2022年江蘇新高二數(shù)學(xué)暑假教材講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）第02講 玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問(wèn)題（含詳解）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問(wèn)題

新【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會(huì)求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

L【基礎(chǔ)知識(shí)】

知識(shí)點(diǎn)1.求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法

(1)若P是平面。外一點(diǎn)，。是平面a內(nèi)的一條直線，過(guò)P作平面a的垂線P。，。為垂足，過(guò)。作

O4_La,連接心,則以附_L〃.則線段用的長(zhǎng)即為P點(diǎn)到直線。的距離(如圖所示).

巨____________/(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直

線與平面的距離.

3)求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過(guò)點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長(zhǎng)，通常要借助于某個(gè)直角三角形來(lái)

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來(lái)求解.

知識(shí)點(diǎn)2,異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟：

[1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線.

：2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)(2)所求角大小為。.若(rve?90°,則。即為所求；若90。<6<180。，則180。-6即為所

求.

知識(shí)點(diǎn)3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；

⑵通過(guò)斜線上除斜足以外的某?點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角:

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NAOB

為二面角a-//的平面角.

圖①圖②圖③(2)垂直法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面

與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，N408為二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為8,由點(diǎn)8向二面角

的棱作垂線，垂足為。，連接A。，則NA08為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，NAQ8為二面角

的平面角.

知識(shí)點(diǎn)5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

人【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：異面直線所成的角

注y1.在空間四邊形ABCD中，E,尸，G,”分別是AB,BC,CD,的中點(diǎn)，若AC=8D=2,

且AC與5。所成的角為60。，則EG的長(zhǎng)為()

A.1或&B.&或6C.1或GD.g或3

考點(diǎn)二：線面角

例2.如圖，在三棱柱ABC-A&C中，底面48。是正三角形，A4'J_底面ABC,且4?=1,AAr=2,

則直線BC與平面AB^A所成角的正弦值為

考點(diǎn)三：二面角

A

力^例3.在四棱錐尸一A8CD中，底面ABCO是菱形，ZABC=60°,E4J_平面A8CO,PA=AB=2.

(2)求二面角P-CD-A的正弦值.

考點(diǎn)四：距離問(wèn)題

江］例4.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1BC,AA,=AC,AB=2BC=2,E,尸分別是AG，AB

的中點(diǎn).

(1)證明：AE〃平面4cL.

(2)求點(diǎn)C到平面用GF的距離.

考點(diǎn)五：體積問(wèn)題

5.如圖，在四棱錐尸-A8c。中，平面A8CD,四邊形48co為正方形，點(diǎn)尸為線段PC上

的點(diǎn)，過(guò)A,D,尸三點(diǎn)的平面與尸8交于點(diǎn)E.

(1)證明：所〃平面ABC。；

(2)若E為尸8中點(diǎn)，且人8=Q4=2,求四棱錐。的體積.

【真題演練】

1.在正方體ABCO-AMG。中，P為4A的中點(diǎn)，則直線PB與所成的角為()

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SDJ_底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角1.線面平行垂直的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段48上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與8C

所成的角為4，SE與平面A3CO所成的角為打，二面角S-AB-C的平面角為名,則

A.0,<02<0,B.44名44C.0,<0,<02D.名鋼的

4.在正方體486-ABCiA中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與C。所成角的正切值為

A.立B.3C.在D.立

2222

5.已知正方體ABC。-中，E、尸分別為4線、CG的中點(diǎn)，那么異面直線AE與。尸所成角的余

弦值為.

如下圖，在四棱錐S-AB8中，底面ABCO是正方形，平面SADJ_平面A8CD,

SA=SD=2,AB=3.

（1）求SA與8C所成角的余弦值;

(2)求證：AB1SD.

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

BC=3.

(1)證明：BC〃平面PDA；

證明：BC1PD；

(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.

8.如圖，在圓錐PO中，已知尸。=應(yīng)，圓0的直徑A8=2,點(diǎn)C在A8上，且NC48=30。，。為AC的

中點(diǎn).

(I)證明：ACPOD；

(II)求直線0C和平面PAC所成角的正弦值.

P

尸是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDE尸所在平面外一點(diǎn)，PA=\,P

(I)證明P4JLM；

(II)求面AP3與面所成二面角的大小的余弦值.

