高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第08講函數(shù)與方程(高頻精講)(原卷版+解析)

第08講函數(shù)與方程(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第08講函數(shù)與方程(精講） 1第一部分：知識點必背 21、函數(shù)的零點 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 3高頻考點二：函數(shù)零點個數(shù)的判斷 5高頻考點三：根據(jù)零點個數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù) 6高頻考點四：比較零點大小關(guān)系 7高頻考點五：求零點和 8高頻考點六：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù) 9高頻考點七：二分法求零點 10第四部分：新文化（定義）題 11第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 12①函數(shù)與方程的思想 12②數(shù)形結(jié)合的思想 13③分類討論的思想 14溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、函數(shù)的零點對于一般函數(shù)，我們把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．注意函數(shù)的零點不是點，是一個數(shù).2、函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)即方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數(shù).4、二分法對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值．5、高頻考點技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；③函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點；④函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點，其中為常數(shù).第二部分：高考真題回歸1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則________；________．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·浙江衢州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知均為上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程有實數(shù)解的區(qū)間是（

）0123A． B． C． D．例題4．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

） B． C． D．練透核心考點1．（2023春·安徽阜陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的解在內(nèi)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（

）123456A．在區(qū)間上不一定單調(diào)B．在區(qū)間內(nèi)可能存在零點C．在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點D．至少有個零點高頻考點二：函數(shù)零點個數(shù)的判斷典型例題例題1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例題4．（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點個數(shù)為___________.練透核心考點1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點個數(shù)是（

）．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023春·北京大興·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為___________.高頻考點三：根據(jù)零點個數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程，且有兩個不同實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)恰有三個不同的零點，則的取值范圍是_______．例題4．（2023秋·四川成都·高一中和中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（且）是奇函數(shù)，且.(1)求，的值及的定義域；(2)設(shè)函數(shù)有零點，求常數(shù)的取值范圍；練透核心考點1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則的可能取值為（

）．A． B． C．4 D．62．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．4．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是________高頻考點四：比較零點大小關(guān)系典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）已知，且是方程的兩實數(shù)根，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．例題2．（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）．A． B．C． D．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（

）A． B．C． D．2．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，且m，n是方程的兩個根（m＜n），則實數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a(chǎn)＜m＜b＜n3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．高頻考點五：求零點和典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，（），則函數(shù)所有零點的和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為______.例題4．（2023春·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________；若三個不相等的實數(shù)根分別為，則的取值范圍是__________.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．62．（多選）（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，且，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍是 B．C． D．3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為___________．4．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則______．高頻考點六：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·廣東廣州·高三廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．例題4．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，且，則__________.練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若關(guān)于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是______．3．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的零點，，則______．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是______．高頻考點七：二分法求零點典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校校考期末）在用二分法求函數(shù)零點的近似值時，若某一步將零點所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點位于區(qū)間（

）A． B．C． D．例題3．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）某同學(xué)求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

） B． C． D．練透核心考點1．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．2．（多選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，能用二分法求函數(shù)零點的有（

）A． B．C． D．3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，經(jīng)過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為___________.第四部分：新文化（定義）題1．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點，則（

）.A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中學(xué)統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為10尺，則在第（

