邊一角相等，只需要添加一邊或一角，當添加一邊時，根據(jù)SAS判定，必是AB＝EF；當添加一角時，根據(jù)ASA或AAS判定，可以是∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE等，故答案為：AB＝EF（答案不唯一）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定定理，關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判定定理．四．直角三角形全等的判定（共3小題）11．（2023春?畢節(jié)市期末）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，請你添加一個條件AB＝AD（答案不唯一），利用“HL”，證明Rt△ABC≌Rt△ADC．【分析】添加AB＝AD（答案不唯一），根據(jù)HL可證明．【解答】解：添加AB＝AD（答案不唯一），理由如下：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．【點評】本題考查了直角三角形的全等的判定，熟練掌握“HL”是解題的關(guān)鍵．12．（2023?永定區(qū)一模）如圖，CD⊥AB于點D，EF⊥AB于點F，CD＝EF．要根據(jù)HL證明Rt△ACD≌Rt△BEF，則還需要添加的條件是（）A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法進行判斷．【解答】解：∵CD⊥AB于點D，EF⊥AB于點F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴當添加AC＝BE時，根據(jù)“HL”判斷Rt△ACD≌Rt△BEF．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．13．（2022秋?交城縣期末）如圖，點E，F(xiàn)在線段AC上，AE＝CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根據(jù)“HL”證明Rt△ADF≌Rt△CBE，則還需添加的一個條件是（）A．AF＝CE B．∠A＝∠C C．AD＝CB D．AD∥BC【分析】已知AD⊥DF，CB⊥BE，得出∠D＝∠B＝90°，由AE＝CF，得出AF＝CE，再添加一組直角邊對應相等即可證明Rt△ADF≌Rt△CBE，據(jù)此即可求解．【解答】解：∵AD⊥DF，CB⊥BE，∴∠D＝∠B＝90°∵AE＝CF，∴AE+EF＝CE+EF，即AF＝CE，添加AD＝BC，在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），故選：C．【點評】本題考查了HL證明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．五．全等三角形的判定與性質(zhì)（共7小題）14．（2023春?武侯區(qū)期末）如圖，在△ABC和△DEF中，點B，C，E，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，則∠F的度數(shù)為（）A．25° B．60° C．70° D．95°【分析】根據(jù)BE＝CF，可以得到BC＝EF，利用全等三角形的判定證圖中的兩個三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到∠F的度數(shù)．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；∴∠D＝∠A＝95°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝60°，故選：B．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．15．（2023?朝陽區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在BC邊上，且BD＝CE．求證：∠BAD＝∠CAE．?【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?寬甸縣期中）如圖，過點D作DB⊥AB于點B，DC⊥AC于點C，若BD＝DC，∠BAC＝120°，?則∠BAD的度數(shù)是60°．?【分析】從已知條件結(jié)合HL全等進行思考，可得∠BAD＝∠BAC，由此即可求得結(jié)果．【解答】解：∵DB⊥AB，DC⊥AC，且BD＝DC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°．故答案為：60．【點評】此題主要考查角平分線性質(zhì)的逆定理：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．題目簡單，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?長嶺縣三模）如圖，CA＝CB，點E、D分別是CA、CB的中點．求證：∠A＝∠B．【分析】由CE＝CA，CD＝CB，且CA＝CB，得CE＝CD，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ACD≌△BCE，得∠A＝∠B．【解答】證明：∵點E、D分別是CA、CB的中點，∴CE＝CA，CD＝CB，∵CA＝CB，∴CE＝CD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠B．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應邊和對應角并且證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，直線l上有三個正方形A，B，C，若B，C的面積分別為12和5，則A的面積為（）A．7 B．8 C．13 D．17【分析】先證明△PEF≌△FQG，得EF＝GQ，根據(jù)勾股定理得PE2+EF2＝PF2，則PE2+GQ2＝PF2，所以5+S正方形A＝12，即可求得S正方形A＝7，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖，∵直線l上有三個正方形A，B，C，∴∠PED＝∠PFQ＝∠QGH＝90°，PF＝FQ，∴∠PEF＝∠FGQ＝90°，∴∠PFE＝∠FQG＝90°﹣∠QFG，在△PEF和△FQG中，，∴△PEF≌△FQG（AAS），∴EF＝GQ，∵PE2+EF2＝PF2，∴PE2+GQ2＝PF2，∵S正方形B＝PF2＝12，S正方形C＝PE2＝5，S正方形A＝GQ2，∴5+S正方形A＝12，∴S正方形A＝7，故選：A．【點評】此題重點考查同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的面積公式等知識，選擇適當方法證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．19．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．【分析】（1）利用中點性質(zhì)可得BD＝CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE＝∠DCF，再由對頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023春?達川區(qū)期中）如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．