第06講實際問題與一元二次方程（7種題型）（原卷版）

第06講實際問題與一元二次方程（7種題型）1.能運用一元二次方程解決實際問題.（重點）2.正確分析問題中的數(shù)量關系并建立一元二次方程模型.（難點）知識點1：列一元二次方程解應用題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.知識點2：常見相關問題的數(shù)量關系及表示方法題型1：增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問題此類問題屬于幾何圖形的應用問題，解決問題的關鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內在關系并列出方程.題型3：比賽統(tǒng)計問題比賽問題：解決此類問題的關鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．題型4：傳播問題傳播問題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．題型5：銷售利潤問題利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1稅率)]=本息和(收利息稅時)

利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

題型1：增長率問題例1．（2022?南通）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個平均增長率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%例2．（2021?鹽城）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農場一種作物的產量兩年內從300千克增加到363千克．設平均每年增產的百分率為x，則可列方程為．題型2：面積問題例3．（2020?南通）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設長為x步，則可列方程為．例4．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學校考期中）如圖，長方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是．處開一門，寬度為．設的長度是，根據題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．例5．（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？題型3：比賽統(tǒng)計問題例6．（2021秋·江蘇無錫·九年級宜興市樹人中學校聯(lián)考階段練習）一次足球聯(lián)賽實行單循環(huán)比賽（每兩支球隊之間都比賽一場），計劃安排15場比賽，設應邀請了x支球隊參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是（）A． B．C． D．例7．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）為了迎接第二十二屆世界杯足球賽，卡塔爾某地區(qū)舉行了足球邀請賽，規(guī)定參賽的每兩個隊之間比賽一場，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者邀請了個隊參賽，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．例8．（2023·江蘇泰州·九年級?？计谀┚拍昙壟e行班級足球賽，先把所有班通過抽簽平均分成A，B兩組，在每一組中進行單循環(huán)的小組賽（每兩個班之間比賽一場），再從每組的前4名選出進行比賽，最后進行決賽得出名次；若A組共進行了21場小組賽，則九年級共有______個班．題型4：傳播問題例9．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）美國有一人感染新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有100個人感染，那么每輪傳染中，平均一個人感染x人，可列方程為____________________．例10．（2022秋·江蘇連云港·九年級階段練習）新冠肺炎傳染性很強，曾有2人同時患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經過兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為___________．題型5：銷售利潤問題例11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）某工廠生產的某種零件按供需要求分為8個檔次．若生產第一檔次（最低檔次）的產品，一天可生產件，每件的利潤為元，每提高一個檔次，每件的利潤增加3元，每天的產量將減少2件．請解答下列問題，設產品的檔次（每天只生產一個檔次的產品）為x，若該產品一天的總利潤為元，求這天生產產品的檔次x的值．例12．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）某商場“國慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場采取了降價措施，假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．(1)如果襯衫的單價降了15元，求降價后商場銷售這批襯衫每天盈利多少元；(2)如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？例13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，五月份的銷售量達到400件．(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？題型6：圖表信息題例14．（2022秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票例15．（江蘇南京·九年級階段練習）某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．（1）填表（結果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？題型7：動點問題例16．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點出發(fā)沿以cm/s的速度向點運動，當時，點運動的時間為（）A．s B．2s C．10s D．10s或2s例17．（2022秋·江蘇常州·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，過原點O及點、作矩形OABC，的平分線交AB于點D，點P從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒，求當t為多少秒時，為直角三角形．一、單選題1．（2023春·江蘇淮安·八年級?？计谥校┤鐖D，某小區(qū)計劃在一塊長為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為，若設道路的寬為，則所列的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一塊相鄰兩邊長分別為、的矩形綠地內，開辟一個矩形的花圃，使四周的綠地等寬，且花圃的面積與四周綠地的面積相等．設四周綠地的寬是，根據題意，可列出方程（）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）某網絡學習平臺年的新注冊用戶數(shù)為萬，年的新注冊用戶數(shù)為萬，設新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（），根據題意所列方程正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用長為的柵欄圍成一個面積為的矩形花圃．為方便進出，在邊上留有一個寬的小門．設的長為，根據題意可得方程（

