高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)專題9.7圓錐曲線綜合問題專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

7/7專題9.7圓錐曲線綜合問題練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三開學(xué)考試（文））已知過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)、縱坐標(biāo)的比值范圍是（）A． B．C． D．2．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（）A． B．C． D．3．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，則“＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件4.（2021·全國高三專題練習(xí)）已知A、B是拋物線的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且．設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．則直線過定點(diǎn)（）．A． B． C． D．6．（2022·北京石景山區(qū)·）過橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，橢圓上不同的兩點(diǎn)，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A． B． C． D．7．【多選題】（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）如圖，為橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，過作橢圓的切線交圓：于，，過，作切線交于，則（）A．的最大值為B．的最大值為C．的軌跡方程是D．的軌跡方程是8．【多選題】（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三開學(xué)考試）已知F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．B．已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則．C．過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線上．9．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則周長的取值范圍是_________10．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)為___________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長是（）A． B． C． D．2．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．① B．② C．①② D．①②③3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．【多選題】（2021·濟(jì)寧市育才中學(xué)）已知雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則（）A．雙曲線的離心率B．當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為5．【多選題】（2021·全國高二期中）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為36．（2021·山東）已知圓，，動(dòng)圓與圓?都相切，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為___________；直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為??，則的最大值為___________.7．（2021·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高二期末）如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，證明：與的交點(diǎn)M在一定直線上.8.（2021·浙江溫州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，點(diǎn)為直線，的交點(diǎn).（i）求證：點(diǎn)在一條定直線上；（ii）求面積的取值范圍.9.（2021·四川南充·（文））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率k的直線與交于A，D兩點(diǎn)，.（1）求；（2）若在上，過點(diǎn)作的弦，，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).10．（山東高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（?。┳C明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.2.（2020·山東高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.3．（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．4．（2020·山東海南省高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．5.（2021·全國高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．6.（2019·全國高考真題（理））已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.專題9.7圓錐曲線綜合問題練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河南高三開學(xué)考試（文））已知過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)、縱坐標(biāo)的比值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)出直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得的范圍.【詳解】設(shè)直線，代入得，，，，直線，代入得，.故選：A2．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，（）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡，得到韋達(dá)定理，由弦長公式求得，由O到直線的距離，表示出的面積，利用基本不等關(guān)系求得最大值，從而求得此時(shí)的.【詳解】由，得.設(shè)，，則，，.又O到直線的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值.此時(shí)，.故選：A.3．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，則“＝0”是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件【答案】B【分析】設(shè)出A、B的坐標(biāo)和直線AB的方程，將直線方程代入拋物線方程并化解，進(jìn)而求出，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將化簡，最后根據(jù)邏輯關(guān)系得到答案.【詳解】根據(jù)題意，A、B是拋物線y2＝4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB方程為x＝my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，則＝x1x2+y1y2＝.若，則b=4，則直線AB的方程為x＝my+4，直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）；若直線AB恒過定點(diǎn)（4，0），則b=4，于是.所以是“直線AB恒過定點(diǎn)（4，0）”的充要條件.故選：B．4.（2021·全國高三專題練習(xí)）已知A、B是拋物線的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，若令點(diǎn)A在軸上方，坐標(biāo)為（），則，由于的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即,從而可求得答案【詳解】因?yàn)锳、B是拋物線的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)A在軸上方，坐標(biāo)為（），則，所以,設(shè)交軸于點(diǎn),則,因?yàn)?所以,因?yàn)榈膬?nèi)心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，所以平分，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即，化簡得,,解得,因?yàn)?所以,所以直線的方程為故選：C.5．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且．設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．