2024-2025學年山東省聊城市聊城二中高二（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省聊城二中高二（上）第一次月考數(shù)學試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系Oxyz中，點M(2,3,?1)關于平面yOz對稱的點的坐標是(

)A.(?2,3,?1) B.(2,?3,?1) C.(2,3,1) D.(?2,?3,1)2.已知向量a=(1,1,0)，b=(?1,0,?2)，且ka+b與2aA.1 B.15 C.35 3.已知a=(2,?1,4)，b=(?1,1,?2)，c=(7,5,m)，若a，b，c共面，則實數(shù)m的值為A.607 B.14 C.12 D.4.已知直線l的方向向量e=(1,?2,?2)，平面α的法向量n=(2,λ,?1)，若l//α，則λ=(

)A.12 B.?12 C.25.在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，且OM=2MA，N為A.12a?23b+126.已知平面α的一個法向量為n=(?1,0,?1)，點A(3,3,0)在平面α內(nèi)，則平面外一點P(?2,1,4)到平面α的距離為(

)A.103 B.22 C.7.如圖，已知二面角α?l?β的大小為60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l且AC=BD=3，CD=5，則AB=(

)A.34 B.6 C.2138.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=AC=AA1=1，已知G與E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段

A.[2,3] B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題是真命題的有(

)A.A，B，M，N是空間四點，若BA,BM,BN能構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面

B.直線l的方向向量為a=(1,?1,2)，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，則l與m垂直

C.直線l的方向向量為a=(0,1,?1)，平面α的法向量為n=(1,?1,?1)，則10.在空間直角坐標系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,?2)，C(2,3,1)，則(

)A.AB?BC=?5

B.|AC|=23

C.異面直線OB與AC所成角的余弦值為1511.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為A1B1的中點，PA.存在點P，使D1P⊥AC1

B.存在點P，使PE=D1E

C.四面體EPC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(1,1,?2)，b=(2,?2,3)，則b在a方向上的投影向量為

．13.點O為△ABC所在平面外一點，點G為△ABC所在平面內(nèi)一點，點M為BC的中點，若OG=λAM+1314.如圖，四棱錐P?ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PBC是等邊三角形，M，N分別為AB和PC的中點，則平面DMN上任意一點到底面ABCD中心距離的最小值為______．

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知向量a=(2,?1,2)，b(1)求2a?(2)求向量a+2b與a16.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=120°，F(xiàn)為CD的中點，PB=2，以B為坐標原點，BA的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

(1)寫出B，D，P，F(xiàn)四點的坐標；

(2)求cos?PD,17.(本小題12分)

已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中點，M是D18.(本小題12分)

如圖，在△AOP中，OA⊥OP，OA=2，OP=3.將△AOP繞OP旋轉60°得到△BOP，D，E分別為線段OP，AP的中點．

(1)求點D到平面ABP的距離；

(2)求平面OBE與平面19.(本小題12分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，BC=?2AB=4，AB⊥AC，PB⊥AC.請用空間向量的知識解答下列問題：

(1)求PD與平面PAB所成角的大小;(2)設Q為側棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且AC/?/平面BEQF，是否存在點Q，使得平面BEQF與平面PAD夾角的余弦值為3535?若存在，求DQDP的值參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.B

7.A

8.C

9.BD

10.AC

11.AB

12.(?1,?1,2)；

13.4314.315.解：(1)∵a=(2,?1,2)，b=(1,4,1)，

∴2a=(4,?2,4)，2a?b=(3,?6,3)，

∴|2a?b|=9+36+9=36；

(2)設a+2b與a?b的夾角為θ，則

cosθ=16.解：(1)由題意知，△BCD是等邊三角形，∠ABD=60°，BD=2，所以BF=3，

所以B(0,0,0)，D(1,3,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,3,0)；

(2)PD=(1,17.(1)證明：取CB1中點P，連接NP，MP，

因為N是B1C1的中點，所以NP//CC1，且NP=12CC1，

因為M是DD1的中點，所以D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP，D1M=NP，

所以四邊形D1MPN是平行四邊形，

所以D1N//MP，

又MP?平面CB1M，D1N?平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M.

(2)解：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1兩兩垂直，

以A為原點，直線AB，AD，AA1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，18.解：(1)取AB的中點C，連接PC，OC，作DF⊥PC，垂足為F．

因為PA=PB，OA=OB，C為AB的中點，所以AB⊥PC，AB⊥OC．

又PC∩OC=C，所以AB⊥平面POC．

因為DF?平面POC，所以AB⊥DF.又DF⊥PC，PC∩AB=C，

所以DF⊥平面PAB，即點D到平面ABP的距離為DF的長度．

易證PO⊥平面OAB，所以PO⊥OC．

因為△AOB是邊長為2的等邊三角形，所以OC=3，又OP=3，

所以∠OPC=45°，所以DF=DPsin45°=64．

(2)以C為坐標原點，CB，CO的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(0,0,0)，P(0,3,3)，A(?1,0,0)，B(1,0,0)，

O(0,3,0)，E(?12,32,32)，

所以OE=(?12,?32,32)，OB=(1,?3,0)，

設平面OBE的法向量為n=(x,y,z)，

可得n?OB=x?19.解：(1)因為PB⊥AC，AB⊥AC，PB∩AB=B，PB?平面PAB，AB?平面PAB，

所以AC⊥平面PAB，

又AC?平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面PAB，

如圖，

以A為原點，分別以AB，AC為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系A?xyz，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，D(?2,23,0)，P(1,0,3)，

AC=(0,23,0)，DP=(3,?23,3)，

設PD與平面PAB所成角為θ，

則AC=(0,23,0)是平面PAB的一個法向量，

所以sinθ=|cos<AC，DP>|=|AC?DP||AC|?|DP|=