山東高考數(shù)學(xué)課件及世紀(jì)金榜答案7市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

第七節(jié)正弦定理和余弦定理第1頁(yè)第2頁(yè)第3頁(yè)第4頁(yè)第5頁(yè)第6頁(yè)第7頁(yè)第8頁(yè)第9頁(yè)1.在△ABC中，sinA>sinB是A>B什么條件？提醒:充要條件.因?yàn)閟inA>sinB?>?a>b?A>B.第10頁(yè)1.在△ABC中，A=60°，則B等于()(A)45°或135°(B)135°(C)45°(D)30°【解析】選C.由正弦定理可得即∴又∵a＞b，A=60°，∴0°＜B＜60°，∴B=45°.第11頁(yè)2.在△ABC中，a=,b=1,c=2,則A等于（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°【解析】選C.∵又∵0°＜A＜180°，∴A=60°.第12頁(yè)3.在△ABC中，a=,b=,cosC=，則△ABC面積為（）（A）（B）（C）（D）【解析】選C.∵cosC=，∴sinC=，第13頁(yè)4.在△ABC中，B=60°，b2=ac,則△ABC形狀為______.【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°=ac,即a2-2ac+c2=0,∴a=c.又B=60°，∴△ABC為等邊三角形.答案:等邊三角形第14頁(yè)5.在銳角△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4bsinA,則cosB=_____.【解析】由a=4bsinA可得，2RsinA=4·2RsinB·sinAR為△ABC外接圓半徑.∴sinB=，又∵△ABC為銳角三角形.∴cosB=答案:

第15頁(yè)在△ABC中，設(shè)角A、B、C對(duì)邊長(zhǎng)度分別為a、b、c.（1）三角形內(nèi)角和定理A+B+C=π.(2)三角形中誘導(dǎo)公式sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,第16頁(yè)(3)三角形中邊角關(guān)系三角形中等邊對(duì)等角，大邊對(duì)大角，反之亦然；三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.（4）射影定理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.第17頁(yè)(5)三個(gè)主要結(jié)論①A＞B＞C

sinA＞sinB＞sinC.②sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.第18頁(yè)第19頁(yè)利用正、余弦定了解三角形【例1】在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C對(duì)邊，試依據(jù)以下條件解三角形.(1)B=45°.(2)a、b是方程兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1①求角C；②求AB長(zhǎng).第20頁(yè)【審題指導(dǎo)】利用已知條件解三角形主要是利用正弦定理與余弦定理，解題時(shí)要注意△ABC解情況.同時(shí)注意三角形中隱含條件應(yīng)用.【自主解答】(1)方法一：∵B=45°＜90°且a＞b,∴△ABC有兩解.由正弦定理得∴A=60°或A=120°.第21頁(yè)①當(dāng)A=60°時(shí)，C=180°-(A+B)=75°，②當(dāng)A=120°時(shí)，C=180°-(A+B)=15°，故A=60°，C=75°，或A=120°，C=15°，.第22頁(yè)方法二：由b2=a2+c2-2accosB得整理得∴或.①當(dāng)時(shí)，由a＜c知A＜C,即A為銳角.這時(shí)∴A=60°,從而C=75°.②當(dāng)時(shí)，由c＜b知C＜B=45°,于是A＞90°,這時(shí)從而C=15°，故A=60°，C=75°，或A=120°，C=15°，.第23頁(yè)(2)①∴C=120°.②∵a、b是方程兩個(gè)根，∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=b2+a2-2abcos120°=b2+a2+ab=(a+b)2-ab==10,∴.第24頁(yè)【規(guī)律方法】應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷就用哪一個(gè)定理.同時(shí)，已知兩邊和其中一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，注意解情況.如已知a,b,A，則第25頁(yè)第26頁(yè)【互動(dòng)探究】若將本例（2）中2cos(A+B)=1改為c=，求角C.【解析】由題意得，a+b=，ab=2，∴又∵0°＜C＜180°，∴C=120°.第27頁(yè)【變式訓(xùn)練】在△ABC中，設(shè)a,b,c分別是角A，B，C對(duì)邊，試依據(jù)以下已知條件解三角形.（1）a=2,b=,c=+；（2）a=,b=,C=15°.