）天墻才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·全國·高三專題練習(xí)）高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達110個，為數(shù)學(xué)家中之最．對于高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，表示實數(shù)的非負純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對實數(shù)a和b，定義運算“”：設(shè)函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)c的取值范圍是___________．5．（2022秋·山東·高一統(tǒng)考期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．①若函數(shù)，則的值域為______；②若函數(shù)，則方程所有的解為______．第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①函數(shù)與方程的思想1．（2023秋·河北石家莊·高一石家莊一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)與的零點分別為a，b，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若直線與有三個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2020秋·安徽合肥·高三長豐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·高一課時練習(xí)）若正實數(shù)是方程的根，則___________．②數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若關(guān)于x的方程有且僅有5個不同實數(shù)根，則______．4．（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，則的取值范圍是______________③分類討論的思想1．（2023秋·浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；(2)設(shè)，若在上存在兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．2．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對任意，存在，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，求函數(shù)零點的個數(shù).3．（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．第08講函數(shù)與方程(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第08講函數(shù)與方程(精講） 1第一部分：知識點必背 21、函數(shù)的零點 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 6高頻考點一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 6高頻考點二：函數(shù)零點個數(shù)的判斷 9高頻考點三：根據(jù)零點個數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù) 14高頻考點四：比較零點大小關(guān)系 20高頻考點五：求零點和 23高頻考點六：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù) 29高頻考點七：二分法求零點 33第四部分：新文化（定義）題 35第五部分：數(shù)學(xué)思想方法 38①函數(shù)與方程的思想 38②數(shù)形結(jié)合的思想 40③分類討論的思想 43溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、函數(shù)的零點對于一般函數(shù)，我們把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．注意函數(shù)的零點不是點，是一個數(shù).2、函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)即方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數(shù).4、二分法對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值．5、高頻考點技巧①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；③函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點；④函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點，其中為常數(shù).第二部分：高考真題回歸1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當(dāng)時，有4個零點，即；當(dāng)，有5個零點，即；當(dāng)，有6個零點，即；（2）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，有1個零點；當(dāng)時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當(dāng)時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則________；________．【答案】

1

【詳解】∵，∴∴故答案為：1，第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯誤.故選：B.例題2．（2023春·浙江衢州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，，，所以，根據(jù)零點的存在性定理可得出零點所在的區(qū)間是，故選：C．例題3．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知均為上連續(xù)不斷的曲線，根據(jù)下表能判斷方程有實數(shù)解的區(qū)間是（

）0123A． B． C． D．【答案】B因為均為上連續(xù)不斷的曲線，所以在上連續(xù)不斷的曲線，，，，，，因為，所以函數(shù)有零點的區(qū)間為，即方程有實數(shù)解的區(qū)間是.故選：B.例題4．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在上單調(diào)遞增，且，.則由零點存在定理得所求零點在區(qū)間.故選：B.練透核心考點1．（2023春·安徽阜陽·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，又，，因此函數(shù)有唯一零點且在區(qū)間上，故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的解在內(nèi)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】構(gòu)建，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故在定義域內(nèi)至多有一個零點，∵，∴僅在內(nèi)存在零點，即方程的解僅在內(nèi)，故.故選：B.3．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，，則，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間是，故選：.4．（多選）（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，它的部分函數(shù)值如下表，則（

