2021-2022學年浙江七年級第二學期數(shù)學競賽沖刺卷02(原卷版+解析)

2021-2022學年浙江七年級第二學期數(shù)學競賽沖刺卷02一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）設m為一個有理數(shù)，則|m|﹣m一定是（）A．負數(shù) B．正數(shù) C．非負數(shù) D．非正數(shù)2．（5分）若a，b為有理數(shù)，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，則a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．163．（5分）已知：4+和4﹣的小數(shù)部分分別是a和b，則ab﹣3a+4b﹣7等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣64．（5分）如圖，已知AB∥CD，∠BCD的三等分線是CP，CQ，又CR⊥CP，若∠B＝78°，則∠RCE＝（）A．66° B．65° C．58° D．56°5．（5分）有鉛筆、練習本、圓珠筆三種學習用品，若購鉛筆3支，練習本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習本、圓珠筆各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元6．（5分）已知a是任意有理數(shù)，在下面各題中結論正確的個數(shù)是（）①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整數(shù)解共有（）A．1002個 B．1001個 C．1000個 D．2002個8．（5分）今有長度分別為1，2，…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有（）A．5組 B．7組 C．9組 D．11組二．填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）9．（5分）一個自然數(shù)n減去59之后是一個完全平方數(shù)，加上30之后仍是一個完全平方數(shù)，則n＝．10．（5分）248﹣1能夠被60～70之間的兩個數(shù)整除，則這兩個數(shù)是．11．（5分）如果（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a0+a2+a4+a6＝．12．（5分）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．13．（5分）若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，x，y，z都為非負實數(shù)，則M＝5x+4y+2z的取值范圍是．14．（5分）對自然數(shù)a．b．c，定義運算*，設其滿足（a*b）*c＝a*（bc），（a*b）（a*c）＝a*（b+c），則4*3的值為．三．解答題（共4小題，滿分50分）15．（12分）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．（12分）某大型超市元旦假期舉行促銷活動，規(guī)定一次購物不超過100元的不給優(yōu)惠；超過100元而不超過300時，按該次購物全額9折優(yōu)惠；超過300元的其中300元仍按9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠．小美兩次購物分別用了94.5元和282.8元，現(xiàn)小麗決定一次購買小美分兩次購買的同樣的物品，則小麗應該付款多少元？17．（12分）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（直接寫出結果）．（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù)．18．（14分）某建筑公司承包了兩項工程，分別由兩個工程隊施工，根據(jù)工程進度情況，建筑公司可隨時調(diào)整兩隊的人數(shù)，如果從甲隊調(diào)70人到乙隊，則乙隊人數(shù)為甲隊人數(shù)的2倍，如果從乙隊調(diào)若干人去甲隊，則甲隊人數(shù)為乙隊人數(shù)的3倍，問甲隊至少有多少人？2021-2022學年浙江七年級第二學期數(shù)學競賽沖刺卷02一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）設m為一個有理數(shù)，則|m|﹣m一定是（）A．負數(shù) B．正數(shù) C．非負數(shù) D．非正數(shù)【解答】解：∵m為有理數(shù)，∴|m|≥0，當m＞0，|m|﹣m＝m﹣m＝0；當m＜0，|m|﹣m＝﹣m﹣m＝﹣2m＞0；當m＝0，|m|﹣m＝0﹣0＝0．綜上所述，當m為有理數(shù)時，|m|﹣m一定是非負數(shù)．故選：C．【點評】本題通過求代數(shù)式的值考查了絕對值的代數(shù)意義，正數(shù)的絕對值等于其本身，0的絕對值是0，負數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)．2．（5分）若a，b為有理數(shù)，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，則a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【解答】解；∵2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，即a2﹣2ab+b2+a2+4a+4＝0，∴（a﹣b）2+（a+2）2＝0，故a﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝﹣2．故a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣16．故選：B．【點評】本題考查了完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題，關鍵是掌握幾個非負數(shù)相加等于0，各個非負數(shù)都為0．