高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.6空間幾何體中垂直的判定與性質(zhì)(精講)(原卷版+解析)

7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α知識(shí)拓展1．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．【題型精講】【題型一線面垂直的判定】技巧方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)．將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐，求證：平面【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面2.(2023·海原縣高三模擬）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足，證明：AM⊥平面3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，為中點(diǎn)，求證：平面【題型二面面垂直的判定】技巧方法判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．例3(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，在三棱柱中，，，，，證明：平面平面例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時(shí)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．2.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．【題型三線線垂直的判定】例5(2023·江西高三模擬）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，，，證明：【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．【題型四垂直中的探究性問(wèn)題】例7(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為側(cè)棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三梭柱中，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．（1）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫(xiě)出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）求點(diǎn)到平面的距離．【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫(xiě)出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖所示，在幾何體中，是等邊三角形，平面，，且，試在線段上確定點(diǎn)的位置，使平面，并證明；7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α知識(shí)拓展1．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．【題型精講】【題型一線面垂直的判定】技巧方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面答案：證明見(jiàn)詳解【解析】平面平面，平面平面，，，平面，又平面，，又，，，，，，，，又，平面；例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)．將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐，求證：平面答案：證明見(jiàn)解析【解析】連接．∵四邊形為菱形，，∴是等邊三角形．∵為的中點(diǎn)，∴，．又∵，∴，，∴，∴，∵，∴，．又，平面，平面，∴平面．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面答案：證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，連接AF，由題意知為等腰三角形，而為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．連接，則，，而，，所以且，所以是平行四邊形，因此，故平面．2.(2023·海原縣高三模擬）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足，證明：AM⊥平面答案：證明見(jiàn)解析【解析】聯(lián)結(jié)AC，由知，，即，由在直四棱柱中，平面ABCD，則又，則平面ACM，又平面ACM，則，又，則，由條件知，且，故平面；3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，為中點(diǎn)，求證：平面答案：證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．【題型二面面垂直的判定】技巧方法判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．例3(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，在三棱柱中，，，，，證明：平面平面答案：證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；答案：證明見(jiàn)解析【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.∵是棱的中點(diǎn)，為正三角形，∴.∵，∴平面.∵平面∴.又∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.又∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時(shí)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】(1)證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，所以，又，平面，所以平面；(2)證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(3)證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若選①，，，所以，所以，此時(shí)，所以如圖過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；2.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?2)因?yàn)橹比庵舷碌酌鏋檎切?，，，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)樗云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面【題型三線線垂直的判定】例5(2023·江西高三模擬）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：答案：證明見(jiàn)解析【解析】由題意，在直三棱柱中，，不妨設(shè)，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，又由是線段的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?在直角中，，因?yàn)槭蔷€段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，，，證明：答案：證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接，.四邊形是菱形，，.又是的中點(diǎn)，.又，.是直四棱柱，平面.又平面，.又，平面.又平面，.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：答案：證明見(jiàn)解析【解析】證明：取的中點(diǎn)，連，，∵為等邊三角形，且是邊的中點(diǎn)，∴，∵平面底面，且它們的交線為，∴平面，則，∵，且∴平面，∴；2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．答案：(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．【題型四垂直中的探究性問(wèn)題】例7(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為側(cè)棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）存在，,理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，由已知，，,得.由,得.在中，由，得.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所?在直角梯形中，因，故，，因，所以.所以.又，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（3）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則即為所求的點(diǎn)，由，，，得平面.因?yàn)槠矫?，所?又，所以平面.由，，，得.例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)