）123456A．在區(qū)間上不一定單調(diào)B．在區(qū)間內(nèi)可能存在零點C．在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點D．至少有個零點【答案】ABD【詳解】由所給表格可知，，，，所以，，，又函數(shù)的圖象是一條不間斷的曲線，所以函數(shù)在區(qū)間、、存在零點，即至少有個零點，故D正確；對于A，由于只知道，的函數(shù)值，故無法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，故A正確；對于B、C，雖然，，由于不知道函數(shù)在內(nèi)的取值情況，所以函數(shù)在內(nèi)可能存在零點，故B正確，C錯誤；故選：ABD高頻考點二：函數(shù)零點個數(shù)的判斷典型例題例題1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)為，故函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.例題2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】，解得或，當(dāng)時，，解得，，解得（舍）；當(dāng)時，，解得或（舍），，解得或（舍）；綜上，方程的實根為或或，即方程的實根個數(shù)為3個，故選：A.例題3．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，且為定義在上的奇函數(shù),所以,可得且在上單調(diào)遞增,由，得．又因為，,可得,為定義在上的奇函數(shù),又可得,根據(jù)題意作出滿足要求的的大致圖像,由圖知，直線與的圖像有4個公共點，所以有4個零點．故選：A.例題4．（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】【詳解】當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，由，得，則時，函數(shù)零點的個數(shù)，即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，兩函數(shù)的圖象有個交點，即當(dāng)時，函數(shù)有個零點，綜上所述，函數(shù)有個零點.故答案為：.練透核心考點1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：由方程，得或，所以方程的實根個數(shù)為3．故選：A．2．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【詳解】分別做出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如上圖所示，由圖像可知，兩個函數(shù)的交點個數(shù)是，所以函數(shù)的零點個數(shù)是.故選:C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】時，，解得時，，，，無解.由，則有，時，，通過函數(shù)圖像可知，方程有兩個根，如圖所示，時，，無解.故選：.4．（2023春·北京大興·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】【詳解】解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，得，易得，作出函數(shù)，的圖象，如圖，所以，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)，在有兩個交點，所以當(dāng)時，有兩個實數(shù)根，所以，函數(shù)的零點個數(shù)為故答案為：高頻考點三：根據(jù)零點個數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若方程，且有兩個不同實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，方程有兩個不同實數(shù)根，等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，當(dāng)時，如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，滿足題意當(dāng)時，如圖所示由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點，不滿足題意,綜上所示，實數(shù)的取值范圍為．故選：D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的根，從而函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，由可知，當(dāng)時，函數(shù)是周期為1的函數(shù)，如圖，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)即時，兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點，故函數(shù)有兩個不同的零點.故選：A.例題3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，函數(shù)恰有三個不同的零點，則的取值范圍是_______．【答案】【詳解】，，畫出的圖像，化簡，，故的必過點，恰有三個不同的零點，即為有三個不同的實根，作出和的圖像，直線與曲線相切時，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去），當(dāng)與曲線相切時，兩圖像恰有三個交點，令，此時，解得，結(jié)合圖像可得，或故答案為：例題4．（2023秋·四川成都·高一中和中學(xué)校考期末）已知函數(shù)（且）是奇函數(shù)，且.(1)求，的值及的定義域；(2)設(shè)函數(shù)有零點，求常數(shù)的取值范圍；【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由，可得

①又是奇函數(shù)，∴，

即

②聯(lián)立①、②并注意到，解得，，

所以，要使函數(shù)有意義，則有，解得：

∴的定義域為.（2）∵，，∴，∴有零點，即關(guān)于x的方程有實數(shù)解，

∴有實數(shù)解，∵，且，∴且，

∴k的取值范圍是.練透核心考點1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則的可能取值為（

）．A． B． C．4 D．6【答案】BD【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)交于點,由函數(shù)圖象的性質(zhì)得函數(shù)與在上至多一個交點，由題意，函數(shù)，函數(shù)有兩個交點，若時，恰有兩個零點時，如圖（1）所示，則滿足，解得；若時，恰有一個零點，在時，恰有一個零點，則或解得，結(jié)合選項，可得的可能取值為和.故選：BD.2．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】或【詳解】又，得，得；由，得，得或，因為恰有2個零點，所以若和是函數(shù)的零點，則不是函數(shù)的零點，則；若和是函數(shù)的零點，則不是函數(shù)的零點，則，若和是函數(shù)的零點，不是函數(shù)的零點，則不存在這樣的.綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】．【詳解】由，x=0不是方程的解，∴，將原方程唯一零點轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與曲線有唯一交點，下面討論曲線的圖像：的定義域為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，

，因此y在處，取得極小值，其極小值為，當(dāng)時，，即y是單調(diào)遞減的，當(dāng)x從小于0的方向趨向0的時候，y趨向于，故圖像如下圖：；故答案為：.4．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【詳解】解：設(shè)，則函數(shù)存在零點等價于圖像有交點，如圖：

