高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第10練平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

第10練平面向量的應(yīng)用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．河水的流速為2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度為（）A．10m/s B．226m/s C．46m/s D．12m/s2．一物體受到相互垂直的兩個力F1、F2的作用，兩力大小都為53A．103N B．0N C．563．已知D是△ABC內(nèi)部（不含邊界）一點，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→A．23 B．34 C．74．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動點，且AP→=λ(AB→+A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，OA→+OB→+OC→=0A．12 B．13 C．146．平面內(nèi)△ABC及一點O滿足AO→?AB→|A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心7．在△ABC內(nèi)使AP2+BP2+CP2的值最小的點P是△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心8．如圖，扇形的半徑為2，圓心角∠BAC＝150°，點P在弧BC上運動，AP→=xAB→+yACA．[?3，2] B．[﹣1，2] C．[﹣2，4] 9．已知向量a→，b→滿足|a→|=3，|b→|＝1，且對任意實數(shù)x，不等式|a→+xb→|≥|a→A．2 B．?2 C．﹣22 D．210．若a→，b→，c→均為單位向量，且a→?b→=?12，c→=xa→+yA．2 B．3 C．2 D．111．已知向量OP1，→OP2→，OP3→A．正三角形 B．鈍角三角形 C．非等邊的等腰三角形 D．直角三角形12．已知O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→?OBA．22 B．2+2 C．1+13．已知平面上的兩個單位向量a→，b→滿足a→?b→=45，若mA．52 B．25 C．5314．已知點G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A．33 B．22 C．2315．在△ABC中，AB→?AC→=7，|ABA．24 B．16 C．12 D．8二．填空題16．如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，|F1|17．如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)．已知兩條繩上的拉力分別是F1→，F(xiàn)2→，且F1→，F(xiàn)2→與水平夾角均為45°，|F118．一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距53海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西30°方向上，另一燈塔在南偏西60°方向上，則該船的速度是海里/小時．19．河水從東向西流，流速為2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北橫渡，則船實際航行的速度的大小是km/h．20．設(shè)O為△ABC內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，則S△21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，重心為G，若2aGA→+3bGB→+3cGC22．在邊長為1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，則23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，則|a→?b24．已知a→，b→是兩個平面向量，|b→|=22，且對任意t∈25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n26．已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(1，327．如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，則線段EF的長是．28．定義在（0，3）上的函數(shù)f（x）的圖象如圖所示a→=（f（x），0），b→=（cosx，0），那么不等式a→三．解答題29．如圖，已知河水自西向東流速為|v0|＝1m/s，設(shè)某人在靜水中游泳的速度為v1，在流水中實際速度為v2．（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他實際前進(jìn)方向與水流方向的夾角α和v2（2）若此人實際前進(jìn)方向與水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向與水流方向的夾角β和v130．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，點O為△ABC所在平面上一點，滿足OC→=mOA→+nOB→（m，n（1）證明：CO→（2）若點O為△ABC的重心，求m、n的值；（3）若點O為△ABC的外心，求m、n的值．31．在△ABC中，D是線段AB上靠近B的一個三等分點，E是線段AC上靠近A的一個四等分點，DF→=4FE→，設(shè)AB（1）用m→，n→表示（2）設(shè)G是線段BC上一點，且使EG∥AF，求|CG32．已知|a→|=1，|b→（1）求a→+b（2）當(dāng)|a→+tb→33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），點P在（1）當(dāng)PA→?PB→取得最小值時，求（2）設(shè)∠APB＝θ，當(dāng)點P滿足（1）時，求cosθ的值．34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（（1）若存在實數(shù)k和t，滿足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=?ka→+4b→，且x→⊥y（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，試求出函數(shù)k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．35．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）若△ABC是∠B為直角的直角三角形，求t的值；（Ⅱ）若四邊形ABCD是平行四邊形，求|OD→第10練平面向量的應(yīng)用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．