則直線過定點(diǎn)（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先結(jié)合拋物線的定義求得拋物線方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由列方程，化簡求得，由此求得直線過定點(diǎn).【詳解】∵是拋物線上一點(diǎn)，且．∴，解得，即拋物線的方程為．依題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，由消去得，則，．因?yàn)?，所以，即．化簡得．由得，所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)．故選：C6．（2022·北京石景山區(qū)·）過橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，橢圓上不同的兩點(diǎn)，滿足條件：成等差數(shù)列，則弦的中垂線在軸上的截距的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦半徑公式得，設(shè)中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得，進(jìn)而求得弦的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用在橢圓“內(nèi)”，可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，，利用焦半徑公式得：，，代入可得設(shè)中點(diǎn)，橢圓上不同的兩點(diǎn)，，兩式作差可得，，所以弦的中垂線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，此即的中垂線在軸上的截距，在橢圓“內(nèi)”，，得，．故選：C．7．【多選題】（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）如圖，為橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，過作橢圓的切線交圓：于，，過，作切線交于，則（）A．的最大值為B．的最大值為C．的軌跡方程是D．的軌跡方程是【答案】AD【分析】設(shè)出，根據(jù)橢圓和圓的方程分別寫出所在的直線方程，從而求出，代入橢圓方程即可求出的軌跡方程是；根據(jù)到直線的距離求出的面積，從而利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，則切點(diǎn)弦所在的直線方程為，又因?yàn)闉闄E圓上的一點(diǎn)，所以切線所在的直線方程為，所以，即，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以的軌跡方程是.因?yàn)橹本€的方程為，所以到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：AD.8．【多選題】（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三開學(xué)考試）已知F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．B．已知拋物線C與直線l：在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則．C．過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．D．若過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切線，，切線與相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P在定直線上．【答案】BCD【分析】A：根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于即可判斷A選項(xiàng)；B：聯(lián)立，得，進(jìn)而結(jié)合焦半徑公式得到與進(jìn)而可以求出的值，從而判斷B選項(xiàng)；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出弦長，同理，進(jìn)而得到的面積，結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)；D：設(shè)，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程和在處的切線方程進(jìn)而求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】A：拋物線的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故A錯(cuò)誤；B：聯(lián)立，則，解得，由題意可知，，故，所以，故B正確；C：由題意可知直線，的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，則，設(shè)兩交點(diǎn)為，結(jié)合韋達(dá)定理，所以；同理,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以四邊形面積的最小值為，故C正確；D：設(shè)，不妨設(shè)因?yàn)椋ǎ?，若，則，所以，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因此在處的切線方程為，即，同理在處的切線方程為，則，解得，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，所以，故點(diǎn)P在定直線上，故D正確；故選：BCD.9．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則周長的取值范圍是_________【答案】【分析】求出的取值范圍，結(jié)合橢圓的定義可求得周長的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接、，

因?yàn)?、的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得，因?yàn)橹本€與橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)、也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)，則，所以，，所以，的周長為.故答案為：.10．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)為___________．【答案】【分析】設(shè)出直線OM,ON的方程，代入到橢圓方程解出M,N的坐標(biāo)結(jié)合進(jìn)行化簡，進(jìn)而求出直線MN的方程，最后得到答案.【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為（-4,0），設(shè)，由，則，由,因?yàn)椋?，則，所以，于是，化簡得：，令，所以直線MN經(jīng)過軸上的定點(diǎn).故答案為：.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由過橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長即可推理作答.【詳解】顯然過橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時(shí)，，所以過橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長是.故選：A2．（2019·北京高考真題（理））數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，延長與交于點(diǎn)，則是的角平分線，由可得與垂直，可得為等腰三角形，故為的中點(diǎn)，由于為的中點(diǎn)，則為的中位線，故，由于，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，而的最小值為，的最大值為，即的值域?yàn)椋十?dāng)或時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，在軸上，此時(shí)與重合，取得最小值為0，又由題意，最值取不到，所以的取值范圍是，故選：A.4．【多選題】（2021·濟(jì)寧市育才中學(xué)）已知雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則（）A．雙曲線的離心率B．當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為【答案】ACD【分析】由圓心到漸近線的距離等于半徑求得，從而可得，得離心率，判斷A；設(shè)出的內(nèi)切圓與其三邊的切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得出點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而判斷B；，求出，代入點(diǎn)在雙曲線上的條件可判斷C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判斷D．【詳解】由題意雙曲線的漸近線方程是，圓的圓心是，半徑是1，則，（舍去），又，所以，離心率為，A正確；設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，B錯(cuò)；設(shè)，則，，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，C正確；由已知的方程是，傾斜角為，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確．故選：ACD．5．【多選題】（2021·全國高二期中）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A．過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．