10.在匹棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,平面L平面ABCD,

點(diǎn)M在線段PB上，？￡)〃平面MAC,PA=PD.

(1)判斷M點(diǎn)在P8的位置并說(shuō)明理由;

⑵記直線。M與平面外。的交點(diǎn)為K,求R的值；

KM

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為斗,求二面角M-CD-A的平面角的正切值.

11.如圖，在長(zhǎng)方體中，A￡>=1,AB=AAi=2,H,尸分別是棱GR，8片的中

(1)判斷直線“/與平面A6cA的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)求直線"/與平面A8CO所成角的正弦值;

(3)在線段HF上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。到平面ABC"的距離是應(yīng)，若存在，求出要的值；若不存在,

HF

說(shuō)明理由.

1.在長(zhǎng)方體ABC?！狝8GA中，AB=AA.=2fAO=3,點(diǎn)E、尸分別是棱A3、從片的中點(diǎn)，E、尸、

Gc平面。，直線AAn平面。=尸，則直線即與直線CR所成角的余弦值為()

A.立B.述C.在D.叵

3399

2.在正方體488-A媯GA中，E,尸分別為棱A。，4線的中點(diǎn)，則異面直線E尸與CR夾角的余弦值為

()

A.3B.3C.—D.—

6363

3.如圖所示,三棱錐P-A8C的底面48c是等腰直角三角形，ZACB=90t^PA=PB=AB=2,PC=2夜,

則PC與平面以B所成角的余弦值等于)

A

B

人?普x/3D,也

r\.z>----

33

4.在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是A3,BC,CD,D4的中點(diǎn)，若AC=8O=2,且AC與

8。所成的角為60。，則EG的長(zhǎng)為（)

n1t5/3

A.1或加B.四或白C.1或石D.7或匚

22

5.在棱長(zhǎng)為1的正方體相8-A4GA中，。為正方形的中心，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BO1AC

C.點(diǎn)8到平面AC"的距離為6

D.直線8。與直線A"的夾角為？

6.在正方體ABC。-ABGN中，瓦EG分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

2

c.異面直線AG與律所成角的余弦值為典

10

D.點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍

7.如圖，A8是半球的直徑，。為球心，A8=4,M,N依次是半圓AS上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，戶是半球面上一

點(diǎn)，且PN上MB,

(1)證明：平面P8M_L平面PON

代/0\1.一沙

(2)若點(diǎn)P在底面圓內(nèi)的射影恰在匕求二面角A-PB-N的余弦值.

8.己知平面四邊形A8C￡>,AB=AD=2,Za4D=60°,ZBCD=30°,現(xiàn)將△A8D沿邊折起，使得平

面ABD_L平面88,此時(shí)AD_LCD,點(diǎn)P為線段AO的中點(diǎn).

AA

\W%)求證：HPJ_平面AC。；

\7,

c

(2)若歷為。。的中點(diǎn)，求MP與平面8PC所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，求二面角P-8M-。的平面角的余弦值.

9.已知四棱錐尸-A8CQ的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面A8CD

4B

(1)求證：AC_L平面尸BQ；

(2)當(dāng)PZ)=1,80=我時(shí)，求直線//與所成角的余弦值；

10.已知四棱錐P-A88的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，尸。_L底面A8CQ

⑴求證：AC_L平面產(chǎn)或＞；

(2)已知PD=1,

(i)當(dāng)80=近時(shí)，求直線即與A。所成角的余弦值；

(ii)當(dāng)直線內(nèi)與平面46CO所成的角為45。時(shí)，求四棱錐A6CO的體積.

11.在直三棱柱ABC—AgG中，ZABC=90°,AB=BC=1,

(1)求異面直線8c與4。所成角正切值的大小;

(2)求點(diǎn)片與平面ABC的距離.

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問(wèn)題

威

學(xué)靜【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所

成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細(xì)心體會(huì)求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想。

3.掌握各種距離和距離的求解方法.

:尸,【基礎(chǔ)知識(shí)】

知識(shí)點(diǎn)1.求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法

(1)若尸是平面。外一點(diǎn)，。是平面a內(nèi)的一條直線，過(guò)P作平面。的垂線尸。，。為垂足，過(guò)。作

OA_La,連接以，則以以_La.則線段朋的長(zhǎng)即為尸點(diǎn)到直線。的距離(如圖所示).

