高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)4.3.1正弦定理和余弦定理(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第四章三角函數(shù)與解三角形4.3.1正弦定理和余弦定理（題型戰(zhàn)法）知識梳理一正弦定理1.正弦定理概念在中：這就是正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對的角的正弦的比相等.2.利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，解決三角形（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如；（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如.二余弦定理1.余弦定理概念在中：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.2.應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.（1）已知三邊，求三角.（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.3.余弦定理的變形（1）余弦定理的變形：cosA=；cosB=；cosC=.（2）利用余弦定理的變形判定角：在△ABC中，c2=a2+b2?C為直角；c2>a2+b2?C為鈍角；c2<a2+b2?C為銳角.三三角形的面積公式一般地，若記的面積為S，則12absinC=12acsinB=12題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一正弦定理解三角形典例1．記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．變式1-1．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．變式1-2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，，，則B等于（

）A． B． C．或 D．或變式1-3．在△ABC中，，則（

）A． B． C． D．變式1-4．在△ABC中，，，則△ABC外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3題型戰(zhàn)法二余弦定理解三角形典例2．在△ABC中，角、、的對邊分別是、、，若，則（

）A．6 B．7 C． D．變式2-1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則（

）A．6 B．7 C．8 D．變式2-2．在△ABC中，若，，，則（

）A． B． C． D．變式2-3．在△ABC中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則（

）A． B． C． D．變式2-4．△ABC中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則∠B的大小為（

）A． B． C．或 D．或題型戰(zhàn)法三邊角互化典例3．在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，．若，則（

）A． B． C． D．變式3-1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3-2．已知△ABC中，角，，對邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．變式3-3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．1 B． C．2 D．變式3-4．在△ABC中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四判斷三角形形狀典例4．△ABC的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，則△ABC為（

）A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形變式4-1．在△ABC中，角，，所對的邊分別是，，，已知，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形變式4-2．在非鈍角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知，且，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形變式4-3．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形變式4-4．若△ABC的三個內(nèi)角滿足，則△ABC的形狀是（

A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．以上都有可能題型戰(zhàn)法五面積公式的應(yīng)用典例5．在△ABC中，，，，則△ABC的面積等于（

）A． B． C． D．變式5-1．在△ABC中，角的對邊分別為，若，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．變式5-2．在△ABC中，的面積等于，則等于（

）A． B．1 C． D．2變式5-3．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．變式5-4．已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則角（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法六判斷三角形解的個數(shù)典例6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中，使得△ABC恰有一個解的是（A． B．C． D．變式6-1．在△OAB中，，，，則滿足條件的三角形的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個變式6-2．下列條件判斷三角形解的情況，正確的的個數(shù)是（

）．①，，，有兩解；②，，，有一解；③，，，無解；④，，，有一解．A．1 B．2 C．3 D．4變式6-3．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，A＝45°，若三角形有兩解，則b的可能取值是（

）A．2 B．2.3 C．3 D．4變式6-4．在中，，，，若滿足條件的三角形有兩個，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法七正、余弦定理的綜合應(yīng)用典例7．記△ABC中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求△ABC的面積.變式7-1．在①，②這兩個條件中任選一個，補充到下面的橫線中，并求解．在中，角，，所對的邊分別是，，，且，，若________．（注：只需選一個作答，如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答給分）求：(1)的值；(2)△ABC變式7-2．已知△ABC的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若△ABC的外接圓半徑為，且.(1)求及；(2)若，求，.變式7-3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角C的大??；(2)若，，求△ABC的面積.(3)若，求的值.變式7-4．△ABC中，是角所對的邊，.(1)求∠B(2)若a=4,△ABC的面積為，求的值.第四章三角函數(shù)與解三角形4.3.1正弦定理和余弦定理（題型戰(zhàn)法）知識梳理一正弦定理1.正弦定理概念在中：這就是正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對的角的正弦的比相等.2.利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，解決三角形（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如；（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如.二余弦定理1.余弦定理概念在中：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.2.應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.（1）已知三邊，求三角.（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.3.余弦定理的變形（1）余弦定理的變形：cosA=；cosB=；cosC=.（2）利用余弦定理的變形判定角：在△ABC中，c2=a2+b2?C為直角；c2>a2+b2?C為鈍角；c2<a2+b2?C為銳角.三三角形的面積公式一般地，若記的面積為S，則12absinC=12acsinB=12題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一正弦定理解三角形典例1．記△ABC的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出，在由正弦定理可得：，代入即可得出答案.【詳解】因為，則，所以由正弦定理，得.故選：B.變式1-1．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)同角公式可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)正弦定理得，得，所以.故選：C.變式1-2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，，，則B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】由正弦定理，，故，因為，故或故選：C變式1-3．在△ABC中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理，求得，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解的值.【詳解】在中，，由正弦定理，可得，又因為，所以為銳角，所以.故選：B.變式1-4．在△ABC中，，，則△ABC外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】直接使用正弦定理進行求解即可.【詳解】設(shè)R為外接圓的半徑，故，解得．故選：A．題型戰(zhàn)法二余弦定理解三角形典例2．在△ABC中，角、、的對邊分別是、、，若，則（

）A．6 B．7 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理計算可得；【詳解】解：由余弦定理，即，所以；故選：B變式2-1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則（