【分析】（1）先由條件可以得出∠EAC＝∠BAE，再證明△EAC≌△BAF就可以得出結(jié)論；（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形對應邊上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；【解答】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對應邊上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，角平分線的判定定理、垂直的判定的運用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．六．全等三角形的應用（共4小題）21．（2023春?惠濟區(qū)期末）如圖，某公園有一個假山林立的池塘．A，B兩點分別位于這個池塘的兩端，為測量出池塘的寬AB，小明想出了這樣一個辦法：先在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD＝BC，再過點D作BF的垂線DE，交AC的延長線于點E．線段ED的長即為A，B兩點間的距離，此處判定三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】根據(jù)ASA可判定三角形全等．【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的應用，在測量長度或者角度問題中，如果不能直接到達，可以構(gòu)造全等三角形，利用對應邊（角）相等，來解決問題．22．（2023?柳州二模）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平長度DF相等，那么判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS【分析】先根據(jù)BC＝EF，AC＝DF判斷出Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】解：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，屬較簡單題目．23．（2023春?寶安區(qū)校級期中）如圖，測量一池塘的寬度．測量點B，F(xiàn)，C，E在直線l上，測量點A，D在直線l的異側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DEF．（2）若BE＝100，BF＝30，求CF的長．【分析】（1）利用得到∠ABC＝∠DEF，再結(jié)合已知條件利用“邊角邊”判定兩個三角形全等；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得到BC＝EF，再根據(jù)已知條件結(jié)合線段的和差計算即可．【解答】（1）證明：∵，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF＝EC，又∵BE＝100，BF＝30，∴CF＝BE﹣BF﹣EC＝100﹣30﹣30＝40．【點評】本題主要考查三角形全等的判定以及性質(zhì)的運用，熟練掌握全等的判定定理以及運用全等的性質(zhì)求解線段的長度是解決本題的關(guān)鍵．24．（2023春?蘭州期末）如圖，小剛站在河邊的點A處，在河對面（小剛的正北方向）的點B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了30步到達一棵樹C處，接著再向前走了30步到達D處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，從點D處開始計步，當小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時，他恰好走了80步，并且小剛一步大約0.5米．由此小剛估計出了在點A處時他與電線塔的距離，請問他的做法是否合理？若合理，請求出在點A處時他與電線塔的距離；若不合理，請說明理由．【分析】合理．理由：通過ASA證得△ABC≌△DEC（ASA），則其對應邊相等AB＝DE．結(jié)合速度×時間＝距離求得點A處時他與電線塔的距離即可．【解答】解：合理．理由如下：根據(jù)題意，得AC＝DC．在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA）．∴AB＝DE．又∵小剛走完DE用了80步，一步大約0.5米，∴AB＝DE＝80×0.5＝40（米）．答：小剛在點A處時他與電線塔的距離為40米．【點評】本題考查全等三角形的應用，在實際生活中，對于難以實地測量的線段，常常通過兩個全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．七．角平分線的性質(zhì)（共7小題）25．（2023春?惠濟區(qū)期末）甲、乙、丙、丁四位同學解決以下問題，其中作圖正確的是（）問題：某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，先要在道路AB邊上建一個休息點M，使它到AC和BC兩邊的距離相等，在圖中確定休息點M的位置．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點M為∠ACB的平分線與AB的交點，然后根據(jù)基本作圖進行判斷．【解答】解：∵M點到AC和BC兩邊的距離相等，∴點M為∠ACB的平分線與AB的交點，∴丙同學的作圖正確．故選：C．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．26．（2023春?即墨區(qū)期末）如圖，射線OC是∠AOB角平分線，D是OC射線上一點，DP⊥OA于點P，DP＝4，若點Q是射線OB上一點，OQ＝3，則△ODQ的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作DE⊥OB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝DP＝4，然后根據(jù)三角形面積公式計算S△ODQ．【解答】解：作DE⊥OB于E，如圖，∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故選：D．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．27．（2023春?龍川縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝6cm，∠CAD＝28°，求CD的長度及∠B的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD＝DE，∠BAD＝∠CAD＝28°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6cm，∠BAD＝∠CAD＝28°，∴∠BAC＝2∠CAD＝56°，∴∠B＝90°﹣∠CAD＝34°．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握角平分線的點到一個角的兩邊距離相等是解題關(guān)鍵．28．（2022秋?聊城期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC＝180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM＝90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；（2）作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM＝MN，MN＝CM，等量代換得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M為BC的中點．