高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)1.4.1均值不等式及其應(yīng)用(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第一章集合與常用邏輯用語、不等式1.4.1均值不等式及其應(yīng)用（題型戰(zhàn)法）知識梳理1．算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)，數(shù)稱為的算術(shù)平均值；數(shù)稱為的幾何平均值．2．均值不等式如果都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3.均值不等式求最值得關(guān)鍵在于“一正二定三相等”一正：各項必須為正。二定：要求積的最大，其和必為定值，要求和的最小，其積必為定三等：必須驗證等號成立的條件。4.均值不等式相關(guān)拓展推式：（1）（2）（3）（4）題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一均值不等式的內(nèi)容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．變式1-1．已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．變式1-2．已知，，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．變式1-3．對于，，下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．變式1-4．若a＞0，b＞0，且a≠b，則（

）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜題型戰(zhàn)法二均值不等式的簡單應(yīng)用典例2．若，且，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．變式2-1．已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．變式2-2．已知，，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．1變式2-3．設(shè)，，若和的等差中項是0，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．變式2-4．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法三均值不等式相關(guān)拓展公式的應(yīng)用典例3．已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B．C． D．變式3-1．若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．變式3-2．若，，且，則（

）A． B． C． D．變式3-3．已知A． B． C． D．變式3-4．已知，，，則下列各式中正確的是（

）A． B．1 C．2 D．1題型戰(zhàn)法四均值不等式“1”的妙用典例4．已知，，，則的最小值為（

）A． B．12 C． D．6變式4-1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．16 D．20變式4-2．若正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．9變式4-3．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式4-4．設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法五對勾函數(shù)與均值定理的關(guān)系與區(qū)別典例5．下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)且時，B．當(dāng)時，的最小值為4C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，變式5-1．下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．變式5-2．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值變式5-3．若，則的（

）A．最小值為0 B．最大值為4C．最小值為4 D．最大值為0變式5-4．已知時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．3題型戰(zhàn)法六分式最值問題典例6．已知，則有A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2變式6-1．若，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式6-2．若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值變式6-3．設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式6-4．已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法七均值不等式的綜合應(yīng)用典例7．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式7-1．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，當(dāng)角A取最大值時，則（

）A． B． C． D．變式7-2．等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．大小不定變式7-3．函數(shù)的最小值為(

)A．0 B．1 C．2 D．-1變式7-4．如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，，若，，則的最小值是（

）A． B．C． D．第一章集合與常用邏輯用語、不等式1.4.1均值不等式及其應(yīng)用（題型戰(zhàn)法）知識梳理1．算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)，數(shù)稱為的算術(shù)平均值；數(shù)稱為的幾何平均值．2．均值不等式如果都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3.均值不等式求最值得關(guān)鍵在于“一正二定三相等”一正：各項必須為正。二定：要求積的最大，其和必為定值，要求和的最小，其積必為定三等：必須驗證等號成立的條件。4.均值不等式相關(guān)拓展推式：（1）（2）（3）（4）題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一均值不等式的內(nèi)容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)時，不等式顯然不成立，故錯誤；對于B選項，成立的條件為，故錯誤；對于C選項，當(dāng)時，不等式顯然不成立，故錯誤；對于D選項，由于，故，正確.故選：D變式1-1．已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式判斷．【詳解】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．變式1-2．已知，，則下列式子一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，由基本不等式可得，A錯；對于B選項，因為，所以，所以，，故，B錯；對于C選項，因為，，由基本不等式可得，所以，，C錯；對于D選項，因為，，由不等式的性質(zhì)可得，則，所以，，D對.故選：D.變式1-3．對于，，下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】對于A，令a＝－，b＝－，則＋＝－a－b＝－(a＋b)≤－2＝－，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，不成立；對于B，>0,>0，所以＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，成立；對于C，st＝(－s)(－t)≤，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，成立；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，成立．故選：A變式1-4．若a＞0，b＞0，且a≠b，則（

