全等三角形的七大模型壓軸題訓(xùn)練（四）

全等三角形的七大模型壓軸題訓(xùn)練（四）一、解答題1．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點D是AC邊上的中點，求S△BCD；（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請寫出線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．【答案】（1）16；（2）BC＝AB+AD；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形得：S△BCD=S△ABD，因此計算△ABD的面積就是△BCD的面積，代入面積公式計算即可；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABD≌△EBD，則AB=EB，AD=DE，再證明△DEC是等腰直角三角形，根據(jù)BC=BE+CE可得結(jié)論；（3）如圖3，作輔助線構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠ADB=∠H；得出CE=CH，所以繼續(xù)證明△ECG≌△HCG，得∠CEG=∠H，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=8，∵D是AC的中點，∴AD=CD=AC=4，∴S△BCD=S△ABD=AD?AB=×8×4=16；（2）數(shù)量關(guān)系為：BC=AB+AD．理由如下：如圖2，過D作DE⊥BC于E，又∵∠BAC=90°，∴∠BED=∠BAC=90°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠EBD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴AB=EB，AD=DE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，又∵∠CED=90°，∴∠CDE=180°∠CED∠C=45°=∠C，∴CE=DE，又∵AB=EB，AD=DE，∴BC=BE+CE=AB+DE=AB+AD；（3）如圖3，過點C作CH⊥AC，交AG的延長線于點H，又∵∠BAC=90°，∴∠HCA=∠DAB=90°，∵∠BAC=90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF=90°，∠ABD+∠ADF=90°，∴∠ABD=∠DAF，又∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，∴△ABD≌△CAH，∴AD=CH，∠ADB=∠H．又∵AD=CE，∴CH=CE．∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，∴∠BCH=∠ACB=45°，又∵GC=GC，CH=CE，∴△ECG≌△HCG，∴∠CEG=∠H，又∵∠ADB=∠H，∴∠ADB=∠CEG．【點睛】三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形中線的性質(zhì)，（2）和（3）問題的關(guān)鍵是作垂線，構(gòu)建全等三角形，從而使問題得以解決．2．在RtΔABC中，∠BAC=90°，點O是△ABC所在平面內(nèi)一點，連接OA，延長OA到點E，使得AE=OA，連接OC，過點B作BD與OC平行，并使∠DBC=∠OCB，且BD=OC，連接DE.(1)如圖一，當(dāng)點O在RtΔABC內(nèi)部時.①按題意補(bǔ)全圖形；②猜想DE與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明.(2)若AB=AC(如圖二)，且∠OCB=30°，∠OBC=15°，求∠AED的大小.