3------------------------/(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直

線與平面的距離.

[3)求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過(guò)點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長(zhǎng)，通常要借助于某個(gè)直角三角形來(lái)

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來(lái)求解.

知識(shí)點(diǎn)2,異面直線所成角的常用方法

求異面直線所成角的一般步驟：

。)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，常考志中位線.

(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)(2)所求角大小為。.若(T<6<90°,則。即為所求；若90。<<9<180。，則180。-6即為所

求.

知識(shí)點(diǎn)3.直線與平面所成角的常用方法

求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟⑴確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；

⑵通過(guò)斜線.上除斜足以外的某?點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角：

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)4.作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則NA08

為二面角。-/力的平面角.

圖①圖②圖③(2)垂直法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面

與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，NA08為二面角a-1-p

的平面角.

(3)垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為8,由點(diǎn)8向二面角

的棱作垂線，垂足為。，連接4。，則NA08為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，NAQ8為二面角

的平面角.

知識(shí)點(diǎn)5.求體積的常用方法

選擇合適的底面，再利用體積公式求解.

.【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：異面直線所成的角

d1.在空間四邊形ABCD中，E,尸，G,”分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，若AC=8D=2,

且AC與5。所成的角為60。，則EG的長(zhǎng)為()

A.1或&B.及或6C.1或GD.g或亭

【答案】C

【解析】

【分析】

連接E兄FG,EG,根據(jù)異面直線所成角的意義，在AE-G中分情況計(jì)算作答.

【詳解】

A

連接ERFG,EG,如圖,

依題意，EF//AC.FG//BD,^.EF=-AC=l,FG=-BD=\,

22

因AC與BO所成的角為60°,則NEFG=60。或Z.EFG=120，

當(dāng)/及匕=60。時(shí)，△瓦G是正三角形，皿=1,

當(dāng)NEFG=120時(shí)，EG=2￡Fcos4FEG=2cos30°=石，

所以EG的長(zhǎng)為1或

故選：C

考點(diǎn)二；線面角

2.如圖，在三棱柱A8C—A&C中，底面48c是正三角形，A4'_L底面48C,且AB=1,A4=2,

則直線BC與平面ABffA1所成角的正弦值為

【答案】姮##［厲

1010

【解析】

【分析】

取A:Ef的中點(diǎn)。，連接OCOB,則CC±平面A8'C',CO_LA9,由AA〃CC，得CO_LA4',從而Z.CBO

是直線BC與平面A8&A所成角，由此能求出直線BC與平面AB&A!所成角的正弦值.

【詳解】

解：取40的中點(diǎn)O,連接OC'QA.

因?yàn)樵谌庵鵄5C-A&C中，底面A8C是等邊三角形，且A4'_L底面ABC，

所以CCJ_平面A'8'C',CO_LA￡,

因?yàn)锳A'〃C'C，所以COJ_A4',

所以ACBO是直線BC與平面A8&A'所成角，

因?yàn)?8=1,A4'=2,

所以5C=^/i7涯=^/5,c'o=「|=孝，

-r

所以〈in/「we-C'0_T_V>5>所以直線8c與平面ABBW所成角的正弦值為如，

sinzcDU=-------=-7=-=---------------------------m

BC,7510,u

故答案為：姮.

10

考點(diǎn)三：二面角

ZABC=60°,%_!_平面ABC。，PA=AB=2.

(2)求二面角P-8-4的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵乎

【解析】

【分析】

(1)作輔助線，證明ACLBO,PAVBD>即證明8￡>J_平面B4C,根據(jù)線而垂直的性質(zhì)及可證明結(jié)論；

(2)取CO中點(diǎn)為點(diǎn)F,連接匕證明CDL平面PAF,從而說(shuō)明NAFP是二面角P-CO-A的平面角.解

直角三角形4PF,即可求得答案.

(1)

證明：連接AC交于3。點(diǎn)0,

因?yàn)榈酌鍭8CO是菱形，

所以ACJ_BO.

又因?yàn)镻4_L平面48CD,3Ou平面A8CQ,

PA1BD，

又因?yàn)镻ACIAC=A，

所以8O_L平面朋C,PCu平面附C,

所以3￡>_LPC.