3．（5分）已知：4+和4﹣的小數(shù)部分分別是a和b，則ab﹣3a+4b﹣7等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，4+3＜4+＜4+4，∴4﹣3＞4﹣＞4﹣4，即7＜4+＜8，0＜4﹣＜1，∴a＝4+﹣7＝﹣3，b＝4﹣﹣0＝4﹣，∴ab﹣3a+4b﹣7＝（﹣3）×（4﹣）﹣3×（﹣3）+4×（4﹣）﹣7＝4﹣11﹣12+3﹣3+9+16﹣4﹣7＝﹣5．故選：C．【點評】本題考查了無理數(shù)的大小和實數(shù)的運算，關鍵是確定a和b的值，題目比較好，難度適中．4．（5分）如圖，已知AB∥CD，∠BCD的三等分線是CP，CQ，又CR⊥CP，若∠B＝78°，則∠RCE＝（）A．66° B．65° C．58° D．56°【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCD＝180°﹣78°＝102°，∵∠BCD的三等分線是CP，CQ，∴∠BCP＝×∠BCD＝×102°＝68°，∵CR⊥CP，∴∠BCR＝90°﹣∠BCP＝90°﹣68°＝22°，∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCE＝∠B＝78°，∴∠RCE＝∠BCE﹣∠BCR＝78°﹣22°＝56°．故選：D．【點評】本題主要考查了兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)以及角的計算，準確識圖，并仔細分析從而求出∠BCR的度數(shù)是解題的關鍵．5．（5分）有鉛筆、練習本、圓珠筆三種學習用品，若購鉛筆3支，練習本7本，圓珠筆1支共需3.15元；若購鉛筆4支，練習本8本，圓珠筆2支共需4.2元，那么，購鉛筆、練習本、圓珠筆各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【解答】解：設購一支鉛筆，一本練習本，一支圓珠筆分別需要x，y，z元，根據(jù)題意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故選：B．【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)題意列出方程組，同時還要有整體思想．6．（5分）已知a是任意有理數(shù)，在下面各題中結論正確的個數(shù)是（）①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①當a≠0時，x＝0，錯誤；②當a≠0時，兩邊同時除以a，得：x＝1，錯誤；③ax＝1，當a≠0時，兩邊同時除以a，得：x＝，錯誤；④當a＝0時，x取全體實數(shù)，當a＞0時，x＝1，當a＜0時，x＝﹣1，錯誤．故選：A．【點評】本題考查了一元一次方程的解法，注意：當是含字母的系數(shù)時，一定要保證字母的系數(shù)不為0，才能同時除以這個字母的系數(shù)．7．（5分）方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整數(shù)解共有（）A．1002個 B．1001個 C．1000個 D．2002個【解答】解：|x|+|x﹣2002|是數(shù)軸上點x到0和2002的距離的之和，記為d．顯然，當0≤x≤2002時，d＝2002；當x＜0或x＞2002時，d＞2002．同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是數(shù)軸上的點x到兩點1001和3003的距離之和，記為d′，顯然當1001≤x≤3003時，d′＝2002；當x＜1001或x＞3003時，d′＞2002．因此，如果，1001≤x≤2002，則d＝d′＝2002；如果2002＜x≤3003，則d＞2002＝d′；如果0≤x＜1001，則d′＞2002＝d；如果x＞3003，則d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；如果x＜0，則d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．所以題設方程是符合1001≤x≤2002的所有整數(shù)，共有1002個．故選：A．【點評】本題主要考查了絕對值的意義，利用討論正確去掉絕對值符號是解決本題的關鍵．8．（5分）今有長度分別為1，2，…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有（）A．5組 B．7組 C．9組 D．11組【解答】解：顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條．當用7條線段去拼接成正方形時，有3條邊每邊都用2條線段連接，而另一條邊只用1條線段，其長度恰好等于其它3條邊中每兩條線段的長度之和．當用8條線段去拼接成正方形時，則每邊用兩條線段相接，其長度和相等．又因為1+2+…+9＝45，所以正方形的邊長不大于．由于7＝1+6＝2+5＝3+4；8＝1+7＝2+6＝3+5；9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5；1+9＝2+8＝3+7＝4+6；2+9＝3+8＝4+7＝5+6．所以組成邊長為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成邊長為9的正方形，有5種方法，故這樣的“線段組”的組數(shù)有9組．故選：C．【點評】考查了計數(shù)方法，推理與論證，得到所組合正方形的最大邊長與最小邊長的長度是解決本題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）9．（5分）一個自然數(shù)n減去59之后是一個完全平方數(shù)，加上30之后仍是一個完全平方數(shù)，則n＝1995．【解答】解：設n﹣59＝a2，n+30＝b2，則a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×89，即（a+b）（a﹣b）＝﹣1×89．