橢圓的離心率為D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3【答案】ABD【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD．6．（2021·山東）已知圓，，動(dòng)圓與圓?都相切，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為___________；直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為??，則的最大值為___________.【答案】或【分析】①分析兩個(gè)圓的位置，圓內(nèi)含于圓，則圓有與圓外切，與圓內(nèi)切，以及與圓?都內(nèi)切兩種情況，分別列出關(guān)系化簡即可.②由①的結(jié)果可知，若有三個(gè)公共點(diǎn)，則與內(nèi)部的橢圓相切，與外部的橢圓相交，設(shè)直線通過相切解出，通過相交寫出弦長公式，代入化簡，求出弦長的最大值.【詳解】①已知圓，，則圓內(nèi)含于圓，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分以下兩種情況討論：（1）圓與圓外切，與圓內(nèi)切，由題意可得，∴，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以?分別為左?右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，∴，，則，此時(shí)，軌跡的方程為；（2）圓與圓?都內(nèi)切，且，由題意可得，∴，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以?分別為左?右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，∴，，則，此時(shí)，軌跡的方程為；綜上所述，軌跡的方程為或.②由于直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線與橢圓相切.若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時(shí)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，可得，設(shè)點(diǎn)?，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達(dá)定理得，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：或；.7．（2021·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部高二期末）如圖，已知拋物線直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)拋物線C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，證明：與的交點(diǎn)M在一定直線上.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到，從而得證；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過點(diǎn)、的切線、的方程，即可得到，即可得證；【詳解】解：（1）設(shè)，，把代入，得.由韋達(dá)定理得，..所以（2），，故經(jīng)過點(diǎn)的切線的方程為：，即，①同理，經(jīng)過點(diǎn)的切線的方程為：，②，得.即點(diǎn)M在直線上.8.（2021·浙江溫州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，點(diǎn)為直線，的交點(diǎn).（i）求證：點(diǎn)在一條定直線上；（ii）求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）由題意可得，代入拋物線方程即可求解.（2）（i）聯(lián)立方程組消去，求出兩根之和、兩根之積，再求出切線方程以及切線方程，求出兩直線的交點(diǎn)即可求解.（ii）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再利用弦長公式求出，由即可求解.【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立方程組消去得，，∴，由得，，所以切線方程為切線方程為聯(lián)立直線?方程可解得，.（i）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以點(diǎn)在定直線上（ii）點(diǎn)到直線的距離為.所以的面積為所以當(dāng)時(shí)，有最小值.面積的取值范圍是.9.（2021·四川南充·（文））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率k的直線與交于A，D兩點(diǎn)，.（1）求；（2）若在上，過點(diǎn)作的弦，，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn).【分析】（1）設(shè)出的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，表示出弦長，求出斜率k；（2）設(shè)直線:，聯(lián)立把表示為，找出m、n的關(guān)系，把直線用點(diǎn)斜式表示，得到直線過定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意得，的方程為，，設(shè)，，由，得，，故，所以，解得(舍)，.（2）因?yàn)樵谏?，所以，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，得，由得，，.因?yàn)椋?所以，又因?yàn)?，，所以，所以或，所以?因?yàn)楹愠闪?，所以，所以直線的方程，所以直線過定點(diǎn).10．（山東高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，（?。┳C明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（I）.（II）（?。┲本€AE過定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.【解析】（I）由題意知設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，因?yàn)?，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.所以拋物線C的方程為.（II）（ⅰ）由（I）知，設(shè)，因?yàn)?，則，由得，故，故直線AB的斜率為，因?yàn)橹本€和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得.設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線AE的方程為，過點(diǎn)，所以直線AE過定點(diǎn).（ⅱ）由（?。┲?，直線AE過焦點(diǎn)，所以，設(shè)直線AE的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，，所以點(diǎn)B到直線AE的距離為.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以的面積的最小值為16.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.2.（2020·山東高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線方程；（2）首先設(shè)出直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，并利用韋達(dá)定理表示，并利用，求直線的斜率，驗(yàn)證后，即可得到直線方程.【詳解】解：（1）由橢圓可知，，所以，，則，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可設(shè)拋物線方程為，所以，即.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓可知，，若直線無斜率，則其方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合要求.所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線過點(diǎn)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，消去，得.①因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，解得，且.由①可知，所以，則，因?yàn)?，且，所以，解得或，因?yàn)?，且，所以不符合題意，舍去，所以直線的方程為，即.3．（2020·江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長為（2）設(shè)，根據(jù)題意可得.∵點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，∴∵準(zhǔn)線方程為∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.（3）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點(diǎn)到直線的距離為，∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.4．（2020·山東海南省高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使