）A．6 B．7 C．8 D．【答案】B【解析】【分析】由余弦定理直接計算可得.【詳解】由余弦定理可得：即，解得或（舍去）故選：B變式2-2．在△ABC中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：因為，，，所以，所以.故選：C.變式2-3．在△ABC中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】由，得，，由于，所以.故選：B.變式2-4．△ABC中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則∠B的大小為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意，，結(jié)合余弦定理可知.故選：A.題型戰(zhàn)法三邊角互化典例3．在△ABC中，角，，所對的邊分別為，，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】運用正弦定理邊化角直接計算即可.【詳解】由題意，，，∵；故選：A.變式3-1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可知，在中，由余弦定理可得：，解得，，故故選：D變式3-2．已知△ABC中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由因為，所以，于是有，故選：A變式3-3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦逆應(yīng)用進行化簡即可.【詳解】解：，根據(jù)正弦定理得，即.故選：C變式3-4．在△ABC中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.【詳解】因為，令，，，則.故選：A.題型戰(zhàn)法四判斷三角形形狀典例4．△ABC的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，則△ABC為（

）A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合余弦定理化簡得，即可得解.【詳解】由結(jié)合余弦定理可得，化簡得，即，所以為等腰三角形.故選：D.變式4-1．在△ABC中，角，，所對的邊分別是，，，已知，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，兩角和的正弦函數(shù)化簡，求出與的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：，由正弦定理可知，，因為，所以，所以，即所以，所以，，因為、、是三角形內(nèi)角，所以．所以是等腰三角形．故選：A．變式4-2．在非鈍角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知，且，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得，由于，可求，可得，進而可求，即可判定得解的形狀為等邊三角形．【詳解】解：在非鈍角中，，由正弦定理可得：，，，可得：，，，，，，，的形狀為等邊三角形．故選：C．變式4-3．在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理將已知的式子轉(zhuǎn)化為邊的形式，然后化簡即得.【詳解】因為，，所以，所以由正余弦定理得，化簡得，所以，所以為等腰三角形.故選：B.變式4-4．若△ABC的三個內(nèi)角滿足，則△ABC的形狀是（

A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．以上都有可能【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得可設(shè)，，，再由余弦定理判斷最大角的余弦值符號即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，，（），則由余弦定理有：，又，所以，即為鈍角；故選：A.題型戰(zhàn)法五面積公式的應(yīng)用典例5．在△ABC中，，，，則△ABC的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面積公式求解即可【詳解】由可得，又，解得，，又由可得，所以的面積為，故選：D變式5-1．在△ABC中，角的對邊分別為，若，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和面積公式計算后可得正確的選項.【詳解】因為，所以.因為為三角形內(nèi)角，故，所以三角形的面積.故選：B.變式5-2．在△ABC中，的面積等于，則等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形面積公式可求，進而利用余弦定理可求的值．【詳解】解：，，的面積等于，解得：，由余弦定理可得：．故選：C．變式5-3．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理可求的值，從而可求三角形的面積．【詳解】因為，故，而，故，故，故三角形的面積為，故選：A．變式5-4．已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理可求.【詳解】由余弦定理可得，而三角形面積為，故，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故.故選：C.題型戰(zhàn)法六判斷三角形解的個數(shù)典例6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列各組條件中，使得△ABC恰有一個解的是（A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理逐項判斷.【詳解】A.因為，由正弦定理得

，則，無解；B.因為，由正弦定理得

，則，又，則，有兩解，故錯誤；C.因為，則，所以無解，故錯誤；D.因為，由正弦定理得

，則，又，且，所以，故有一解，故正確.故選：D變式6-1．在△OAB中，，，，則滿足條件的三角形的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形邊角關(guān)系定理即可判斷【詳解】如圖所示，因為，所以又，所以為銳角則滿足條件的三角形只有一個故選：B變式6-2．下列條件判斷三角形解的情況，正確的的個數(shù)是（

）．①，，，有兩解；②，，，有一解；③，，，無解；④，，，有一解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】對于①，由正弦定理求得，可判斷三角形解的個數(shù)；對于②，由正弦定理求得，結(jié)合三角形中大邊對大角性質(zhì)，可判斷三角形解的個數(shù)；對于③，由正弦定理，結(jié)合，可得解的個數(shù)；對于④，由正弦定理得，結(jié)合可得三角形的解有一個,由此可得答案.【詳解】對于①，由正弦定理，則由,可得有一解，故三角形的解有一個,錯誤；對于②，由正弦定理，因為，故,則三角形的解有兩解，錯誤；對于③，由正弦定理，則由且

,可得有一解，故三角形的解有一個，錯誤；對于④，由正弦定理，則由且,可得有一解，故三角形的解有一個,正確,故選：A變式6-3．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，A＝45°，若三角形有兩解，則b的可能取值是（

）A．2 B．2.3 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形即可由解的個數(shù)求得b的取值范圍，從而得到答案.【詳解】如圖，有兩解的充要條件是，解得，故b的取值范圍是，結(jié)合各選項可知B正確．故選:B變式6-4．在中，，，，若滿足條件的三角形有兩個，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】因為滿足條件的三角形有兩個，所以,將已知條件代入即可得出結(jié)果.【詳解】因為滿足條件的三角形有兩個，所以,將，，，代入，解得.故選：C題型戰(zhàn)法七正、余弦定理的綜合應(yīng)用典例7．記△ABC中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求△ABC的面積.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和求解即可；（2）根據(jù)余弦定理可得或，再根據(jù)面積公式求解即可(1)由正弦定理可得，故，因為，故，故，又，故(2)根據(jù)余弦定理可得，故，故，.當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的面積為或變式7-1．在①，②這兩個條件中任