(2)

取CO中點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接AF,PF,

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，AABC=ZADC=60°，

所以AACD是等邊三角形，

所以A”_LCO.

因?yàn)锳1J■平面A8C￡>,CDu平面ABCD.

所以R4_LCO,

而

所以CO_L平面以尸，P尸u平面21/，

所以C0JLP尸，

所以NA尸P是二面角P-CD-A的平面角.

因?yàn)?D=R4=2,則A尸=J5,

因?yàn)镽4_LAF,

所以"=也2+3=/，

所以sinNA尸「=3=班，

J77

所以二面角P-CD-A的正弦值為短.

7

考點(diǎn)四：距離問(wèn)題

例4.如圖，在直三棱柱ABC-481G中,A8_L8cAA=AC,48=28C=2,E,尸分別是AC，A8

的中點(diǎn).

(1)證明：4E〃平面片。尸.

⑵求點(diǎn)C到平面用。尸的距離.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析.

⑵畫(huà)

6

【解析】

【分析】

(1)取4G的中點(diǎn)G,連接EG,FG,易得四邊形EG四是平行四邊形，從而AE〃尸G,再利用線面平行

的判定定理證明；

(2)根據(jù)匕叫廳=%叫“，利用等體積法求解.

(1)

證明：如圖所示：

取3G的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

則EG//AF,且EG=A/，

所以四邊形EGFA是平行四邊形，

所以4E//產(chǎn)G,乂AEa平面與。尸，尸Gu平面用G尸，

所以4E〃平面耳

⑵

因?yàn)開(kāi)LBC,又AB2BB、B,

所以BCJ,平面ABB14,因?yàn)锽|G〃BC,

所以4C；_L平面AB4A，則MG，與F,

因?yàn)槲?AC,A8=2BC=2,

所以AC=岔，BF=QBB：+BF2=",

則S.孫F=g8GX媯/=母,S渦GC=；86XCG=乎,

因?yàn)椋?與#=V-fcc?

所以g〃xS0?=：8/xS^Gc，

解得力=我，

6

即點(diǎn)。到平面4G?的距離為：我.

考點(diǎn)五：體積問(wèn)題

例5.如圖，在四棱錐尸—A8co中，%_!_平面48CD,四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)尸為線段PC上

的點(diǎn)，過(guò)A,D,尸三點(diǎn)的平面與P8交于點(diǎn)￡

⑴證明：律〃平面ABC。；

(2)若E為尸8中點(diǎn)，且4B=B4=2,求四棱錐P-AEED的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

0)1.

【解析】

【分析】

(1)利用線面平行的判定證明AO〃平面P8C,再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.

(2)利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明4XL平面進(jìn)而證得P5JL平面AD尸E,再借助錐體體積公式計(jì)

算作答.

(I)

正方形ABC。中，ADHBC,而B(niǎo)Cu平面必C,AOS平面PBC,4)〃平面PBC,

又仞u平面AZ)尸石，平面PBCri平面4)正=在，則有比V/AD,而ADu平面ABC。，石尸S平面A8CD,

所以即〃平面4BCD

(2)

因R4J_平面ABC￡>,ADu平面ABC4則AD_L21,又AD_LAB,ABr>PA=A,A&EAu平面Q4B,

則4刀_1_平面以5,

P8,4Eu平面RR,于是得AE_LAO,PB上AD,因/3=R4=2,E為PB中點(diǎn)、,則P8_LAE,

PE=AE=?，

而AEnAO=A,AEMOu平面AO莊，因此，尸8_L平面AOT^E.

由(1)知EF/JBC,則有E產(chǎn)=32。=1：梯形4。尸E面積S=；(E戶+A￡>)AE

2

所以四棱錐P-AEFD的體積V=1S-PE=LX孑，X&=1.

【真題演練】

1.在正方體4BCO-A81GA中，尸為4。的中點(diǎn)，則直線PB與所成的角為()

71C?！肛兀

A.-B.-C.—D.一

2346

【答案】D

【解析】

【分析】

、『移直線人R至〃G，將直線與人R所成的角轉(zhuǎn)化為尸6勺BG所成的角，解三角形即可.