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O．（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；（2）連接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，則點O到三角形三條邊的距離是．【分析】（1）連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明結(jié)論；（2）延長AO交BC于D，先證明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性質(zhì)可求BD＝6，再兩次利用勾股定理可求解OA的長．【解答】（1）證明：過點O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分線l1、l2相交于點O，∴OD＝OF，OE＝OF．∴OD＝OE．∴點O在∠BAC的平分線上；（2）解：延長AO交BC于D，∵AB＝AC＝5，點O在∠BAC的平分線上，∴AO⊥BC，∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+OD，∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，∴OD＝，∴點O到三角形三條邊的距離是．故答案為：．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，能熟記等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．30．（2023春?普寧市校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點F是AC上的動點，求DF的最小值．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，再利用外角的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)垂線段最短得到當DF⊥AC時，DF最小，再利用角平分線的性質(zhì)求出DF＝DE＝5．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AD是△ABC的角平分線，∴，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；（2）∵點F是AC上的動點，∴當DF⊥AC時，DF最小，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝5．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本定理和知識．31．（2023?長清區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】直接利用基本作圖方法得出AE是∠CAB的平分線，進而結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出AC＝AD，再利用勾股定理得出AC的長．【解答】解：過點E作ED⊥AB于點D，由作圖方法可得出AE是∠CAB的平分線，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，設AC＝x，則AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的長為：6．故選：C．【點評】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確得出BD的長是解題關(guān)鍵．八．作圖—尺規(guī)作圖的定義（共1小題）32．（2022秋?河東區(qū)校級期末）如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】如圖，由作圖可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根據(jù)SSS證明△AOB≌△CEF．【解答】解：如圖，由作圖可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．在△AOB和△CEF中，，∴△AOB≌△CEF（SSS），故選：D．【點評】本題考查作圖﹣尺規(guī)作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩個銳角對應相等 B．斜邊和一直角邊分別對應相等C．兩條直角邊分別對應相等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應相等【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、，逐條排除即可．【詳解】解：A．兩銳角對應相等的兩個直角三角形，不能判定全等，故此選項符合題意；B．斜邊和一直角邊分別對應相等的兩個直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項不符合題意；C．兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項不符合題意；D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應相等，先根據(jù)，再用可判定全等，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，∠ABD=∠CBD，AB=CB，據(jù)此可以證明BAD≌BCD，依據(jù)是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．HL【答案】C【分析】依據(jù)圖形可得到BD=BD，然后依據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴．故選：C【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS、HL；注意：AAA，SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．3．如圖，△ABC≌△ADE，下列說法錯誤的是（）A．BC=DE B．AB⊥DE C．∠CAE=∠BAD D．∠B=∠D【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∠CAB=∠EAD，∠B=∠D，故選項A、D正確，不符合題意；∵∠CAB=∠EAD，∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，故選項C正確，不符合題意；不能證明AB⊥DE，故選項B錯誤，符合題意，故選：B．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關(guān)鍵．4．下列說法正確的是（