第28頁(yè)【解析】(1)由余弦定理推論得cosA==∴A=30°.同理，cosB==∴B=45°，C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°.第29頁(yè)(2)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=.∵c2=a2+b2-2abcosC=(2)2+(2)2-2×2×2×=8-4=(-)2,∴c=-.由正弦定理得sinA=第30頁(yè)∵a<b,∴A<B.又∵0°<A<180°,∴A必為銳角，∴A=45°，從而得B=120°.第31頁(yè)利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例2】在△ABC中，若,試判斷△ABC形狀.【審題指導(dǎo)】三角形形狀判斷方法是首先邊化角或角化邊，再整理化簡(jiǎn)即可判斷.第32頁(yè)【自主解答】方法一：由得，sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.第33頁(yè)方法二：由已知得，，即∴∴acosA=bcosB，∴∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.第34頁(yè)【規(guī)律方法】判斷三角形形狀基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角統(tǒng)一.即將條件化為只含角三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)化簡(jiǎn)變形得出三邊關(guān)系.結(jié)論普通為特殊三角形.如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外，在變形過(guò)程中要注意A、B、C范圍對(duì)三角函數(shù)值影響.第35頁(yè)【變式訓(xùn)練】在△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)邊，假如(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷三角形形狀.第36頁(yè)【解析】由已知得a2［sin(A-B)-sin(A+B)］=b2［-sin(A+B)-sin(A-B)］,∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理，得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∴sin2A=sin2B,由0＜A+B＜π，得2A=2B或2A=π-2B,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.第37頁(yè)與三角形面積相關(guān)問(wèn)題【例3】在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a,b,c，B=,cosA=,（1）求sinC值;（2）求△ABC面積.第38頁(yè)【審題指導(dǎo)】△ABC中求角三角函數(shù)值，主要從已知條件出發(fā)利用正弦定理或余弦定理及誘導(dǎo)公式等求解，對(duì)于△ABC面積主要是面積公式應(yīng)用.第39頁(yè)【自主解答】（1）因?yàn)榻茿，B，C為△ABC內(nèi)角，且B=,cosA=,所以C=-A,sinA=.于是第40頁(yè)(2)由（1）知又因?yàn)樗栽凇鰽BC中，由正弦定理得于是△ABC面積第41頁(yè)【規(guī)律方法】1.利用正弦定理能夠?qū)崿F(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化；2.除了慣用兩邊及其夾角正弦值乘積二分之一面積公式外還有①(p是周長(zhǎng)二分之一，即,r為內(nèi)切圓半徑）；②(R為外接圓半徑).第42頁(yè)【變式訓(xùn)練】在△ABC中，cosA=,a,b,c分別是角A、B、C對(duì)邊.（1）求tan2A；（2）若,求△ABC面積.第43頁(yè)【解析】（1）∵cosA=,A∈(0,π),∴sinA=,∴tanA=,∴（2）由又B∈(0,π),∴sinB=,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.由正弦定理得∴△ABC面積第44頁(yè)應(yīng)用正、余弦定理求解三角形問(wèn)題【例】有一解三角形題因紙張破損有一個(gè)條件不清，詳細(xì)以下：在△ABC中，已知a=,,________,求角A.經(jīng)推斷破損處條件為三角形一邊長(zhǎng)度，且答案為A=60°，試將條件補(bǔ)充完整，并寫出詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程.第45頁(yè)【審題指導(dǎo)】本題是探究條件開放性問(wèn)題，即由結(jié)論A=60°探求應(yīng)填一條邊長(zhǎng).首先由正弦定理求出三條邊長(zhǎng)，再逐一檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)作條件能夠推出結(jié)論，即綜合應(yīng)用正、余弦定理去求角A.第46頁(yè)【規(guī)范解答】將A=60°看作已知條件，由得cosB=,∴B=45°.由得又C=75°，得sinC=sin(30°+45°)=.第47頁(yè)由若已知條件為b=，則由∴sinA=60°或120°，不合題意.若已知條件為則b2=a2+c2-2accosB,總而言之，破損處已知條件為第48頁(yè)【規(guī)律方法】1.正弦定理和余弦定理并不是孤立，解題時(shí)要依據(jù)詳細(xì)題目合理利用，有時(shí)還需要交替使用.2.條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，普通要考慮正弦定理.第49頁(yè)【變式備選】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a,b,c,求證：第50頁(yè)【證實(shí)】將代入式子右邊，得右邊=∴第51頁(yè)第52頁(yè)

解三角形中解答題答題技巧【典例】(12分)(·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所正確邊分別為a,b,c，已知(1)求sinC值.(2)當(dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，求b及c長(zhǎng).【審題指導(dǎo)】本題是三角形中常見(jiàn)題型，從已知條件入手，利用二倍角公式、正弦和余弦定理求解即可.第53頁(yè)【規(guī)范解答】(1)因?yàn)榧?＜C＜π,所以………4分(2)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時(shí)由正弦定理得c=4.……………6分由及0＜C＜π得……………8分由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得解得或,所以或………12分第54頁(yè)【失分警示】在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)易造成失分：一是利用倍角公式求sinC時(shí)不判斷C范圍造成失分.二是利用公式求cosC時(shí)易錯(cuò)解cosC值，得一組解從而造成失分處理三角形中邊角問(wèn)題時(shí)以下幾點(diǎn)易造成失分：1.對(duì)三角形中隱含條件不會(huì)或忘記應(yīng)用.2.求角時(shí)忽略角范圍.3.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)計(jì)算失誤.第55頁(yè)【變式訓(xùn)練】（·臨沂模擬）在△ABC中，角A、B、C所正確邊分別為a，b，c，已知cos2C=,其中C為銳角.（1）求sinC值；（2）當(dāng)a=2，2sinC=sinA時(shí)，求b及c值.第56頁(yè)【解析】（1）∵cos2C=1-2sin2C=,∴∵0＜C＜,∴sinC=.第57頁(yè)(2)∵2sinC=sinA,∴sinA=sinC,由正弦定理，解得c=.由sinC=，0＜C＜