【詳解】

:;\/如圖

,連接5C「PG，P8,因?yàn)锳DI〃BC|,

所以NP8G或其補(bǔ)角為直線PB與AD,所成的角,因?yàn)镴.平面ABCR，爐以8片_LPG,又PC,1B、D\,

陰cBR=片，

所以PGJ.平面段5,所以PG_LP8,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則BC；=2及,PG=g"8|=

sinZPBC,=—^=-,所以NP8G==.

萬(wàn)。26

故選：D

2.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD_L底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.AC_LSB

>C

B.AB〃平面SCD

C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角

D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析：A中由三垂線定理可知是正確的；B中AB,CD平行，所以可得到線面平行；C中設(shè)AC,BD相

交與0,所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角分別為ZASO,NCSO?.?SA=SC所以兩

角相等，D中由異面直線所成角的求法可知兩角不等

考點(diǎn)：1.線面平行垂吏的判定；2.線面角，異面直線所成角

3.已知四棱錐S-AB8的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與8C

所成的角為4，SE與平面ABC。所成的角為。-二面角S-AB-C的平面角為“，則

A.0.<G2<B.O3<02<C.口式名《。2D.【答案】D

【解析】

【分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.

【詳解】

設(shè)。為正方形48CD的中心，M為A8中點(diǎn)，過(guò)E作的平行線E尸，交。>于尸，過(guò)。作CW垂直E尸于N,

連接S。、SN、則S。垂直于底面ABC。，垂直于A3,

因此/SEN=4/SE0=仇,/SMO=%

SNSNSO介SO

從川tannq=7^;=7^7,tann打

ENOMEOOM

因?yàn)镾N之SO,EO>OM,所以tanqztanaztana，即4之心之心，選D.

線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

4.在正方體A3CD—ABCR中,E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線4E與。所成角的正切值為

A."B.且C.在D.立

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方體ABC。-A4GA中，8〃/3,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線A3與AE所成角的正切值，在A4BE中

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】在正方體ABC。-A烏GA中，CD//AB,所以異面直線AE與8所成角為NEW,

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為射，則由E為棱CG的中點(diǎn)，可得CE=a,所以=

則tanH人謬嚕呼.故選C.

求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形：③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余

弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

5.已知正方體ABCO-ABCR中，E、尸分別為84、CG的中點(diǎn)，那么異面直線AE與A尸所成角的余

C

AB

【解析】

【詳解】

如圖連接。尸，EF,則所以0尸與所成的角即為異面直線所成的角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,

5十?一43

則。尸==在，在三角形DD]F+cosDjFD=--==-.

2x^/5xv55

6.如下圖，在四棱錐S-4BC力中，底面A8CO是正方形，平面SAD_L平面SA=SD=2fAB=3.

(1)求SA與8c所成角的余弦值;

(2)求證：AB1SD.

3

【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可得44Z)即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(1)因?yàn)锳D//BC,因此N5AO即為SA與BC所成的角，在△SAD中，SA=SD=2,

又在正方形月8c。中AD=AB=3,因此cos乙SAD='4十心-)。=2：空二2：=2,

2SAAD2x2x34

因此SA叮8c所成角的余弦值是1.

4

(2)因?yàn)槠矫鍿ADJ_平面A8CO,平面SAOc平面ABCQ=AD,在正方形ABCZ)中，ABA.AD,

因此ABJ"平面”￡>,又因?yàn)镾￡>u平面取九因此AB1.S。.

7.如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,

P

BC=3.DAC

A---------------------B

(1)證明：BC〃平面PDA；

(2)證明：BC1PD；

(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)邁.

2

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)由四邊形ABCD是長(zhǎng)方形可證BC//AD,進(jìn)而可證BC〃平面PDA：(2)先證BC_LCD,

再證BC_L平面PDC,進(jìn)而可證BC_LPD：(3)取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE,先證PE_L平面ABCD,

再設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為人利用V工核錐「PDA=丫二極椎P_ACD可得〃的值，進(jìn)而可得點(diǎn)C到平面PDA的距

離.

