2014年國(guó)慶高中物理競(jìng)賽集訓(xùn)一知識(shí)點(diǎn)梳理3

2014年國(guó)慶高中物理競(jìng)賽集訓(xùn)一 知識(shí)點(diǎn)梳理 （第三次） 資料說(shuō)明 本導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課之前，了解授課方向及重難點(diǎn)。同時(shí)還附上部分知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)解讀。本班型導(dǎo)學(xué)共由4份書(shū)面資料構(gòu)成。 （2014 年國(guó)慶集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-23-3 2014-9-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱 物理競(jìng)賽郵箱 化學(xué)競(jìng)賽郵箱 生物競(jìng)賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號(hào) 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 2014年國(guó)慶高中物理競(jìng)賽集訓(xùn)一知識(shí)點(diǎn)梳理 (力學(xué)部分3) 知識(shí)框架 . 3 重點(diǎn)難點(diǎn) . 4 知識(shí)梳理 . 5 一、 振動(dòng)和波 . 5 1. 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) . 5 2. 機(jī)械波 . 7 例題選講 . 9 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第2頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 知識(shí)框架 振動(dòng)和波 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 機(jī)械波 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第3頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 重點(diǎn)難點(diǎn) 振動(dòng)和波部分重點(diǎn)掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的形成條件、位移與速度方程以及周期表達(dá)式，還應(yīng)了解機(jī)械波的干涉特性。 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第4頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 知識(shí)梳理 一、 振動(dòng)和波 1. 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) （1） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義 定義：F kx= 諧振子的加速度：kxam= （2） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程 回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A。 依據(jù)：22cosxF mA mx= 對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，m、是恒定不變的，可以令：2mk = 這樣，以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從下圖不難得出： 位移方程：cos( )xA t= + 速度方程：sin( )vAt =+ 加速度方程：2cos( )a At =+ 相關(guān)名詞：t+稱相位，稱初相。 運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系：2ax= 2200()vAx= + 00tanvx= （3） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 1) 同方向、同頻率振動(dòng)合成 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第5頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 兩個(gè)振動(dòng)11 1cos( )xA t= +和22 2cos( )xA t= + 合成，可令合振動(dòng) cos( )x A wt = +，由于12xx x= +，解得 221 2 12 2 12 cos( )A A A AA = + ，1 12 21 12 2sin sincos cosAAarctgAA+=+ 顯然，當(dāng)212k =時(shí)（0, 1, 2,k = ），合振幅A最大，當(dāng)21(2 1)k = +時(shí)（0, 1, 2,k = ），合振幅最小。 2) 方向垂直、同頻率振動(dòng)合成 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)11cos( )xA t= +和22cos( )yA t= +時(shí)，這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為 22221 21221 2 122 cos( ) sin ( )x y xyA A AA + = 顯然，當(dāng)212k =時(shí)（0, 1, 2,k = ），有21AyxA=，軌跡為直線，合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；當(dāng)21(2 1)k = +時(shí)（0, 1, 2,k = ），有2222121xyAA+=，軌跡為橢圓，合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；當(dāng)21取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱“李薩如圖形”，不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 3) 同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成 令11cos( )xA t= +和22cos( )xA t= +，由于合運(yùn)動(dòng)12xx x= +， 得：21 21(2 cos ) cos( )22xA t t = +。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，稱為角頻率為122+的“拍”現(xiàn)象。 （4） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 由式得：km = ，而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的，所以 2mTk= （5） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)成，即22 2111222E mv kx kA=+= 注意：振子的勢(shì)能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對(duì)平衡位置位移）x決定的一個(gè)抽象的 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第6頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 概念，而不是具體地指重力勢(shì)能或彈性勢(shì)能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢(shì)能后，其它的具體勢(shì)能不能再做重復(fù)計(jì)量。 