高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.4空間幾何體的最值、范圍問題(精講)(原卷版+解析)

7.4空間幾何體的最值、范圍問題【題型解讀】【題型精講】【題型一切接中的最值、范圍問題】例1(2023·陜西安康·高三期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為A．1 B．2 C．3 D．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）已知在半徑為2的球面上有、、、四點，若，則四面體的體積的最大值為A． B． C． D．2.(2023·海原縣高三模擬）已知球的直徑，，是該球面上的兩點，，則三棱錐的體積最大值是A．2 B． C．4 D．【題型二截面中的最值、范圍問題】例2(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，，于，于，若，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值為A．2 B． C． D．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）在正三棱錐中，，，兩兩垂直，，點在線段上，且，過點作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值是A． B． C． D．2.(2023·全國高三模擬）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，，分別為棱，的中點，則經(jīng)過，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．【題型三平行、垂直中的最值、范圍問題】例3(2023·江西高三模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點，動點在底面內(nèi)（不包括邊界）．若平面，則的最小值是A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體中，點，分別是線段，（不包括端點上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，點M，N分別在棱和上，且，則線段的長度的最大值為___________，此時，三棱錐的體積為___________.【題型四其它類型的最值、范圍問題】例4(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（）A． B． C． D．例5(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為，分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點G，H，給出以下四個命題：①平面與平面所成角的最大值為45°；②四邊形的面積的最小值為；③四棱錐的體積為定值；④點到平面的距離的最大值為.其中正確命題的序號為（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④【題型精練】1.已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．2.正方體的棱長為4，點在棱上，且，點是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為16，則動點到點的最小值是（）．A． B． C． D．3.(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模）（多選）已知邊長為2的等邊，點、分別是邊、上的點，滿足且（），將沿直線折到的位置，在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）A．在邊上存在點，使得在翻折過程中，滿足平面B．存在，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面平面C．若，當(dāng)二面角等于60°時，D．在翻折過程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為7.4空間幾何體的最值、范圍問題【題型解讀】【題型精講】【題型一切接中的最值、范圍問題】例1(2023·陜西安康·高三期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為A．1 B．2 C．3 D．答案：B【解析】如圖所示，由，，可得，，，．設(shè)的外接圓的半徑為，，．當(dāng)平面時，該三棱錐取得體積的最大值為由．解得．所以，解得．故選：．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）已知在半徑為2的球面上有、、、四點，若，則四面體的體積的最大值為A． B． C． D．答案：B【解析】過作平面，使平面，交于，設(shè)點到的距離為，則有，當(dāng)直徑通過與的中點連線時，，故．故選：．2.(2023·海原縣高三模擬）已知球的直徑，，是該球面上的兩點，，則三棱錐的體積最大值是A．2 B． C．4 D．答案：A【解析】如圖，球的直徑，，是該球面上的兩點，，，，（其中為點到底面的距離），故當(dāng)最大時，的體積最大，即當(dāng)面面時，最大，球的直徑，，，，，即，此時．故選：．【題型二截面中的最值、范圍問題】例2(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，，于，于，若，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值為A．2 B． C． D．答案：D【解析】在中，，，，，．底面，得，，平面，可得，，平面平面，且，面，結(jié)合平面，可得．中，，可得，平面，平面．．中，，當(dāng)，即時，有最大值為故選：．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）在正三棱錐中，，，兩兩垂直，，點在線段上，且，過點作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值是A． B． C． D．答案：A【解析】在正三棱錐中，，，兩兩垂直，，構(gòu)造以，，為棱長的正方體，且該正方體棱長為，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則該正三棱錐外接球球心為中點，半徑為，點在線段上，且，，，，，，過點作該正三棱錐外接球的截面，當(dāng)所得截面圓面積取最小值時截面圓的圓心為，當(dāng)所得截面圓面積取最小值時截面圓的半徑為：，過點作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值為．故選：．2.(2023·全國高三模擬）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，，分別為棱，的中點，則經(jīng)過，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．答案：C【解析】因為正方體內(nèi)接于球，所以，，過球心和點、的大圓的截面圖如圖所示，則直線被球截得的線段為，過點作，垂足為點，，，所以，在中，．所以所求經(jīng)過、的平面截球所得的截面的面積的最小值是：．故選：．【題型三平行、垂直中的最值、范圍問題】例3(2023·江西高三模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點，動點在底面內(nèi)（不包括邊界）．若平面，則的最小值是A． B． C． D．答案：B【解答】如圖，在上取中點，在上取中點，連接，，，，且，，平面，則動點的軌跡是，（不含，兩點）又平面，則當(dāng)時，取得最小值，．故選：．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）棱長為1的正方體中，點，分別是線段，（不包括端點上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是A． B． C． D．答案：A【解析】由題意在棱長為1的正方體中，點，分別是線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，△△，設(shè)，，則，到平面的距離為，所以四面體的體積為，當(dāng)時，體積取得最大值：．故選：．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，點M，N分別在棱和上，且，則線段的長度的最大值為___________，此時，三棱錐的體積為___________.答案：3【解析】設(shè)，，則，，在正方體中，因為，所以，所以，，，因為，所以，即，化簡得，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，所以線段的長度的最大值為，此時.故答案為：；3【題型四其它類型的最值、范圍問題】例4(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】作BEAD于E，連接CE，如圖，因為再平面BEC內(nèi)相交，所以AD平面BEC，因為CE平面BEC，所以CEAD，因為，所以B與C都是在以A、D為焦點的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB＋BD=AC+CD=2，顯然，所以BE=CE.取BC中點F，要求四面體ABCD的體積的最大值，因為AD是定值，只需三角形EBC的面積最大，因為BC是定值,所以只需EF最大即可，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，因為AB＋BD=AC+CD=2，，，所以幾何體的體積為故選：B例5(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為，分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點G，H，給出以下四個命題：①平面與平面所成角的最大值為45°；②四邊形的面積的最小值為；③四棱錐的體積為定值；④點到平面的距離的最大值為.其中正確命題的序號為（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④答案：D【解析】對于①，四邊形為平行四邊形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四邊形為菱形，且，平面在底面上的射影為四邊形，設(shè)平面與平面所成角為，則，又，得，可得所成角的最大值不為45°，故①錯誤；對于②，由，可得菱形的面積的最小值為，故②正確；對于③，四棱錐的體積為，故③正確；對于④，設(shè)，，()，設(shè)到平面的距離為d，可得，所以(其中)，當(dāng)即時，取得最大值，故④正確.故選：D.【題型精練】1.已知正方體的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．答案：B【解析】解：點關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因為，而，故，故選：B.2.正方體的棱長為4，點在棱上，且，點是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為16，則動點到點的最小值是（）．A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示，作，為垂足，則面過點作，則面所以即為到直線的距離因為，所以所以點的軌跡是以為準(zhǔn)線，點為焦點的拋物線如圖建立直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是點,設(shè)所以所以當(dāng)，取得最大值故選：C3.(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模）（多選）已知邊長為2的等邊，點、分別是邊、上的點，滿足且（），將沿直線折到的位置，在翻折過程中，下列結(jié)論成立的是（）A．在邊上存在點，使得在翻折過程中，滿足平面B．存在，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面平面C．若，當(dāng)二面角等于60°時，D．在翻折過程中，四棱