新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第28講 雙曲線（解析版）

第28講雙曲線學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理1.雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；(2)若a＝c，則點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；(3)若a>c，則點(diǎn)P的軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2考點(diǎn)和典型例題1、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1-1】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線上一點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其內(nèi)切圓圓心在直線SKIPIF1<0上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：如圖設(shè)SKIPIF1<0與圓的切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以方程為SKIPIF1<0．故選：A．【典例1-3】已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，右焦點(diǎn)SKIPIF1<0，則由雙曲線的定義得SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線的兩支之間，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為9，故選：A【典例1-4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,故選:A【典例1-5】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【詳解】由雙曲線定義知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<03或7，故選：D.2、雙曲線的性質(zhì)【典例2-1】已知雙曲線SKIPIF1<0（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線SKIPIF1<0圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【詳解】解：雙曲線的漸近線為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：D【典例2-2】橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率之積為1，則雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率之積為1，所以有SKIPIF1<0，因此雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線方程為：SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線的傾斜角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：D【典例2-3】若雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線與直線SKIPIF1<0相互垂直，則雙曲線SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

（

）A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．8【答案】C【詳解】雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，由兩直線垂直得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，虛軸一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：C【典例2-4】已知點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OMF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為8，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意可得SKIPIF1<0．取漸近線SKIPIF1<0，易知點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為b，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立得SKIPIF1<0．所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為8．故選：A【典例2-5】已知點(diǎn)P是雙曲線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0．故選：C3、雙曲線的綜合應(yīng)用【典例3-1】雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為SKIPIF1<0米，上口半徑為SKIPIF1<0米，下口半徑為SKIPIF1<0米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】以SKIPIF1<0的中點(diǎn)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在雙曲線上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以該雙曲線的離心率為SKIPIF1<0.故選：A.【典例3-2】雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)SKIPIF1<0．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)SKIPIF1<0發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（SKIPIF1<0，A，B在同一直線上），滿足SKIPIF1<0，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】易知SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0共線，如圖，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D【典例3-3】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，實(shí)半軸長(zhǎng)是虛半軸長(zhǎng)的2倍；(2)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為SKIPIF1<0，焦距長(zhǎng)為SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由題意有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0．(2)由題意有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0．【典例3-4】已知雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，且過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)由雙曲線方程知：漸近線斜率SKIPIF1<0，又漸近線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0雙曲線過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；(2)由（1）得：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由雙曲線對(duì)稱性可知：當(dāng)SKIPIF1<0過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.【典例3-5】雙曲線SKIPIF1<0的離心率為S