2. 機(jī)械波 （1） 波的產(chǎn)生和傳播 產(chǎn)生的過(guò)程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素） （2） 機(jī)械波的描述 1) 波動(dòng)圖象和振動(dòng)圖象的聯(lián)系 2) 波動(dòng)方程 如果一列簡(jiǎn)諧波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為cos( )yA t= +，波的傳播速度為v，那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是 cos( 2 ) cos ( ) xxyA t A tv = + = + 這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ，都有一個(gè)()yx的正弦函數(shù)，在xy坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以，稱cos ( ) xyA tv= +為波動(dòng)方程。 （3） 波的干涉 1) 波的疊加 幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。 2) 波的干涉 兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí)，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開(kāi)。 我們可以用波程差的方法來(lái)討論干涉的定量規(guī)律。如下圖所示，我們用1S和2S表示兩個(gè)波源，p表示空間任意一點(diǎn)。 當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí)，令振源1S的振動(dòng)方程為11cosyA t= ，振源2S的振動(dòng)方程為22cosyA t=，則在空間p點(diǎn)（距1S為1r ，距2S為2r），兩振源引起的分振動(dòng)分別是： 111cos ( )ryA tv= 222cos ( )ryA tv= P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問(wèn)題（11rv = ，22rv =），且初 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第7頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 相差21()rrv= 。根據(jù)前面已經(jīng)做過(guò)的討論，有21rrk=時(shí)（0, 1, 2,k = ），P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，振幅為12AA+ ；21(2 1)2rr k= 時(shí)（0, 1, 2,k = ），P點(diǎn)振動(dòng)削弱，振幅為12AA。 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第8頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 例題選講 例1一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)如圖所示，不計(jì)一切摩擦，繩不可伸長(zhǎng)，m1、m2及彈簧的勁度系數(shù)k已知。求m2上下振動(dòng)的周期。 解： 設(shè)某一時(shí)刻彈簧伸長(zhǎng)x，繩上張力是FT。 分析m1：11Tkx m g F m a+ = 分析m2：2222TaF mg m= 消去FT：212 12 2 (2 )2mkx m g m g a m+ = +， 假設(shè)振子平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)0x，此時(shí)m1、m2的加速度為零，則有02 122k x mg mg= 設(shè)m1偏離平衡位置的位移為x，則0xxx= + 20 12 12 ( ) 2 (2 )2mk x x mg mg a m + + = + 將21022mg mgxk=代入式，可得212 (2 )2mkx a m= + 21()4mF k x am= + 所以這個(gè)振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是214mm +，周期為12424mmTk+= 簡(jiǎn)析：本題是一個(gè)彈簧振子的變式模型，解題時(shí)要根據(jù)受力分析由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得出振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，然后由周期公式就可求出其振動(dòng)周期。 例2. 如圖所示，在一個(gè)勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球A和質(zhì)量為 2m的小球BA用細(xì)線拴住懸掛起來(lái)，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為l現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，取一相對(duì)地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標(biāo)軸Ox，原點(diǎn)O與此時(shí)A球的位置重合如圖試求任意時(shí)刻兩球的坐標(biāo) 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第9頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 解： 對(duì)于由小球A、B和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)A、B之間的距離為l時(shí)，已知mA = m，mB = 2m，由質(zhì)心的定義，可知系統(tǒng)的質(zhì)心C離A的距離 llC32= （1） 故A、B到質(zhì)心C的距離分別為 llllBA3132=（2） 若以質(zhì)心C為參考系（質(zhì)心系），則質(zhì)心C是固定不動(dòng)的，連接A、B的彈簧可以分成兩個(gè)彈簧CA和CB設(shè)彈簧CA的自然長(zhǎng)度為lA0，勁度系數(shù)為kA，一端與小球A相連，另一端固定在C點(diǎn)；彈簧CB的的自然長(zhǎng)度為lB0，勁度系數(shù)為kB，一端與小球B相連，另一端亦固定在C點(diǎn)若連接A、B的自然長(zhǎng)度為l0，根據(jù)題意有 ( ) mgllk 20= （3） 由（2）式可知彈簧CA和CB的自然長(zhǎng)度分別為 00003132llllBA= （4） 當(dāng)A被懸掛，系統(tǒng)處于靜止時(shí)，已知連接A、B的彈簧長(zhǎng)度為l，由（2）式可知，此時(shí)彈簧CA和CB的長(zhǎng)度分別為 