專題05圓的綜合應(yīng)用題-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專題05圓的綜合應(yīng)用題題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練中考圓的命題趨勢(shì)主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)接四邊形、切線等知識(shí)點(diǎn)。這些知識(shí)點(diǎn)常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，也考察學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會(huì)直接考查學(xué)生對(duì)圓心角與圓周角及圓的切線等知識(shí)的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會(huì)涉及到圓的對(duì)稱性、圓與三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算。此外，還可能會(huì)涉及到與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合。模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問(wèn)基本上考查的為圓的性質(zhì)，主要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時(shí)，需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，尤其是菱形、矩形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。圓的綜合問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類，也是難度較大的一類，所以，對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練很有必要。模型03情景與應(yīng)用題型情景與應(yīng)用題型是圓知識(shí)點(diǎn)的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算考｜向｜預(yù)｜測(cè)與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主。解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；第二步：碰到直徑想直角，直徑所對(duì)的圓周角為90°；第三步：看到切線——連半徑——90°，證明切線時(shí)注意證明90°；第四步：圓內(nèi)接四邊形——對(duì)角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對(duì)角；例1．（2023·河南）如圖，在中，，．以為圓心，為半徑的圓O交于點(diǎn)．點(diǎn)在上，連接，，若，則圓O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．例2.（2023·安徽）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接、、，則的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（2023·湖北）如圖，是的直徑，，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在上，連接，，，．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究考｜向｜預(yù)｜測(cè)特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要考查對(duì)圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識(shí)的應(yīng)用。實(shí)際題型中對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多問(wèn)題的討論中需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)。答｜題｜技｜巧第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；第三步：四邊形的存在性問(wèn)題注意假設(shè)、反推；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2023·湖北）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．若，則度．例2．（2023·江西）課本改編（1）如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，則度，度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線不是的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．知識(shí)運(yùn)用（3）如圖3，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，連接，求證：是的切線．模型03情景與應(yīng)用題型考｜向｜預(yù)｜測(cè)圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。答｜題｜技｜巧第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題；例1．（2022·河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．(1)求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測(cè)得．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長(zhǎng)為75cm，求此時(shí)AD的長(zhǎng)．例2．（2022·江蘇）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長(zhǎng)是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過(guò)數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2022·四川省）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．無(wú)法確定2．（2023·廣東）如圖，為⊙O的直徑，，，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．3．（2023·福建）的半徑為，弦．若，則和的距離為（）A． B． C．或 D．或4．（2023·北京）如圖，為的直徑，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江）如圖，在中，，以為直徑作圓，交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023?陜西）如圖，是的外接圓，．過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（2023?上海）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于，那么這個(gè)正多邊形的中心角為度．8．（2022?上海）如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．如果，，那么的長(zhǎng)是．9．（2023?長(zhǎng)寧）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)，已知，，，那么的值為．10．（2023·湖南）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．若的半徑為．(1)若，求證：平分；(2)試用含的式子表示的值；(3)記，，，的面積分別為，，，，當(dāng)時(shí)，求證：．11．（2022·浙江）如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件．管片的橫截面（陰影部分）如圖2所示，是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長(zhǎng)線交于圓心，甲、乙、丙三個(gè)小組分別采用三種不同的方法，測(cè)算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑．

(1)如圖2，，的延長(zhǎng)線交于圓心，若甲組測(cè)得，，，求的長(zhǎng)．(2)如圖3，，的延長(zhǎng)線交于圓心，若乙組測(cè)得，，，直接寫出的長(zhǎng)．(3)如圖4，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體木塊固定，管片與地面的接觸點(diǎn)L為的中點(diǎn)，若丙組測(cè)得，，求該管片的外圓弧半徑．1．（2024·陜西西安·一模）如圖，點(diǎn)A，B在以為直徑的半圓上，B是的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·一模）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，半徑，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．C．D．若的半徑為5，，則4．在中，，點(diǎn)O是斜邊邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點(diǎn)D，連接，若，的半徑為4，則的長(zhǎng)度為（）A． B．4 C．3 D．55．如圖，半徑長(zhǎng)，點(diǎn)A、B、C是三等分點(diǎn)，D為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)E，則（）

A． B． C． D．6．（2023·浙江金華·三模）如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以，為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．則面積的最小值是()A． B．6 C．8 D．7．（2024·河南漯河·一模）如圖圓的半徑是4，是弦，且A是弧的中點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．68．（2024·重慶·一模）如圖，是的直徑且，點(diǎn)在圓上且，的平分線交于點(diǎn)，連接并過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則弦的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．4 D．9．如圖，半徑長(zhǎng)，點(diǎn)、、是三等分點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．10．如圖，有圓O，內(nèi)部有四邊形，連接和，已知是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．如圖，是的直徑，與⊙O相切于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，連接，．若，，則的長(zhǎng)度是．12.（2023?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝3．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為．13．如圖，AB是O的直徑，AC是弦，且OD⊥AC于點(diǎn)E，OD交⊙O于點(diǎn)F，連接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．(1)求證：AD是⊙O的切線：(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的長(zhǎng)．14．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．15.（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑，平分，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：．16．【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在弧AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連接BE，通過(guò)證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