河水的流速為2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度為（）A．10m/s B．226m/s C．46m/s D．12m/s【解析】根據(jù)題意，設(shè)河水的流速為V1，則|V1|＝2m/s，小船的靜水速度為V2，合速度為V，|V|＝10，且V⊥V1，有V＝V1+V2，則V2＝V﹣V1，則有|V2|=V2?2V?故選：B．2．一物體受到相互垂直的兩個力F1、F2的作用，兩力大小都為53A．103N B．0N C．56【解析】根據(jù)平行四邊形定則，兩個合力的大小為：F=F12+故選：C．3．已知D是△ABC內(nèi)部（不含邊界）一點，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→A．23 B．34 C．7【解析】根據(jù)題意，如圖：設(shè)AD與BC交于點E，設(shè)BE＝xBC，則有BE→=x若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，則有S△BCD：S△ABC=4則DE=13AE，則有AD=23故S△ABD=23S△ABE=2x3又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，則有2x3=512，解可得x故AD→=23AE→=23又由AD→=xAB→+yAC→，則x=312，y故選：A．4．已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一動點，且AP→=λ(AB→+A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解析】根據(jù)題意，如圖，設(shè)BC的中點為D，則BD→=12BC→，則AP→=λ（AB即點P在BC邊的中線AD上，則點P的軌跡一定通過△ABC的重心，故選：C．5．已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，OA→+OB→+OC→=0A．12 B．13 C．14【解析】根據(jù)題意，O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，若OA→+OB→+設(shè)直線AO與BC交于點D，則有|AD|＝3|OD|，設(shè)O到BC的距離為d，則A到BC的距離為3d，故S△OBC：S△ABC=12×d×|BC|：12×故選：B．6．平面內(nèi)△ABC及一點O滿足AO→?AB→|A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心【解析】平面內(nèi)△ABC及一點O滿足AO→?AB→|AB→|=CO→?CA→|CA→|=則點O是△ABC的內(nèi)心．故選：C．7．在△ABC內(nèi)使AP2+BP2+CP2的值最小的點P是△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【解析】令CA→=a→，CB→=b于是AP2+BP2+CP2＝3m→2?2（a→+b→）?m→+a→2所以當(dāng)m→=13（a→+b→）時，AP此時OP→=OC則點P為△ABC的重心．故選：D．8．如圖，扇形的半徑為2，圓心角∠BAC＝150°，點P在弧BC上運動，AP→=xAB→+yACA．[?3，2] B．[﹣1，2] C．[﹣2，4] 【解析】根據(jù)題意，以AB為x軸，以A為原點，建立坐標(biāo)系，如圖：P（2cosθ，2sinθ），0°≤θ≤150°，則A（0，0），B（2，0），C（?3AP→則有（2cosθ，2sinθ）＝x（2，0）+y（?3，1）＝（x?3y，變形可得：cosθ＝x?32y，sinθ則有x＝cosθ+3sinθ，y＝2sinθ3x﹣y=3cosθ+3sinθ﹣2sinθ=3cosθ+sinθ＝2sin（又由0°≤θ≤150°，則60°≤θ+60°≤210°，則有﹣1≤3x﹣y＝2sin（θ故3x﹣y的取值范圍是[﹣1，2]；故選：B．9．已知向量a→，b→滿足|a→|=3，|b→|＝1，且對任意實數(shù)x，不等式|a→+xb→|≥|a→A．2 B．?2 C．﹣22 D．2【解析】當(dāng)a→，b（a→+b→）a→+xb斜邊大于直角邊恒成立，不等式|a→+xb→∵(a向量a→，b→滿足|a→|=∴tanα=2，tanθ=?∴tan2θ=2×(?2)1?(?210．若a→，b→，c→均為單位向量，且a→?b→=?12，c→=xa→+A．2 B．3 C．2 D．1【解析】∵a→，b→，且a→?b→=?12，c→=xa→∴c→2=(xa→+yb→設(shè)x+y＝t，y＝t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1＝0，∴3x2﹣3tx+t2﹣1＝0，∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1＝0有解，∴Δ＝9t2﹣12（t2﹣1）≥0，﹣3t2+12≥0，∴﹣2≤t≤2∴x+y的最大值為2．故選：A．11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→A．正三角形 B．鈍角三角形 C．非等邊的等腰三角形 D．直角三角形【解析】OP1→兩邊同時平方可得OP∵|∴OP由向量的數(shù)量積的定義可得，∠P1OP2＝120°同理可得∠P1OP2＝∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°∵|∴可得∠P1P2P3＝∠P1P3P2＝∠P2P1P3＝60°則三角形為等邊三角形故選：A．12．已知O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→?OBA．22 B．2+2 C．1+【解析】∵OA→?OB→=0，∴OA→⊥OB→，又∵|OA|AC→+BD→|＝|OC→當(dāng)OC→、OD→與OA→+OB故選：B．13．已知平面上的兩個單位向量a→，b→滿足a→?b→=45，若A．52 B．25 C．53【解析】∵|a∴|a∴m=?45時，|a故選：D．14．已知點G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A．33 B．22 C．23【解析】由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得，AG∵∠A＝120°，AB?AC設(shè)|∴|AB→|||AGx2+y2≥2xy＝8（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)取等號）∴|AG→|≥2故選：C．15．在△ABC中，AB→?AC→=7，|ABA．24 B．16 C．12 D．8【解析】設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由AB→?AC→=7，|AB→?AC→|＝6，得bcS△ABC=12bcsinA=12bc由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA＝36②，由①②消掉cosA得b2+c2＝50，所以b2+c2≥2bc，所以bc≤25，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝5時取等號，所以S△ABC=1故△ABC的面積的最大值為12，故選：C．