llllBA3132= （5） 彈簧CA、CB作用于A、B的彈簧力分別為 ( ) ( )0032llkllkfAAAAA= ( ) ( )0031llkllkfBBBBB= 但fA 、fB就是連接A、B的彈簧因拉伸而產(chǎn)生的彈力f，即有 ( )0llkfffBA= （5） 由此得 kkkkBA323= （6） 相對(duì)地面，質(zhì)心C是運(yùn)動(dòng)的，在t = 0 時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，A位于Ox軸的原點(diǎn)O處，即( ) 00 =Ax；B的坐標(biāo)( ) lxB=0由（1）式，可知此時(shí)質(zhì)心C的坐標(biāo)為 ( ) lxC320 =（7） 在細(xì)線燒斷以后，作用于系統(tǒng)的外力是重力( )gmm 2+故質(zhì)心以g為加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，任意時(shí)刻t，質(zhì)心的坐標(biāo) 22213221)0()( gtlgtxtxCC+=+= （8） 由于質(zhì)心作加速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心系是非慣性系在非慣性參考系中，應(yīng)用牛頓第二定律研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體除受真實(shí)力作用外，還受慣性力作用若在質(zhì)心系中取一坐標(biāo)軸xO ，原點(diǎn)O與質(zhì)心C固連，取豎直向下為xO 軸的正方向，當(dāng)小球B在這參考系中的坐標(biāo)為Bx時(shí)，彈簧CB作用于B的彈性力( )0BBBBlxkf = 當(dāng)0BBlx 時(shí)，方向豎直向上此外，B還受到重力mg，方向豎直向下；慣性力大小為mg，方向豎直向上作用于B的合力( ) mgmglxkFBBBB+=0 由（3）、（4）式得 =kmglxkFBBB231 （9） 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第10頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 令=kmglxXBB231 （10），有 BBBXkF = （11） 當(dāng)XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B處于平衡狀態(tài)，由（10）式，可知在質(zhì)心系中，B的平衡位置的坐標(biāo) =kmglxB2310 （12） XB為B離開(kāi)其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有彈性力的性質(zhì)，故在FB作用下， B將在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)圓頻率 mkmkBBB23= （13） 離開(kāi)平衡位置的位移 ( )BBBBtAX += cos （14） AB為振幅，B為初相位在t = 0時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，B是靜止的，故此時(shí)B離開(kāi)其平衡位置0Bx的距離就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅AB，而在t = 0時(shí)刻，B離開(kāi)質(zhì)心的距離即（5）式給出的lB，故B離開(kāi)平衡位置的距離即振幅0BBBxlA =由（5）式、（12）式得 kmgkmgllAB32)2(3131= （15） 因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故0=B由此得 = tmkkmgXB23cos32 （16） 由（10）式，t時(shí)刻B在質(zhì)心系中的坐標(biāo) ( )+= tmkkmgkmgltxB23cos32)2(31 （17） 在地面參考系的坐標(biāo) ( ) ( ) ( )txtxtxBCB+= （18） 得 ( )+= tmkkmggtltxB23cos132212 （19） 同理，當(dāng)小球A在質(zhì)心系中的坐標(biāo)為Ax時(shí)，注意到Ax是負(fù)的，這時(shí)，彈簧CA的伸長(zhǎng)量為 +=+=+kmglxlxlxAAAA2323200 當(dāng)0AAlx +為負(fù)時(shí)，彈力向下，為正，當(dāng)0AAlx +為正時(shí)，彈力向上，為負(fù)，故有 +=kmglxkfAAA232 作用于A的合力為 +=kmglxkFAAA232 令 +=kmglxXAA232 ， 有 AAAXkF = 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第11頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 當(dāng)XA=0，作用于A的合力FB = 0，A處于平衡狀態(tài)，A的平衡位置的坐標(biāo) =kmglxA2320 （20） XA為A離開(kāi)其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A將在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)圓頻率 mkmkAA23= （21） 離開(kāi)平衡位置的位置( )AAAAtAX += cos AA為振幅，A為初相位在t = 0時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，A是靜止的，A離開(kāi)質(zhì)心C的距離為lA，A的平衡位置離開(kāi)質(zhì)心的距離為0Ax故此時(shí)A離開(kāi)平衡位置的距離即為振幅AA， kmgkmgllxlAAAA34232320= 而此時(shí)AAAX =，故=A 由此得= tmkkmgXA23cos34 （22） 在時(shí)刻t，A在地面參考系中的坐標(biāo) ( ) ( )20221 2 2 4 3cos32 3 314 31 cos (23)23 2A C AAmg mg kx t x t x X l gt l tk kmmg kgt tkm= +=+ =+ 解法二： 當(dāng)A球相對(duì)于地面參考系的坐標(biāo)為x時(shí)，彈簧CA的伸長(zhǎng)量為xlxC032，A所受的合力為+= xlxkmgFCA 03223 其加速度為 += xlxkmgaCA 03223 )1( 其相對(duì)于質(zhì)心的加速度為=0032233223lxxkmxlxkmgaaCCAA 其中032lxxC表示A球相對(duì)于其平衡位置的位移，在相互平動(dòng)的兩個(gè)參考系中，相對(duì)位移與參考系無(wú)關(guān) 上式表明，相對(duì)質(zhì)心，A球的加速度與其相對(duì)于平衡位置的位移成正比且反向也就是說(shuō)，A球相對(duì)質(zhì)心作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 同理可證 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第12頁(yè) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 =3320lxxkmgFCB +=3230lxxmkgaCB )2( 其相對(duì)于質(zhì)心的加速度為 =03223lxxkmaCB )3( 其中+30lxxC表示B球相對(duì)于其平衡位置的位移，相對(duì)質(zhì)心，B球的加速度