試題解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC//AD,因?yàn)锽C?平面PDA,ADu平面PDA,所

以BC//平面PDA

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，所以BC_LCD,因?yàn)槠矫鍼DC_L平面ABCD,平面PDCfl平面

ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BC_L平面PDC,因?yàn)镻Du平面PDC,所以BC_LPD

C(3)取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE,因?yàn)镻D=PC,所以PE_LCD,在

RtAPED中，PE=VPD2-DE2

=V42-32=V7?因?yàn)槠矫鍼DCJ_平面ABCD，平面PDCD平面ABCD=CD，PEu平面PDC，所以PE_L

平面ABCD,由(2)知：BC_L平面PDC,由(1)知：BC//AD,所以AD_L平面PDC,因?yàn)镻Du平面PDC,

所以AD_LPD，設(shè)點(diǎn)C到平面PDA的距離為力，因?yàn)閂三極錐C-PDA=V三極傕p_ACD，所以《皿.〃=/8件,

S,"-PE卜3x6x5

攣，所以點(diǎn)C到平面PDA的距離是邁

即〃=

-x3x422

2

考點(diǎn)：1、線面平行；2、線線垂直；3、點(diǎn)到平面的距離.

8.如圖，在圓錐P0中，已知PO=0,圓0的直徑A8=2,點(diǎn)C在AB上，月.NC4B=30。，。為AC的

中點(diǎn).

（I）證明：AC_L平面尸OO：

（II）求直線0C和平面尸AC所成角的正弦值.

P

【答案】（D證明見(jiàn)解析；（ID也

3

【分析】

（I）由等腰三角形的性質(zhì)可得AC_LO。、再由線面垂直的判定即可證結(jié)論.

（II）由（I）結(jié)合面面垂直的判定可得平面PODJL平面PAC,過(guò)。作O〃_LPD于H,連結(jié)C”，易得CH是

OC在面附C上的射影，進(jìn)而找到直線和平面PAC所成角的平面角，即可求其正弦值.

【詳解】

（I）因?yàn)镺A=OC,PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，則AC_LOD且PZ）_LAC,

又。。02。=0,且ORPOu平面PO"

所以4CJ■平面POD.

（II）由（I）,ACL平面POD,又ACu平面尸AC,

所以平面POD1平面孫C,

在面POD中，過(guò)。作。于4,則O〃_L面PAC,連結(jié)C"，則C"是OC在面PAC上的射影,

所以4XH是直線0C和平面PAC所成角的平面角.

POOD

在小△POO中，0H

>JPO2+OD2

則在Rt△0"C中sinZOCH=—=—.

OC3

9.如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDE尸所在平面外一點(diǎn),PA=\,P在平面ABC內(nèi)的射影為8尸的中

點(diǎn)O.

(I)證明RA_LM；

(II)求面AP3與面。P8所成二面角的大小的余弦值.

c3>/5457

(1)證明見(jiàn)解析;

1819

【解析】

【分析】

(I)由己知得A0為以在平面AB尸內(nèi)的射影，再由40J_8尸可得證；

(11)過(guò)0在平面。08內(nèi)作0〃，08于4連AH、￡>〃，則有NA//D為所求二面角平面角，解三角形可求

得答案.

【詳解】

解：：I)在正六邊形ABCDE尸中，△"尸為等腰三角形，

???P在平面ABC內(nèi)的射影為0,???P0_L平面A8F,JAO為以在平面AB尸內(nèi)的射影；

:。為B/中點(diǎn)，???A0J_8R：.PAA.BF.(II)?.?P0J_平面ABF,平面戶8凡1_平面ABC；

而0為8尸中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形,0、￡>共線，且直線AO_L5P,平面尸平面A5C=8",

則AO_L平面PBF；

又;正六邊形ABCQE廣的邊長(zhǎng)為1,

AAO=-,D0=-BO=—.

22f2

過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH_LPB于”，連,4”、DH,則DHLPB,

所以為所求二面角平面角.

在即中,OH耳tan/A”O(jiān)二券二者二品.

7

-3I

fOO2721

mHO中，tan/.DHO=-----=z-=------.

仕?'OH叵2'

7叵

而tanNAHD=tan(ZAHO+ZDHO)=~~%==-=--

,7yJ2\3V219

1-----J=X--------

2V212

所以cosZ.AHD=-35457

所以面力總與面。心所成二面角的大小的余弦值為-也且.

1819

⑴判斷M點(diǎn)在PB的位置并說(shuō)明理由；

⑵記直線。“與平面布。的交點(diǎn)為K,求劣的值;

(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為平，求二面角M-8-A的平面角的正切值.