【答案】(1)①補(bǔ)全圖形，如圖一，見解析；②猜想DE=BC.證明見解析；(2)∠AED=30°或15°.【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可解決問題．②結(jié)論：DE=BC．連接OD交BC于F，連接AF．證明AF為Rt△ABC斜邊中線，為△ODE的中位線，即可解決問題．（2）分兩種情形：如圖二中，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．證明△BMA≌△BMO（AAS），推出AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，推出∠AMO=120°，即可解決問題．如圖三中，當(dāng)點O在△ABC外部時，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．分別求解即可．【詳解】(1)①補(bǔ)全圖形，如圖一，②猜想DE=BC.如圖，連接OD交BC于點F，連接AF在△BDF和△COF中，∴△BDF≌ΔCOF∴DF=OF，BF=CF∴F分別為BC和DO的中點∵∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點，∴AF=BC.∵OA=AE，F(xiàn)為BC的中點，∴AF=ED.∴DE=BC（2）如圖二中，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．由（1）可知：AF為Rt△ABC斜邊中線，為△ODE的中位線，∵AB=AC，∴AF垂直平分線段BC，∴MB=MC，∵∠OCB=30°，∠OBC=15°，∴∠MBC=∠MCB=30°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∠MBO=∠MBA=15°，∵∠BAM=∠BOM=45°，BM=BM，∴△BMA≌△BMO（AAS），∴AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，∴∠AMO=120°，∴∠MAO=∠MOA=30°，∴∠AED=∠MAO=30°．如圖三中，當(dāng)點O在△ABC外部時，當(dāng)點O在△ABC內(nèi)部時，連接OD交BC于F，連接AF，延長CO交AF于M．連接BM．由∠BOM=∠BAM=45°，可知A，B，M，O四點共圓，∴∠MAO=∠MBO=30°15°=15°，∵DE∥AM，∴∠AED=∠MAO=15°，綜上所述，滿足條件的∠AED的值為15°或30°．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.3．在中，點在邊所在直線上（與點，不重合），點在邊所在直線上，且，交邊于點．（1）如圖1，若是等邊三角形，點在邊上，過點作于，試說明：．某同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：思路一：過點作，交于點，如圖1因為是等邊三角形，得是等邊三角形又由，得再說明得出．從而得到結(jié)論．思路二：過點作，交的延長線于點，如圖①請你在“思路一”中的括號內(nèi)填寫理由；②根據(jù)“思路二”的提示，完整寫出說明過程；（2）如圖3，若是等腰直角三角形，，點在線段的延長線上，過點作于，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①等腰三角形三線合一，或；②見解析；（2），詳見解析.【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定即可解決問題．②證明△DHA≌△EMC（AAS），推出AH=CM，DH=EM，證明△DHF≌△EMF（AAS），推出FM=FH=HM，即可解決問題．（2）結(jié)論：FH=AC．如圖3中，作DM⊥CA交CA的延長線于M．證明△AMD≌△CHE，推出AM=CH，DM=HE，證明△HFE≌△MFD（AAS），推出FH=FM=HM即可.【詳解】解：（1）①思路一：過點作，交于點，如圖1因為是等邊三角形，得是等邊三角形又由，得（等腰三角形三線合一）再說明或得出故答案為等腰三角形三線合一，或．②思路二：過點作，交的延長線于點，如圖2．是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，作交的延長線于．是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在中，，是中線，作關(guān)于的軸對稱圖形.（1）直接寫出和的位置關(guān)系；（2）連接，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)，時，在上找一點，使得點到點與到點的距離之和最下小，求的面積.【答案】（1）垂直；（2）.理由見解析；（3）.【分析】(1)根據(jù)對稱點連線垂直于對稱軸，即可確定AC⊥DE;(2)連接CE,證明四邊形AECD是正方形，在結(jié)合三角形ABC是等腰三角形，即可說明;(3)先證明.△ACD≌△ABD，得到點B和點C關(guān)于AD成軸對稱；連接，交于點，且當(dāng)，，三點在同一條直線上，點到點與到點的距離之和最小，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，運(yùn)用三角形的面積公式即可求得.【詳解】解：（1）垂直（2）.理由如下：關(guān)于的軸對稱圖形為.，在和中，又是邊上的中線..（3）在和中點和點關(guān)于成軸對稱連接，交于點，如圖所示且當(dāng)，，三點在同一條直線上，點到點與到點的距離之和最小在中，.由（1）知，，【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了軸對稱、全等三角形、正方形的相關(guān)知識，考查知識點比較綜合，靈活應(yīng)用所學(xué)知識是解答本題的關(guān)鍵.5．（）如圖①，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：．（）如圖②，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？（）如圖③，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【詳解】分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補(bǔ)角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BEBG=BEDF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．詳解：（）延長至點，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．（）（）中的結(jié)論仍成立，證明：延長至點，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．（）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．點睛：此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.6．探究問題1

已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE=kDF，則k的值為．拓展問題2

已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE=DF．推廣問題3

如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）DE=DF，理由見解析.【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”得到DE=DF；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和判定得出結(jié)論，從而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．（3）利用三角形的中位線和直角三角形的性質(zhì)根據(jù)SAS證明△DHE≌△FGD可得．【詳解】（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都是直角三角形∵D是AB的中點∴DE和DF分別為Rt△AEB和Rt△AFB的斜邊中線∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）∴DE=DF∵DE=kDF∴k=1（2）∵CB=CA∴∠CBA=∠CAB∵∠MAC=∠MB∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC即∠ABM=∠BAM∴AM=BM∵M(jìn)E⊥BC，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFA=90又∵∠MBE=∠MAF∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF∵D是AB的中點，即BD=AD又∵∠DBE=∠DAF∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE=DF（3）DE=DF如圖1，作AM的中點G，BM的中點H，∵點D是邊AB的中點∴DG∥BM，DG=BM同理可得：DH∥AM，DH=AM∵M(jìn)E⊥BC于E，H是BM的中點∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH∴∠HBE=∠HEB∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC又∵DG=BM，HE=BM∴DG=HE同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC∵DG∥BM，DH∥GM∴四邊形DHMG是平行四邊形∴∠DGM=∠DHM∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC又∵∠MBC=∠MAC∴∠MGF=∠MHE∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE∴∠DGF=∠DHE在△DHE與△FGD中，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)；在證明三角形全等時，用到的知識點比較多，用到直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)和判定．7．直角三角形有一個非常重要的性質(zhì)質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,比如:如圖1,Rt△ABC中,∠C=90°,D為斜邊AB中點,則CD=AD=BD=AB．請你利用該定理和以前學(xué)過的知識解決下列問題:在△ABC中,直線繞頂點A旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點P為BC邊的中點,點B、P在直線的異側(cè),BM⊥直線于點M,CN⊥直線于點N,連接PM、PN.求證:PM=PN；(2)如圖3,若點B、P在直線的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由；(3)如圖4,∠BAC=90°,直線旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置,E為AB上一點且AE=AC，EN⊥于N,連接EC,取EC中點P,連接PM、PN,求證:PM⊥PN.【答案】（1）證明見解析（2）PM=PN（3）證明見解析【分析】（1）如圖2中，延長NP交BM的延長線于G．只要證明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明．（2）結(jié)論：PM=PN．延長NP交BM于G，證明方法類似（1）．（3）如圖4中，延長NP交BM于G．先證明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再證明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因為AN=CM，所以MG=MN，即可證明PM⊥PN．【詳解】（1）證明：如圖2中，延長NP交BM的延長線于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（2）解：結(jié)論：PM=PN．如圖3中，延長NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN=∠PBG，在△PNC和△PGB中，