）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等B．相等的角都是對頂角C．兩個全等圖形的面積、周長都分別相等D．三角形的角平分線將三角形的面積分為相等的兩部分【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷A，再根據(jù)對頂角相等判斷B，然后根據(jù)全等圖形的性質(zhì)判斷C，最后根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)判斷D．【詳解】因為兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，所以A不正確；因為對頂角相等，但是相等的角不一定是對頂角，所以B不正確；因為兩個全等圖形的面積，周長分別相等，所以C正確；因為三角形的中線將三角形的面積分為相等的兩部分，所以D不正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的三線，全等圖形，相交線等知識，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，兩塊完全相同的含30°的直角三角板疊放在一起，且∠DAB＝30°，有以下四個結(jié)論，①AF⊥BC；②∠BOE＝135°；③O為BC中點；④AG：DE＝1：3，其中正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①③【答案】D【分析】①根據(jù)已知得出∠CAF＝30°，∠GAF＝60°，進而得出∠AFB的度數(shù)；②在四邊形ADOC中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可得出∠DOC的度數(shù)，繼而得出∠BOE的度數(shù)；③利用△AGO≌△AFO，得出AO＝CO＝AC，進而得出BO＝CO＝AO，即O為BC的中點；④利用假設DG＝x，∠DAG＝30°，得出AG＝x，GE＝3x，DE＝4x，進而得出答案．【詳解】解：∵兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，且∠DAB＝30°．∴∠GAF＝60°，∠CAF＝30°，∠C＝∠D＝60°，∴∠AFB=∠C+∠CAF＝90°，①AF⊥BC正確；由①可得∠C＝∠D＝60°，∠DAC＝120°，∵∠C+∠D+∠DAC+∠DOC=360°，∴∠DOC＝120°，∵∠DOC＝∠BOE，∴∠BOE＝120°，即②∠BOE＝135°錯誤；連接AO，∵兩塊完全相同的含30°的直角三角板疊放在一起，且∠DAB＝30°，∴AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴△ADG≌△ACF（AAS），∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴△AGO≌△AFO（SAS），∴∠OAF=∠OAG＝30°，∴∠OAC＝60°，∵∠C＝60°，∴AO＝CO＝AC，∵∠OAG=∠B＝30°，∴BO＝AO，∴BO＝CO，即可得③O為BC中點正確；假設DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝x，AD=2x，DE=4x，∴GE＝3x，故可得AG：DE＝：4，即④錯誤；綜上可得①③正確．故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合利用30度角的直角三角形的性質(zhì)進行解答．6．在和中①；②；③；④；⑤；⑥，則下列哪組條件不能保證≌（

）A．具備①②④ B．具備①②⑤C．具備①⑤⑥ D．具備①②③【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全等三角形的判定方法即可解答．【詳解】A、兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形不能保證全等，符合題意；B、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（“SAS”），不合題意；C、兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（“AAS”），不合題意；D、三邊對應相等的兩個三角形全等（“SSS”），不合題意；故選A．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定方法，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的判定方法．7．如圖，，，要使，還應給出的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】判定已經(jīng)具備的條件是，，再加上一角相等，就可以利用來判定三角形全等．【詳解】解：、，不能推出全等，故本選項錯誤；、不能構(gòu)成兩條邊和夾角，利用來證明，故本選項錯誤；、不是對應角相等，故本選項錯誤；、根據(jù)判定兩三角形全等，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定；解題的關(guān)鍵是判定三角形的全等首先要找出已經(jīng)具備哪些已知條件，即相等的邊或相等的角，根據(jù)三角形的判定方法判定缺少哪些條件．8．如圖所示，AM是△ABC的中線，那么若用S1表示△ABM的面積，用S2表示△ACM的面積，則S1和S2的大小關(guān)系是()A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．以上三種情況都有可能【答案】C【詳解】試題分析:由圖可得，AM是△ABC的中線，顯然，△ABM與△ACM有長度相等的邊，即BM=CM，又這兩邊上的高相等，即△ABC中BC邊上的高，所以，S1=S2.故選C.考點：三角形的中線.9．在中，已知，、分別是邊、上的點，且，，，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長AB到F使BF=AD，連接CF，如圖，先判斷△ADE為等邊三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接著證明AF=AC，從而可判斷△AFC為等邊三角形，則有CF=AC，∠F=60°，然后證明△ACD≌△FCB得到CB=CD，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算∠DCB的度數(shù)．【詳解】延長AB到F使BF=AD，連接CF，如圖，∵∠CAD=60°，∠AED=60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，∵∠CDB=2∠CDE，∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，∴∠CDB=2∠CDE=80°，∵BF=AD，∴BF=DE，∵DE+BD=CE，∴BF+BD=CE，即DF=CE，∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，∴AF=AC，而∠BAC=60°，∴△AFC為等邊三角形，∴CF=AC，∠F=60°，在△ACD和△FCB中，∴△ACD≌△FCB（SAS），∴CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=80°，∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．故選B．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于延長AB到F使BF=AD，構(gòu)建△FCB與△ACD全等．10．若等腰三角形的兩邊長分別是3、5，則第三邊長是（）A．3或5 B．5 C．3 D．4或6【答案】A【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】由題意得，當腰為3時，則第三邊也為腰，為3，此時3+3＞5．故以3，3，5可構(gòu)成三角形；當腰為5時，則第三邊也為腰，此時3+5＞5，故以3，5，5可構(gòu)成三角形．故第三邊長是3或5．故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在中，．以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，作射線交邊于點，若，的面積為，則線段的長為________．