函數(shù)的圖像恒過點，當(dāng)其和函數(shù)的圖像相切時，，所以的圖像有交點時，故答案為：高頻考點四：比較零點大小關(guān)系典型例題例題1．（2023·高一課時練習(xí)）已知，且是方程的兩實數(shù)根，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵，為方程的兩實數(shù)根，∴，為函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，令，∴m，n為函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，易知函數(shù)的圖像可由的圖像向上平移2022個單位長度得到，所以.故選：C.例題2．（2023秋·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)，，的零點，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點的橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可得.故選：B例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)，，的零點，即為與，，的交點，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，，所以，，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，，由可得，因此，.故選：A.2．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，且m，n是方程的兩個根（m＜n），則實數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a(chǎn)＜m＜b＜n【答案】B【詳解】因為函數(shù)，令，a、b為的零點，函數(shù)的圖象是由的圖象向上平移一個單位得到的，又m，n是方程的兩個根（m＜n），如圖所示：由圖知：a＜m＜n＜b，故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）＝ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）＝lnx+x﹣2的零點為b，∴y＝ex與y＝2﹣x的交點的橫坐標(biāo)為a，y＝lnx與y＝2﹣x交點的橫坐標(biāo)為b，由圖象知a＜1＜b，故選A．高頻考點五：求零點和典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，（），則函數(shù)所有零點的和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】因為零點，等價于與函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)，因為，故可得是周期為的函數(shù)；又因為，當(dāng)時，，解得.不妨在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩者的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，有6個交點，則有6個零點，且每兩個零點關(guān)于對稱，則每組零點之和為，共有3組，故可得所有零點之和為.故選：D.例題3．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為______.【答案】18【詳解】∵滿足，則關(guān)于直線對稱，又∵是定義在上的奇函數(shù)，則，即，則，∴是以4為周期的周期函數(shù)，對，可得，則，∴關(guān)于點對稱，令，則，可知：與均關(guān)于點對稱，如圖所示：設(shè)與的交點橫坐標(biāo)依次為，則，故函數(shù)的所有零點之和為.故答案為：18.例題4．（2023春·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是__________；若三個不相等的實數(shù)根分別為，則的取值范圍是__________.【答案】