得cosC=.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得5=4+b2-,即3b2-8b-3=0又b＞0，解得b=3.故b=3,c=.第58頁(yè)第59頁(yè)1.(·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所正確邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若C=120°,c=a,則（）（A）a＞b（B）a＜b（C）a=b（D）a與b大小關(guān)系不能確定【解析】選A.由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC，又C=120°，∴2a2=a2+b2+ab，∴a2=b2+ab＞b2，∴a＞b.第60頁(yè)2.(·湖北高考）在△ABC中，a=15,b=10,A=60°,則cosB=（）（A）（B）（C）（D）【解析】選A.由正弦定理得又∵a＞b，∴B＜60°，∴cosB=第61頁(yè)3.(·北京高考）在△ABC中，若b=1,c=,C=,則a=______.【解析】由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC，∴()2=a2+12-2a·1·cos，∴a2+a-2=0，∴(a+2)(a-1)=0，∴a=1.答案:1第62頁(yè)4.(·山東高考）在△ABC中，角A，B，C所正確邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sinB+cosB=,則角A大小為_____.【解析】由sinB+cosB=，可得sin(B+)=1，∴B=，由正弦定理得，∴A＜B，∴A=.答案:

第63頁(yè)5.（·廣東高考）已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所正確邊，若a=1,b=，A+C=2B,則sinC=_____.【解題提醒】由A+C=2B可求B，由正弦定理求A，再求C，進(jìn)而求sinC.【解析】由A+C=2B，得B=60°，又∵又A＜B=60°，∴A=30°.∴C=180°-A-B=90°，∴sinC=1.答案：1第64頁(yè)第65頁(yè)一、選擇題（每小題4分，共20分）1.已知△ABC中，a=c=2,A=30°，則b=()（A）（B）（C）（D）【解析】選B.∵a=c=2,∴A=C=30°,∴B=120°.由余弦定理可得第66頁(yè)2.(·煙臺(tái)模擬）在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=∶4∶則△ABC是()（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）不能確定第67頁(yè)【解析】選C.依據(jù)已知sinA∶sinB∶sinC=∶4∶,由正弦定理可得，a∶b∶c=∶4∶，設(shè)a=t，b=4t，c=t，由余弦定理可得所以△ABC是鈍角三角形，故選C.第68頁(yè)3.在△ABC中，已知A=60°,為使此三角形只有一個(gè)，a滿足條件是（）(A)(B)a=6(C)或a=6(D)或a=6【解析】選C.三角形有唯一解時(shí)，即由a,b,A只能畫唯一一個(gè)三角形（如圖）.所以a=bsinA或a≥b,即a=6或第69頁(yè)4.在△ABC中，BC=3,則△ABC周長(zhǎng)為（）（A）（B）（C）（D）【解題提醒】BC=3，即a=3，∴，∴把周長(zhǎng)a+b+c轉(zhuǎn)化為利用B表示式子再化簡(jiǎn)即可.第70頁(yè)【解析】選D.∵BC=3，即a=3,得第71頁(yè)5.△ABC中，AC=1，B=30°，則△ABC面積等于（）(A)(B)(C)或(D)或【解析】選D.∴C=60°或C=120°.當(dāng)C=60°時(shí)，A=90°，S△ABC=,當(dāng)C=120°時(shí)，A=30°，S△ABC=.即△ABC面積為或.第72頁(yè)二、填空題(每小題4分，共12分)6.在△ABC中，且△ABC面積S=asinC,則a+c值為________.【解析】由已知得,即acosC+ccosA+a+c=3b.∴sinAcosC+sinCcosA+sinA+sinC=3sinB∴sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB.∴sinA+sinC=2sinB.∴a+c=2b,又答案：4第73頁(yè)7.(·杭州模擬)設(shè)f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2,其中a,b,c分別為△ABC中角A，B，C對(duì)邊，若f(2)=0,則角C取值范圍是________.【解析】由f(2)=0得a2+b2=2c2,又∵0<C<π,∴答案：第74頁(yè)8.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(-1,0),C(1,0),頂點(diǎn)B在橢圓上，則值為_______.【解題提醒】解答本題關(guān)鍵是將所求式子利用正弦定理將角化為邊關(guān)系式,并借助三角形及橢圓相關(guān)知識(shí)，求出對(duì)應(yīng)值.【解