高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.5平面向量中的最值、范圍問題(精講)(原卷版+解析)_第1頁
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5.5平面向量中的最值、范圍問題【題型解讀】【知識必備】一、平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識的交匯組合.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.二、平面向量范圍與最值問題常用方法:(1)坐標(biāo)法第一步:根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步:將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解(2)基底法第一步:利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步:根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論(3)幾何意義法第一步:先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步:解得結(jié)果【題型精講】【題型一平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】必備技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法(1)運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后,再運(yùn)算,(2)建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理,(3)利用極化恒等式來處理.例1(2023·河南高三月考)騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動,深受大眾喜愛,如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖,已知圖中的圓(前輪),圓(后輪)的半徑均為,,,均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn),則在騎動該自行車的過程中,的最大值為A.18 B.24 C.36 D.48例2(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測)邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓,是內(nèi)切圓的一條弦,點(diǎn)為正方形四條邊上的動點(diǎn),當(dāng)弦的長度最大時,的取值范圍是_________.【跟蹤精練】1.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測)已知圓半徑為2,弦,點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),則的最大值是2.(2023·云南玉溪·高三月考)如圖直角梯形ABCD中,EF是CD邊上長為6的可移動的線段,,,,則的取值范圍為________________.

【題型二平面向量模的最值范圍問題】方法技巧模的最值范圍處理方法設(shè),則,向量的??梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可結(jié)合平面幾何知識求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求.例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測)已知△ABC為等邊三角形,AB=2,△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足,的最小值為() 例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測)已知向量,滿足,,則的最大值為______.【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習(xí))已知,點(diǎn)在線段上,且的最小值為,則()的最小值為(

)A. B. C.2 D.2.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考)已知平面向量,,滿足,,與的夾角為,則的最大值為___________.【題型三平面向量夾角的最值范圍問題】例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測)非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是.例6(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考)已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是.【題型精練】1.(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量與的夾角為,,,,,在時取最小值,當(dāng)時,的取值范圍為A., B., C., D.,2.(2023·福建省漳州市高三期末)設(shè)向量、滿足:,,的夾角是,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍是A. B. C. D.【題型四平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】必備技巧系數(shù)的最值范圍處理方法(1)建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理,(2)利用極等和線定理來處理.例7(2023·全國·高三專題練習(xí))在矩形中,,,,分別是,上的動點(diǎn),且滿足,設(shè),則的最小值為(

)A.48 B.49 C.50 D.51例8(2023·海南??凇ざ#┰O(shè)為單位向量,非零向量,若的夾角為,則的最大值等于.【題型精練】1.(2023?南通期末)在中,M為BC邊上任意一點(diǎn),N為線段AM上任意一點(diǎn),若(,),則的取值范圍是(

)A. B. C. D.2.(2023?濟(jì)南期末)設(shè),為單位向量,非零向量,,,若,的夾角為,則的最小值為A. B. C.1 D.45.5平面向量中的最值、范圍問題【題型解讀】【知識必備】一、平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識的交匯組合.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.二、平面向量范圍與最值問題常用方法:(1)坐標(biāo)法第一步:根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步:將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解(2)基底法第一步:利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步:根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論(3)幾何意義法第一步:先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步:解得結(jié)果【題型精講】【題型一平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】必備技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法(1)運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后,再運(yùn)算,(2)建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理,(3)利用極化恒等式來處理.例1(2023·河南高三月考)騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動,深受大眾喜愛,如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖,已知圖中的圓(前輪),圓(后輪)的半徑均為,,,均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn),則在騎動該自行車的過程中,的最大值為A.18 B.24 C.36 D.48答案:C【解答】據(jù)題意:圓(后輪)的半徑均為,,,均是邊長為4的等邊三角形.點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn),故,,故【法二】:如圖建立平面直角坐標(biāo)系:則,,.可設(shè),所以,.故.故選:.例2(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測)邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓,是內(nèi)切圓的一條弦,點(diǎn)為正方形四條邊上的動點(diǎn),當(dāng)弦的長度最大時,的取值范圍是_________.答案:【解析】如下圖所示:設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓,當(dāng)弦的長度最大時,為圓的一條直徑,,當(dāng)為正方形的某邊的中點(diǎn)時,,當(dāng)與正方形的頂點(diǎn)重合時,,即,因此,.故答案為:.【跟蹤精練】1.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測)已知圓半徑為2,弦,點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),則的最大值是答案:6【解答】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,,則:;;當(dāng),即同向時取“”;的最大值為6.故答案為:6.2.(2023·云南玉溪·高三月考)如圖直角梯形ABCD中,EF是CD邊上長為6的可移動的線段,,,,則的取值范圍為________________.