但a+b與a﹣b的奇偶性相同，故a+b＝89，a﹣b＝﹣1，于是a＝44，b＝45，從而n＝1995．故答案為：1995．【點評】本題考查了完全平方數(shù)的應用，考查了因式分解法求值的應用，考查了奇偶性的判定．10．（5分）248﹣1能夠被60～70之間的兩個數(shù)整除，則這兩個數(shù)是65、63．【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1），＝（224+1）（212+1）（212﹣1），＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26＝64，∴26﹣1＝63，26+1＝65，故答案為65、63．【點評】本題考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范圍內(nèi)的解是本題解題的思路．11．（5分）如果（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，a0+a2+a4+a6＝365．（2）所求式子為恒等式右邊系數(shù)的和，令x＝﹣1即可，與（1）式相加，奇數(shù)項系數(shù)抵消，可得出偶數(shù)項系數(shù)的和．【解答】解：（1）令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝（2×1﹣1）6＝1；（2）令x＝﹣l，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[2×（﹣1）﹣1]6＝729；與（1）式相加，得2a0+2a2+2a4+2a6＝730，解得a0+a2+a4+a6＝365，故答案為：1，365．【點評】本題考查了代數(shù)式的求值問題，關鍵是充分運用恒等式的意義，給x取不同的值，得出所求式子的值．12．（5分）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝4．【解答】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了整式的混合運算，化簡求值．關鍵是關鍵是利用立方和公式，完全平方公式將代數(shù)式變形，整體代入求值．13．（5分）若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，x，y，z都為非負實數(shù)，則M＝5x+4y+2z的取值范圍是120≤M≤130．【解答】解：由題意得，且x≥0，y≥0，z≥0由②﹣①得x﹣z＝10，即x＝10+z由①×3﹣②得2y+4z＝40，即y＝20﹣2z，又∵x≥0，y≥0，z≥0，∴0≤z≤10，∵M＝5x+4y+2z＝（2x+2y+2z）+（3x+y﹣z）+（y+z）＝130﹣z，∴120≤M≤130．故答案為：120≤M≤130．【點評】解決本題的關鍵是根據(jù)題意確定z的取值范圍．14．（5分）對自然數(shù)a．b．c，定義運算*，設其滿足（a*b）*c＝a*（bc），（a*b）（a*c）＝a*（b+c），則4*3的值為64．【解答】解：∵（a*b）（a*c）＝a*（b+c），∴4*3＝4*（2+1）＝（4*2）（4*1）＝[4*（1+1）]（4*1）＝（4*1）（4*1）（4*1）＝（4*1）3，又∵（a*b）*c＝a*（bc），∴（4*1）*1＝4*（1×1）＝4*1，∴4*1＝4，∴4*3＝43＝64．故答案為：64．【點評】此題考查有理數(shù)與無理數(shù)的概念與運算的知識．屬于了新定義題型，此題難度較大，注意根據(jù)題意求得4*3＝（4*1）3與4*1＝4是解此題的關鍵．三．解答題（共4小題，滿分50分）15．（12分）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．【解答】解：，①，②由①+②，得a﹣c＝，③∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝，∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝，∵a2+b2+c2＝1，∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，∴ab+bc+ca＝＝．【點評】本題考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知條件轉(zhuǎn)化為三個完全平方式，然后將a2+b2+c2＝1整體代入求值即可．16．（12分）某大型超市元旦假期舉行促銷活動，規(guī)定一次購物不超過100元的不給優(yōu)惠；超過100元而不超過300時，按該次購物全額9折優(yōu)惠；超過300元的其中300元仍按9折優(yōu)惠，超過部分按8折優(yōu)惠．小美兩次購物分別用了94.5元和282.8元，現(xiàn)小麗決定一次購買小美分兩次購買的同樣的物品，則小麗應該付款多少元？【解答】解：因為100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，設小美第二次購物的原價為x元，則（x﹣300）×0.8+300×0.9＝282.8解得，x＝316所以有兩種情況：情況1：小美第一次購物沒有優(yōu)惠，第二次購物原價超過300元則小麗應付（316+94.5﹣300）×0.8+300×0.9＝358.4（元）情況2：小美第一次購物原價超過100元，第二次購物原價超過300元；則第一次購物原價為：94.5÷0.9＝105（元）所以小麗應付（316+105﹣300）×0.8+300×0.9＝366.8（元）．答：小麗應該付款358.4元或366.8元．【點評】本題考查了一元一次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，注意分情況討論．17．（12分）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為10或40（直接寫出結果）．（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù)．（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，則∠R