【答案】(1)M為PB中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析

小DK6

(2)——=2

KM

(靖喈

【解析】

【分析】

(1)連接交AC于0,連0M,由平面平行的性質(zhì)可得答案：

(2)連接0P,則K=OPcZ)M,可得點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案：

(3)取A。中點(diǎn)H,連接777,”8,取〃8中點(diǎn)6,連接欣7,6。,可得必7〃尸”，取其8中點(diǎn)乂可知加乂〃口4,

NCMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABC。，MG_L平面

ABCD,令PH=t,AD=2,由余弦定理可得CG,在直角ZWCG中，求出CM,MN=gPA,由余弦定

理得cosNCM/V,從而得到3/4-28/+25=0,解方程求出乙過(guò)G作G。J_C0交8于Q,連接MQ,可

得C￡>_L平面MGQ,CD1MQ,在直角AMQG中可得lan/MQG.

(1)

連接6。交AC于O,連接。M,

因?yàn)槭??！ㄆ矫鍹AC,OMu平面。8。,

平面MACc平面P8O=QM,則尸￡)〃OM,

又因?yàn)?。?。中點(diǎn)，所以M為P3中點(diǎn).

⑵

如圖所示，連接OP,則平面尸4CCI平面目圮=P。，K=OPcDM,

M

因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，M為P8的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K

為重心，

由三角形重心的性質(zhì)，可得-7=2.

KM

(3)

取4。中點(diǎn)H,連接P”，HB,取H8中點(diǎn)G,連接MG,GC,可得MG〃PH.

取A8中點(diǎn)N,連接MN,NC,可知MV//R4,

所以NCMN或其補(bǔ)角就是異面直線CM與人P所成角，如圖所示，

因?yàn)槠矫嫘?。，平面ABC。，平面抬力0平面

ABCD=AD，又PA=PD,所以P”_L4），

所以尸"_L平面A8CQ,因此MGJ_平面A8CD,令PH=t,AD=2,

由尸”〃MG,.且M為尸B的中點(diǎn)，可得MG=!PH=1I,

22

在A5CG中，可得BC=2,BG=—,cosZCBG=—,由余弦定理，可得CG=巫,

在直角△A/CG中，CM=y/CG2+MG2=

又由M,N分別是尸8,A8的中點(diǎn)，可得MN=LH4=

2

2cM?MN

解得劣4—28/+25=0,解得*=1或?，即"1或逋，

33

過(guò)G作GQ_LCD交CO于Q,連接MQ,由MG_LCD，目.GQ「]MQ,

可得CQJ■平面MGQ,所以8_LMQ,

所以/M0G就是所求二面角的平面角，如圖所示，

在直角AMQG中，可得tanNMQG=^=(=：或

3J

5后

—

11.如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝4GA中，AO=1,AB=AA]=2,H,尸分別是棱GA，的中點(diǎn).

(1)判斷直線"F與平面ABC。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)求直線〃尸與平

(3)在線段”戶上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。到平面A8CQ的距離是垃，若存在，求出哭的值；若不存在,

HF

說(shuō)明理由.

【答案】(1)“/〃面ABC",證明見(jiàn)解析:

⑵亍

(3)不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)。為C"，OG的交點(diǎn)，連接”0,80,易得正HO為平行四邊形，根據(jù)平?行四邊形性質(zhì)、線面平行判

定即可證”/〃面A8cA.

(2)由(1)只需求6。與面ABC。所成用的正弦值，根據(jù)已知條件求值即可.

(3)力(1)知"尸I-任意一點(diǎn)到面A8cA的距離都相等,只需求戶到面A8CR的距離.利用長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)

特征求距離即可.

(I)

若。為CZVDG的交點(diǎn)，連接“0,80,又“，產(chǎn)分別是棱CQ,的中點(diǎn),

由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征知：HO//BF\\.HO=BF,故為平行四邊形,

所以HF//BO,HF(z面ABCR,BOu面ABCR,則97/面

(2)

由(1)知：”「與面A8CO所成角，即為30與面A8C。所成角，

長(zhǎng)方體中，。到面48C。的距離為竽=1,8O=JF+F+F=百,

所以80與面A8C。所成角正弦值為立，即“尸與面ABC。所成角的正弦值為由.

33

(3)由(1)知：HF"面NCR,即“?上任意一點(diǎn)到面ABC"的距離都相等，

所以只需求F到面ABCR的距離d,而用到面ABCR