【答案】5【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出為的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點到的距離，進而求出三角形的面積．【詳解】由作法得平分，如圖所示，過點D作于E，∵，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，的面積．∴，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應用．12．如圖，、是兩個等邊三角形，連接、．若，，，則________．【答案】BE=10【分析】連接AC，根據(jù)題意易證△ACD≌△BED(SAS)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=BE，再根據(jù)勾股定理求出AC的值即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接AC，∵、是兩個等邊三角形，∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD與△BDE中，∴△ACD≌△BED（SAS），∴AC=BE，∵，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∴AC=，∴BE=10，故答案為：10．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，孰練的掌握知識點是解題關(guān)鍵．13．如圖，，，，則的度數(shù)是______．

【答案】/20度【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，再利用等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴．故答案為：【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最長邊，在△ABC中，AB是最長邊，F(xiàn)A=1.1，AC=3.3,則AD=_________.【答案】2.2【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到DF=AC=3.3，再由AD=DF-AF即可得出答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=3.3，∴AD=DF-AF=3.3-1.1=2.2．故答案為2.2．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得出DF的長是解決此題的關(guān)鍵．15．如圖，點E為正方形ABCD外一點，且，連接AE，交BD于點F．若，則∠DCF的度數(shù)為_______．【答案】25°/25度【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和已知得：AD=DE，利用等腰三角形性質(zhì)計算∠DAE=25°，證明△ADF≌△CDF（SAS），可得∠DCF=∠DAF=25°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADB=∠BDC=45°，∵DC=DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=90°+40°=130°，∴∠DAE==25°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DCF=∠DAF=25°，故答案為：25°．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．16．如圖，在直角中，，，平分交于點，若，則的面積為__________．【答案】32【詳解】試題解析：如圖，過D點作DE⊥AB于點E，AD平分∠BAC交BC于點D，∴CD=DE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，∵CD=4，∴DE=4.故答案為32.點睛：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.三、解答題17．如圖，已知AB//CD，AB=CD，BF=CE．求證：AE//DF．【答案】見解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出BE=CF，進而利用SAS證明△ABE與△CDF全等，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【詳解】證明：∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB=∠DFC，∴AE∥DF．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．18．如圖，在等邊三角形中，點，分別在，上，且，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上．（1）尺規(guī)作圖：作EF//AB，點F在邊上．（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，則是否與平行？說明理由．【答案】（1）見解析；（2）DE//BC，理由見解析．【分析】（1）如圖在DE的下方作∠DEF=∠ADE，EF交BC于點F，射線EF即為所求；（2）利用平行線的性質(zhì)得到∠B=∠EFC，再推出∠DEF=∠EFC，即可證明DE//BC．【詳解】（1）解：如圖，射線EF即為所求．（2）DE//BC，理由如下：∵EF//AB，∴∠B=∠EFC，∵∠B=∠DEF，∴∠DEF=∠EFC，∴DE//BC．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．20．如圖所示，，E為上一點，且，分別平分，．(1)求證：．(2)已知，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）在截取，連接，根據(jù)角平分線及全等三角形的判定得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出，最后利用等量代換即可證明；（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在截取，連接，如圖所示：∵平分，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）∵∴，，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的計算等，理解題意，作出輔助線，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．如圖，點P是內(nèi)一點．(1)按下列要求畫出圖形．①過點P畫的垂線，垂足為點C；②過點P畫的平行線交于點D；過點P畫的平行線交于點E；③點P到直線的距離是線段的長，約等于（精確到）；(2)在（1）所畫出的圖形中，若，則度（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①見解析；②見解析；③，12(2)【分析】（1）①②利用幾何描述畫出對應的圖形；③根據(jù)點到直線的距離可判斷的長為點P到直線的距離，且實際測量它的長度；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再利用垂直定義得到，然后利用互余計算的度數(shù)．【詳解】（1）①如圖，為所作；②如圖，為所作；③點P到直線的距離是線段的長，約等于（精確到）；故答案為：，12（2）∵，∴，∵，∴，∴．故答案為．【點睛】本題考查了作