，∴△PNC≌△PGB，∴PN=PG，∵∠NMG=90°，∴PM=PN=PG．（3）如圖4中，延長NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴∠EAN=∠ACM，在△EAN和△CAM中，∴△EAN≌△CAM，∴EN=AM，AN=CM，∵EN∥CG，∴∠ENP=∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN=CG=AM，PN=PG，∵AN=CM，∴MG=MN，∴PM⊥PN．【點睛】本題考查幾何變換綜合題、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC邊上一動點，CE⊥BD于E．（1）如圖（1），若BD平分∠ABC時，①求∠ECD的度數(shù)；②延長CE交BA的延長線于點F，補(bǔ)全圖形，探究BD與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），過點A作AF⊥BE于點F，猜想線段BE，CE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）①22.5°②BD=2CE（2）BE﹣CE=2AF【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CBA=45°，再利用角平分線的定義解答即可；②延長CE交BA的延長線于點F得出CE=FE，再利用AAS證明△ABD≌△ACF，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）過點A作AH⊥AE，交BE于點H，證明△ABH≌△ACE，進(jìn)而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解答即可．試題解析：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠CBA=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=22.5°，∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，∵∠CDE=∠BDA，∴∠ECD=∠DBA=22.5°；②BD=2CE．證明：延長CE交BA的延長線于點F，如圖1，∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE=FE，在△ABD與△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF=2CE；（2）結(jié)論：BE﹣CE=2AF．證明：過點A作AH⊥AE，交BE于點H，如圖2，∵AH⊥AE，∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，∴∠BAH=∠CAE，在△ABH與△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（ASA），∴CE=BH，AH=AE，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AF=EF=HF，∴BE﹣CE=2AF．點睛：本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的構(gòu)建出與所求和已知相關(guān)的全等三角形，是解答本題的關(guān)鍵．9．（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是__________．（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．【答案】（1）2<AD<8（2）證明見解析【分析】（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可；（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，BG=CF，再有DE⊥DF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．【詳解】(1)延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：AB?AC<AE<AC+AB，∴4<AE<16，∵AE=2AD，∴2<AD<8，即：BC邊上的中線AD的取值范圍2<AD<8；故答案為2<AD<8.(2)BE+CF>EF．理由：如圖2，過點B作交FD的延長線于G，∴∠DBG=∠DCF．∵D為BC的中點，∴BD=CD，又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD與△CFD中，∴△BGD≌△CFD(ASA)．∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥DF，∴EG=EF(垂直平分線到線段端點的距離相等)．∴在△EBG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．10．在中，，點D是直線上一點（不與B、C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，連接CE．(1)如圖1，當(dāng)點D在線段上，如果，則度；(2)如圖2，當(dāng)點D在線段上，如果，則度；(3)設(shè)①如圖3，當(dāng)點D在線段上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點D在直線上移動，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)(2)(3)①，理由見解析；②當(dāng)點D在線段及的延長線上時，；當(dāng)點D在的延長線上時，【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；（3）①由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（3）①，理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；②如圖4，當(dāng)點D在的延長線上時，，證明方法同①；如圖5，當(dāng)點D在的延長線上時，，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．11．如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（圖1）．△ABD不動，（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB＝MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關(guān)系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．【答案】（1）見解析；（2）MB=MC．理由見解析；（3）MB=MC還成立，見解析．【分析】（1）連接AM，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAD=∠CAE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠MAD=∠MAE，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根據(jù)等角對等邊即可得證；（3）延長BM交CE于F，根據(jù)兩直線