高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.7空間幾何體中求夾角(精講)(原卷版+解析)

7.7空間幾何體中求夾角【題型解讀】【知識(shí)必備】1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【題型精講】【題型一異面直線所成的角】技巧方法用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．例1(2023·陜西安康·高三期末）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，并且，，底面，已知，四邊形的面積為.（1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求直線與所成角的余弦值.【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2.(2023·海原縣高三模擬）底面為正三角形的直棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，.已知.將沿直線翻折成，連接.當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為___________；若此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則a的值為___________.【題型二直線與平面所成的角】技巧方法利用空間向量求線面角的解題步驟例3(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，E為線段中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足．（1）若三棱錐體積是，求的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求的值．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.2.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，過點(diǎn)，，的平面與棱交于點(diǎn)．（1）證明四邊形為矩形；（2）若與平面所成角的正切值為，求與平面所成角的正弦值．【題型三平面與平面的夾角】技巧方法利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟例5(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，且（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為，求的值.【題型四空間角的綜合運(yùn)用】例7(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的（

）個(gè)．①若E為的中點(diǎn)，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為④過點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）（多選）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且面，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q的軌跡為線段B．與CD所成角的范圍為C．的最小值為D．二面角的正切值為2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值7.7空間幾何體中求夾角【題型解讀】【知識(shí)必備】1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【題型精講】【題型一異面直線所成的角】技巧方法用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．例1(2023·陜西安康·高三期末）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，并且，，底面，已知，四邊形的面積為.（1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求直線與所成角的余弦值.答案：（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，解得，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，因?yàn)?，所以直線平面.（2）因?yàn)榈酌?，所以為在平面?nèi)的投影，故即為直線與平面所成的角，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，如圖，作空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，故直線與所成角的余弦值為.【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，.所以，.故選：C.2.(2023·海原縣高三模擬）底面為正三角形的直棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，，，∴，故選：C3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，.已知.將沿直線翻折成，連接.當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為___________；若此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則a的值為___________.答案：；.【解析】在直角梯形中，∵，，，∴，，可得，即，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，取中點(diǎn)E，中點(diǎn)F，連接，，則，∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵，，∴，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以??所在直線為x?y?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)異面直線與所成角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為；顯然，又，所以點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，且球半徑.由，解得.故答案為：①；②.【題型二直線與平面所成的角】技巧方法利用空間向量求線面角的解題步驟例3(2023·全國(guó)高三模擬）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，E為線段中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．答案：(1)證明見解析；(2).【解析】(1)取中點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O，連接，由，且梯形，有且，故平行四邊形，又，故為菱形，所以為的中點(diǎn)，故.又因?yàn)?，故，因?yàn)?，面，故面，又面，故?2)在中，，故，因?yàn)椋?，由，即，即，故面，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，故，故，設(shè)面的法向量為，則，令，故，所以，故與平面所成角的正弦值為．例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足．（1）若三棱錐體積是，求的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求的值．答案：（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，因?yàn)榈酌妫?、，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，于是，所以，過作于，過作于，所以，解得．（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，解得或（舍去）．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．2.(2023·全國(guó)高三模擬）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，過點(diǎn)，，的平面與棱交于點(diǎn)．（1）證明四邊形為矩形；（2）若與平面所成角的正切值為，求與平面所成角的正弦值．答案：（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，，在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所以．因?yàn)樵谌庵?，平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形．在中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以．由題可知平面，所以，，因?yàn)?，所以平面，所以，故四邊形為矩形；?）由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，又題可知，在中，，所以，所以，，，，則，．因?yàn)?，所以．設(shè)平面的法向量為，則即，所以令，所以．設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為．【題型三平面與平面的夾角】技巧方法利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟例5(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．答案：(1)證明見解析；(2)【解析】(1)連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)過點(diǎn)作，連接，與，分別交于點(diǎn)，點(diǎn).因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以，是平面與平面的交線.由是等邊三角形，是的重心，知點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn).平面，平面，所以，又，平面，，則平面，所以平面，又平面，于是，，為平面與平面所成二面角的平面角.由等邊三角形的邊長(zhǎng)為，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．答案：（1）證明見解析；（2）．【解析】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.答案：（1）證明見解析；（2）；【解析】（1）∵為的中點(diǎn)，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由題設(shè)易知：，故，又，∴，則，又，∴平面.（2）過D作，由（1）可構(gòu)建以為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：∴由題意：，，，，∴，，，顯然，是面的一個(gè)法向量，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，∴，由圖知：鈍二面角的余弦值為.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，且（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為，求的值.答案：（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，且，因?yàn)椋?，令，所以，又因?yàn)椋?，令，所以，所以，又因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，所以解得（舍去），綜上可知：.【題型四空間角的綜合運(yùn)用】例7(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為答案：BCD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的（

）個(gè)．①若E為的中點(diǎn)，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為④過點(diǎn)，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.所以，.對(duì)于①：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，不妨令x=1,則，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為.又因?yàn)?，所以與不垂直，所以直線平面不成立.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：三棱錐的體積等于三棱錐的體積.又，高為a,所以.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，.平面的一個(gè)法向量為,而.設(shè)直線B1E與平面所成的角為，所以.所以，所以，即直線與平面所成的角正切值為.故③正確；對(duì)于④：設(shè).因?yàn)?，，所以在上得到投影?所以點(diǎn)E到直線的距離為.當(dāng)z=0，即D、E重合時(shí)，截面為矩形，其面積為.當(dāng)時(shí)，截面為等腰梯形.設(shè)截面交于F.所以，高，所以其面積為.記，所以，所以在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.因?yàn)椋援?dāng)z=a，即D1、E重合時(shí)，截面為邊長(zhǎng)為的正三角形，其面積為.綜上所述：.故④正確.故選：B