）A．＜＜ B．＜＜C．＜＜ D．＜＜【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判斷選項.【詳解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故選：B題型戰(zhàn)法二均值不等式的簡單應(yīng)用典例2．若，且，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故選：A變式2-1．已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】【分析】直接由基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.故選：D變式2-2．已知，，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)和基本不等式即可求解：.【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，取等號.故選：A.變式2-3．設(shè)，，若和的等差中項是0，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因為和的等差中項是，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為2.故選：B變式2-4．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.題型戰(zhàn)法三均值不等式相關(guān)拓展公式的應(yīng)用典例3．已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】A、B、C選項結(jié)合均值不等式證明即可，D選項舉出反例即可說明錯誤.【詳解】A：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又因為，所以，即，故A正確；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，所以，故B正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故C正確；D：若，則，故D錯誤；故選：D.變式3-1．若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】依題意，且，所以，所以，所以A選項錯誤.，所以B選項正確.，所以C選項錯誤.，所以D選項錯誤.故選：B【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.變式3-2．若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式分析判斷即可【詳解】因為，，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以B錯誤，所以由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以A錯誤，由，，且，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以D錯誤，故選：C變式3-3．已知A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運用．由,且，∴，∴．變式3-4．已知，，，則下列各式中正確的是（

）A． B．1 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除錯誤選項，利用基本不等式證明正確選項.【詳解】當(dāng)時，，所以AB選項錯誤，同時，所以D選項錯誤.對于C選項，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以C選項正確.故選：C題型戰(zhàn)法四均值不等式“1”的妙用典例4．已知，，，則的最小值為（

）A． B．12 C． D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等中“1”的用法，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：A.變式4-1．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．16 D．20【答案】C【解析】【分析】運用的“的妙用”和基本不等式即可求解.【詳解】由已知條件得，當(dāng)且僅當(dāng)，時，即，時等號成立.故選：.變式4-2．若正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．4 B． C．5 D．9【答案】B【解析】【分析】本題利用“1”的妙用技巧進(jìn)行替換，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，是正實數(shù)，所以故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取到等號.故選：B.變式4-3．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則的最小值為.故選：A變式4-4．設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將拼湊為，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，即，時等號成立.故選：.題型戰(zhàn)法五對勾函數(shù)與均值定理的關(guān)系與區(qū)別典例5．下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)且時，B．當(dāng)時，的最小值為4C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】C【解析】【分析】A選項：取特值，當(dāng)時，，∴，由此可判斷；B選項：當(dāng)時，，由此可判斷；C選項：根據(jù)基本不等式，再驗證等號成立的條件可判斷；D選項：取特值，計算可判斷.【詳解】解：A選項：當(dāng)時，，∴，故A錯誤；B選項：當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故B錯誤；C選項：當(dāng)時，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故C正確；D選項：當(dāng)，時，，，故D錯誤.故選：C.變式5-1．下列不等式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用基本不等式或反例逐項檢驗可得正確的選項.【詳解】對于A，取，則，故A錯.對于B，取，則，故B錯..對于C，取，則，故C錯.對于D，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：D.變式5-2．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【答案】D【解析】根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，有最大值.故選：D．變式5-3．若，則的（

）A．最小值為0 B．最大值為4C．最小值為4 D．最大值為0【答案】D【解析】【分析】結(jié)合拼湊法和基本不等式即可求解【詳解】因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最大值0，故選：D．變式5-4．已知時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】根據(jù)基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.題型戰(zhàn)法六分式最值問題典例6．已知，則有A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】【詳解】依題意，類比對鉤函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為.點睛：本題主要考查分離常數(shù)法，考查對鉤函數(shù)的性質(zhì).對于分子分母都有的式子，可以采用分離常數(shù)的方法，將分子變簡單.對鉤函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增，而函數(shù)是由函數(shù)圖像整體向右平移兩個單位所得，故時，函數(shù)取得最小值為.變式6-1．若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將所求的代數(shù)式整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：B.變式6-2．若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】【分析】將給定函數(shù)化簡變形，再利用均值不等式求解即得.【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時，有最大值.故選：A變式6-3．設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】計算得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】因為正實數(shù)、、滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的最大值為.故選：C.變式6-4．已知正實數(shù)、、滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得出，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】，，，由于、、均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值是.故選：C.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題.題型戰(zhàn)法七均值不等式的綜合應(yīng)用典例7．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】