）A． B．C． D．二、填空題5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）為建設美麗句容，改造老舊小區(qū)，我市年投入資金萬元，年投入資金萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．求我市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率____．6．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）《田畝比類乘除捷法》中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．”譯文：一個矩形的面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各多少步?設矩形的寬為步，由題意，可列方程為____________．7．（2021秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）已知一個數(shù)的平方減去30的差等于這個數(shù)本身，則這個數(shù)為___．8．（2021秋·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）某商品進貨價為每件10元，售價每件30元時平均每天可以售出20件，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，設每件應降價x元，可列出方程為__________________．三、解答題9．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）某商品每件進價為30元，當銷售單價為50元時，每天可以銷售60件．市場調查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每提高1元，日銷售量將會減少2件，物價部門規(guī)定該商品銷售單價不能高于65元，設該商品的銷售單價為（元），日銷售量為（件）．(1)與的函數(shù)關系式為________；(2)要使日銷售利潤為800元，銷售單價應定為多少元？10．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃懊褚允碁樘?，食以糧為先”，糧食安全事關國計民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農業(yè)科技公司對原有小麥進行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產量在去年的基礎上增加了，每千克售價也在去年的基礎上上漲了，全部售出后總收入將增加．(1)求a的值；(2)如果明年的種植面積仍然不變，預計明年小麥平均畝產量將在今年的基礎上增加，每千克售價將在今年的基礎上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎上增加的百分數(shù)．11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物“冰墩墩”，進價為每個15元，第一天以每個25元的價格售出30個，為了讓更多的消費者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出3個．設銷售單價定為x元．(1)超市從第二天起日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)針對這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，那么“冰墩墩”的銷售單價應定為多少元？12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預測）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個．乙現(xiàn)在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價均為整數(shù)．(1)當甲的售價提高x元，乙的售價為元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？13．（2021秋·江蘇揚州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以的速度移動．(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于？(2)在（1）中，面積能否等于？請說明理由．14．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）某校為表彰“學生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學生，計劃購買古典詩詞和散文兩類圖書作為獎品．已知古典詩詞類圖書每本60元，散文類圖書每本40元．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，商家決定對古典詩詞類圖書推出銷售優(yōu)惠活動，但是散文類圖書售價不變．若購買古典詩詞類圖書不超過40本時，均按每本60元價格銷售；超過40本時，每增加2本，單價降低1元．(1)如果購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價是______元；(2)如果該校共購進圖書100本，用去購書款4750元．求該校購進古典詩詞類圖書多少本？一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）某農機廠四月份生產零件50萬個，第二季度共生產零件182萬個．設該廠第二季度平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A． B．C． D．2．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）銅羅中學組織一次乒乓球賽，比賽采用單循環(huán)制，要求每兩隊之間賽一場．若整個比賽一共賽了45場，則有幾個球隊參賽？設有x個球隊參賽，則下列方程中正確的是（）A．x（x+1）=45 B． C．x（x﹣1）=45 D．二、填空題3．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）美國有一人感染新冠肺炎，經過兩輪傳染后共有100個人感染，那么每輪傳染中，平均一個人感染x人，可列方程為____________________．4．（2023·江蘇揚州·九年級專題練習）如圖，在一塊長、寬的矩形荒地上，要建造一個矩形花園，圖中陰影部分是花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半，花園外部四周修建寬度相同的小路，求圖中的小路的寬是多少米？設小路的寬度為，所列方程式是______．5．（2022秋·江蘇·七年級專題練習）小明在計算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個數(shù)為_________．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，則每件襯衫應降價多少元？設每件襯衫降價x元，由題意列得方程______．7．（2022秋·江蘇常州·九年級常州市第二十四中學?？茧A段練習）如圖，在中，，點、同時由、兩點出發(fā)，點在上沿方向以的速度移動，點在上沿方向以的速度移動，則________秒鐘后，的面積為？三、解答題8．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）2023年3月12日，大豐區(qū)飛達路初級中學開展“為校園增添一點綠色”為主題的植樹活動，組織七年級、八年級、九年級分別在12日、13日、14日進行植樹活動，七年級學生在12日種植了25棵樹苗，學生們在種植的過程中聽老師講解植樹綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹增長率相同，九年級學生在14日種植了49棵樹苗．(1)求平均每天植樹的增長率？(2)求此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)？9．（江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標準不超過人人均收費元超過人每增加一人，人均收費減少元，但人均收費不低于元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？10．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？计谀┮咔槠陂g，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多