專題161二次根式（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題16.1二次根式（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】二次根式形如（a≥0）的式子叫做二次根式，其中符號(hào)“”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù).特別提醒1.被開(kāi)方數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式子.2.二次根號(hào)是一種形式定義，即式子中必須含有“”.3.形如（a≥0）的式子也是二次根式，b與是相乘的關(guān)系，要注意當(dāng)b是假分?jǐn)?shù)時(shí)不能寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)，例如：可以寫(xiě)成，但不能寫(xiě)成.【知識(shí)點(diǎn)二】使用二次根式有意義的條件在二次根式中，要求被開(kāi)方數(shù)a必須滿足條件a≥0，即被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)的，所以當(dāng)a≥0時(shí)，有意義，當(dāng)a＜0時(shí)，無(wú)意義.特別提醒二次根式是初中階段常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)之一，這三種非負(fù)數(shù)分別是：一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，即一個(gè)實(shí)數(shù)的偶次方（主要是二次方），即a2等.一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根（即二次根號(hào)）.【知識(shí)點(diǎn)三】二次根式的性質(zhì)性質(zhì)文字語(yǔ)言應(yīng)用一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)數(shù)的本身一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】二次根式有意義的條件；【考點(diǎn)2】二次根式?求值（參數(shù)）；【考點(diǎn)3】二次根式性質(zhì)?求值與化簡(jiǎn)；【考點(diǎn)4】復(fù)合二次根式?求值與化簡(jiǎn)；【考點(diǎn)一】二次根式有意義的條件【例1】（2022下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求下列二次根式中字母a的取值范圍．（1）． （2）． （3）． （4）．【答案】（1）；（2）；（3）a可取任何實(shí)數(shù)；（4）【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（3）根據(jù)二次根式有意義的條件和平方的非負(fù)性求解即可；（4）根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件求解即可．解：（1）∵有意義，∴，解得：；（2）∵有意義，∴，解得：；（3）∵有意義，∴．∵，∴，必成立，∴a可取任何實(shí)數(shù)；（4）∵有意義，∴，且解得：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．掌握被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022下·湖北宜昌·八年級(jí)校考期中）如果有意義，那么的取值范圍是（

）A．且B． C． D．且【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件；根據(jù)二次根式有意義，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，分式有意義分母不為零得出不等式組，求解即可．解：如果有意義，那么且，解得：，故選：B．【變式2】（2024上·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）若實(shí)數(shù)滿足，則的立方根為．【答案】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及立方根，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得到的值，再計(jì)算的立方根即可．解：∵根據(jù)二次根式有意義的條件，得：解得，；∴代入原式，∴，∴的立方根為．故答案：．【考點(diǎn)二】二次根式?求值（參數(shù)）【例2】（2020下·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知滿足，求的平方根．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可以列出關(guān)于a的不等式組，解出a的值，舍去分母為0的值后，代入的表達(dá)式，求出值，然后將代入所求式子化簡(jiǎn)整理即可．解：由題意得∴∴∴∴∵2的平方根為∴【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列不等式組求解的問(wèn)題，解不等式注意要驗(yàn)證取值是否符合題意，求平方根時(shí)注意平方根有兩個(gè)．【變式1】（2023上·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則以下對(duì)的估算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算，掌握二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，二次根式大小的估算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，即可求解．解：∵，即，∴，即，故選：．【變式2】（2023上·甘肅天水·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：如果，那么；．【答案】5【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性解答即可，即．解：∵，，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案為：5，．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的雙重非負(fù)性，熟知是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】二次根式性質(zhì)?求值與化簡(jiǎn)【例3】（2023上·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：（1）計(jì)算：．（2）計(jì)算：【答案】（1）0；（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，（1）先算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算加減；（2）先化簡(jiǎn)二次根式和利用平方差公式去括號(hào)，再計(jì)算加減；熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則和平方差公式是解題的關(guān)鍵．解：（1）原式；（2）原式．【變式1】（2022下·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出不等式，解不等式即可解答．解：∵，∴，∴2．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，那么m的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性，即可求解．解：∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式值的特點(diǎn)．【考點(diǎn)四】復(fù)合二次根式?求值與化簡(jiǎn)【例4】（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中?？计谥校┫乳喿x材料，然后回答問(wèn)題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了一個(gè)問(wèn)題：化簡(jiǎn)．經(jīng)過(guò)思考①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)的正確結(jié)果為；（2）請(qǐng)根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡(jiǎn)：①;②【答案】（1）④，；（2）①；②【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，掌握被開(kāi)方數(shù)化成完全平方的形式，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）中的材料化簡(jiǎn)即可．（1）解：①，②，③，④，在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，第④步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：④，；（2）解：①原式；②原式．【變式1】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】注意到，故可將原式化為，然后探尋，進(jìn)而得解．解：；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，數(shù)字比較大，正確找到是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2023上·河