答案:【解析】在上取一點(diǎn),使得,取的中點(diǎn),連接,,如圖所示:則,,,,即.,當(dāng)時,取得最小值,此時,所以.當(dāng)與重合時,,,則,當(dāng)與重合時,,,則,所以,即的取值范圍為.故答案為:【題型二平面向量模的最值范圍問題】方法技巧模的最值范圍處理方法設(shè),則,向量的??梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可結(jié)合平面幾何知識求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求.例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測)已知△ABC為等邊三角形,AB=2,△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足,的最小值為() 答案:C【解析】建系A(chǔ),B,C,設(shè)P,,,則P到距離為1,則最小值為例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測)已知向量,滿足,,則的最大值為______.答案:【解析】設(shè)向量的夾角為,,,則,令,則,據(jù)此可得:,即的最大值是故答案為:.【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習(xí))已知,點(diǎn)在線段上,且的最小值為,則()的最小值為(

)A. B. C.2 D.答案:B【解析】當(dāng)時,取得最小值,因?yàn)椋源藭r點(diǎn)為線段的中點(diǎn),因?yàn)?,所以,故,則,因?yàn)椋剩蔬x:B.2.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考)已知平面向量,,滿足,,與的夾角為,則的最大值為___________.答案:【解析】∵,,∴,如圖所示,設(shè)平面向量,,都是以O(shè)為起點(diǎn),終點(diǎn)分別是A,B,C,則平面向量+的終點(diǎn)N到O的距離為2,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心,半徑為1的圓周上.由與的夾角為,∴點(diǎn)C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上,當(dāng)C,M,N共線,且C,N在直線AB的兩側(cè),并且CM⊥AB時,|CN|最大,也就是取得最大值,此時,,|CN|=,故答案為:.【題型三平面向量夾角的最值范圍問題】例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學(xué)模擬預(yù)測)非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是.答案:【解析】由題意得,,整理得,即,,夾角的最小值為例6(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考)已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是.【解析】由于與的夾角為銳角,,且與不共線同向,由,解得,當(dāng)向量與共線時,得,得,因此的取值范圍是且.【題型精練】1.(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量與的夾角為,,,,,在時取最小值,當(dāng)時,的取值范圍為A., B., C., D.,【解析】解:由題意得:,,,由二次函數(shù)知,當(dāng)上式取最小值時,,,,解得.的取值范圍為.故選:.2.(2023·福建省漳州市高三期末)設(shè)向量、滿足:,,的夾角是,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍是A. B. C. D.【解析】解:向量、滿足:,,的夾角是,.若與的夾角為鈍角,則,且與不共線,即,且,即,且.求得,,即,,,故選:.【題型四平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】必備技巧系數(shù)的最值范圍處理方法(1)建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理,(2)利用極等和線定理來處理.例7(2023·全國·高三專題練習(xí))在矩形中,,,,分別是,上的動點(diǎn),且滿足,設(shè),則的最小值為(

)A.48 B.49 C.50 D.51答案:B【解析】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè),,因?yàn)椋?,?因?yàn)?,所以,,所?當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號.故選:B.例8(2023·海南??凇ざ#┰O(shè)為單位向量,非零向量,若的夾角為,則的最大值等于.【解析】解:,只考慮,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.則的最大值等于.故答案為:.【題型精練】1.(2023?南

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