【詳解】作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，觀察圖象知，曲線與直線有3個公共點時，，而曲線與直線交點的橫坐標(biāo)即為方程的解，所以方程恰有3個不等實根，實數(shù)的取值范圍是；如圖，三個交點的橫坐標(biāo)分別為，且，由對稱性可知，，對于函數(shù)，當(dāng)時，，所以，即的取值范圍是.故答案為：；練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【詳解】令，得，圖象關(guān)于對稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以圖象關(guān)于對稱，，在上遞增，所以與有兩個交點，兩個交點關(guān)于對稱，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：B2．（多選）（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，且，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍是 B．C． D．【答案】ABC【詳解】因為函數(shù)有四個不同的零點，所以方程有四個不同的解，即函數(shù)與圖象有四個不同的交點，如圖，由圖可知，，，且，，得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，但，故等號不成立，所以.故選：ABC3．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的所有零點之和為___________．【答案】【詳解】令，即，故函數(shù)的零點就是函數(shù)與圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)時，，函數(shù)與在上圖象如圖所示：設(shè)與圖象交點的橫坐標(biāo)分別為，由對稱性可知，，.由，結(jié)合奇偶性得出，即解得，即.故答案為：4．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則______．【答案】【詳解】作出函數(shù)的圖像如圖所示，由于方程恰有5個不同的實數(shù)解，令，則有兩個不等的實數(shù)根，且其中一個為，畫出直線，，與函數(shù)交于5個點，其橫坐標(biāo)分別為，，，，，設(shè)，且，因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則，所以.故答案為：高頻考點六：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)在上遞增，則函數(shù)在上存在零點，需，解得.故選：B.例題2．（2023·廣東廣州·高三廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則令，即，故，作出函數(shù)的圖象如圖所示：函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，直線過定點當(dāng)直線過點時，，當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為，由，故切線的斜率為所以，解得，則，解得結(jié)合圖象可知，當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，即函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，所以實數(shù)m的取值范圍是，故選：C例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】因為在單調(diào)遞增，且有零點，所以，解得，故答案為：例題4．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點為，且，則__________.【答案】2【詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理可得：函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，所以．故答案為：2練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時，，此時只有一個零點，零點為-1，不符合要求；當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，，利用零點存在性定理和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得，解得.故選：D.2．（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若關(guān)于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】方程在上有解，等價于函數(shù)與在有交點，因為，所以，所以，解得.故答案為：3．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)的零點，，則______．【答案】2【詳解】因為函數(shù)為R上單調(diào)減函數(shù)，故函數(shù)為R上單調(diào)減函數(shù)，又，，故在上有唯一零點，結(jié)合題意可知，故答案為：24．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：由題意得方程在區(qū)間內(nèi)有解，即在區(qū)間內(nèi)有解，即函數(shù)的圖象與的圖象在區(qū)間內(nèi)有交點，如圖，作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，把點帶入，得，解得，所以.故答案為：．高頻考點七：二分法求零點典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯誤.故選：B.例題2．（2023秋·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谀┰谟枚址ㄇ蠛瘮?shù)零點的近似值時，若某一步將零點所在區(qū)間確定為，則下一步應(yīng)當(dāng)確定零點位于區(qū)間（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，由二分法知當(dāng)零點在時，取區(qū)間的中點1.6625，計算得由知，下一步應(yīng)當(dāng)確定零點位于區(qū)間，故選：A例題3．（多選）（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）某同學(xué)求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因為函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合表格可知，方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）內(nèi)，又精確度0.1，∴方程的近似解（精確度0.1）可取為2.51，2.56.故選：AB．練透核心考點1．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，則可用二分法求零點；對于B，有唯一零點，但函數(shù)值在零點兩側(cè)同號，則不可用二分法求零點；對于C，有兩個不同零點，且在每個零點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，則可用二分法求零點；對于D，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，則可用二分法求零點.故選：B.2．（多選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，能用二分法求函數(shù)零點的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】選項A：由，可得在上存在零點；選項B：由，可得在上存在零點；選項C：，則其零點為，但不存在實數(shù)滿足，因而不能用二分法求此函數(shù)零點；選項D：由，可得在上存在零點.故選：ABD3．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，經(jīng)過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為___________.【答案】【詳解】設(shè)，則，，，；，，故近似解所在的區(qū)間為.故答案為：第四部分：新文化（定義）題1．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點，則（

）.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，若，則，所以.故選：B2．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中學(xué)統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為10尺，則在第（

）天墻才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解：設(shè)需要n天時間才能打穿，則，化簡并整理得，令，則；，又在單調(diào)遞增，∴在內(nèi)存在一個零點，∴至少需要4天時間才能打通．故選：B．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達110個，為數(shù)學(xué)家中之最．對于高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，表示實數(shù)的非負純小數(shù)，即，如，．若函數(shù)（，且）有且僅有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)有且僅有3個零點，即的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有個交點．而，畫出函數(shù)的圖象，易知當(dāng)時，與的圖象最多有1個交點，故，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合題意可得，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對實數(shù)a和b，定義運算“”：設(shè)函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)c的取值范圍是___________．【答案】【詳解】因為，所以由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，的取值范圍是.故答案為：5．（2022秋·山東·高一統(tǒng)考期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，．①若函數(shù)，則的值域為______；②若函數(shù)，則方程所有的解為______．【答案】

【詳解】①，存在，使得，則，因此，所以函數(shù)的值域為；②令，則，，由方程，得，由解得，，而，于是得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以方程所有的解為.故答案為：；第五部分：數(shù)學(xué)思想方法①函數(shù)與方程的思想1．（2023秋·河北石家莊·高一石家莊一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)與的零點分別為a，b，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，所以且，，所以且，對比和可知，結(jié)合和只有一個交點，所以，故，故選項A錯誤；分析圖像可知，，故選項B錯誤；若成立，則有，即有，即有，故矛盾，所以選項C錯誤；，故選項D正確.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若直線與有三個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)與相切于點，則，解得，此時，由得，由可得，此時