二．填空題16．如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，|F1|【解析】如圖，∵|F∴|F∴物體的重力大小為20N．故答案為：20N．17．如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)．已知兩條繩上的拉力分別是F1→，F(xiàn)2→，且F1→，F(xiàn)2→與水平夾角均為45°，|F1【解析】設(shè)F1→，F(xiàn)2→的合力為∵F1→，∴F→2=（F1→+F2∴|F→∵物體平衡狀態(tài)．∴物體的重力大小為8．故答案為：8．18．一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距53海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西30°方向上，另一燈塔在南偏西60°方向上，則該船的速度是海里/小時．【解析】根據(jù)題意得：AB＝53海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝53海里，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝53×∵從C到D行駛了半小時，∴速度為152故答案為：15．19．河水從東向西流，流速為2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北橫渡，則船實際航行的速度的大小是km/h．【解析】由題意，如圖，OA→表示水流速度，OB則OC→則|OA→|=2，|∴|∴實際速度為4km/h．故答案為：420．設(shè)O為△ABC內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，則S△【解析】由題可得，OA→+2OB→+3設(shè)M，N分別為AB、AC的中點，則OM→=?2ON→，設(shè)S△∵M(jìn)N為△ABC的中位線，∴S△BOC∵M(jìn)是AB的中點，∴S△CAM又ON：OM＝1：2，∴S△COA∵N是AC的中點，∴S△ANB又ON：OM＝1：2，∴S△AOB故S△AOB：S△BOC：S△COA＝2：3：1．故答案為：2：3：1．21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，重心為G，若2aGA→+3bGB→+3cGC【解析】∵重心為G，2aGA→+3bGB→∴2a=3b＝3c不妨設(shè)2a=3b＝3c＝1，則cosB=故答案為：11222．在邊長為1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，則【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點A（?12，0），B（12，0），C設(shè)點D（x1，0），E（x2，y2），∵BD→=xBA→，∴（x1?12，0）＝x（﹣1，0），∴x∵CE→=yCA→，∴（x2，y2?32）＝y(tǒng)（?12，?32），∴x∴CD→?BE→=（x1，?32）?（x2?12，y2）＝x1（x2?12）?32y2＝（﹣x=12xy+12（x+y）﹣1≤12?(故答案為：?3823．向量|a→|＝8，|b→|＝12，則|a→?b【解析】根據(jù)題意，當(dāng)a→、b→反向時，|當(dāng)a→、b→同向時，|故答案為：20，4．24．已知a→，b→是兩個平面向量，|b→|=22，且對任意t【解析】∵對任意t∈R，恒有|b→?ta→|≥|b→?設(shè)|a→|＝x，|b→?a→|＝y(tǒng)，則x2+y2∴|a→?b→當(dāng)且僅當(dāng)“x＝y(tǒng)”時“＝”成立．∴最大值為4．故答案為：4．25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n【解析】∵OA→=（2，1），∴OC→=mOA∵m+2n＝7，∴由柯西不等式得，（12+22）（m2+n2）≥（m+2n）2＝49，當(dāng)m1=n∴|OC26．已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(1，3【解析】|2a∴sin(θ+π6)=?1故答案為：0．27．如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，則線段EF的長是72【解析】由圖象，得EF→=EA∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，∴2EF∵∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，∴＜AB∴|EF|=1∴EF的長為：72故答案為：7228．定義在（0，3）上的函數(shù)f（x）的圖象如圖所示a→=（f（x），0），b→=（cosx，0），那么不等式a→?b【解析】∵（0，3）上的函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，a→=（f（x），0），b→∴x∈（0，1）時f（x）＜0，cosx＞0；x∈[1，π2]時，cosx≥0，f（xx∈（π2，3）時，f（x）＞0，cosx∴a→?b→=f（x故答案為：（0，1）∪（π2三．解答題29．如圖，已知河水自西向東流速為|v0|＝1m/s，設(shè)某人在靜水中游泳的速度為v1，在流水中實際速度為v2．（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他實際前進(jìn)方向與水流方向的夾角α和v2（2）若此人實際前進(jìn)方向與水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向與水流方向的夾角β和v1【解析】設(shè)OA→=v0，OB→則由題意知v2→=根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得四邊形OACB為平行四邊形．（1）由此人朝正南方向游去得四邊形OACB為矩形，且|OB→|＝AC=則在直角△OAC中，|v2→|＝OCtan∠AOC=31=3，又α＝∠AOC∈（0，π（2）由題意知α＝∠OCB=π2，且|v2→|＝|OC|則在直角△OBC中，|v1→|＝OBtan∠BOC=1又∠AOC∈（0，π2），所以∠BOC=則β=π答：（1）他實際前進(jìn)方向與水流方向的夾角α為π3，v2的大小為2m/s（2）他游泳的方向與水流方向的夾角β為2π3，v1的大小為2m/s30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，點O為△ABC所在平面上一點，滿足OC→=mOA→+nOB→（m，（1）證明：CO→（2）若點O為△ABC的重心，求m、n的值；（3）若點O為△ABC的外心，求m、n的值．【解析】（1）OC→=mOA→+nOB→=∴CO→（2）點O為△ABC的重心，∴OA→∴m＝﹣1，n＝﹣1；（3）點O為△ABC的外心，∴CO→?CB→=12∵CO→?CB∴2m?3n=3m+2n=?1∴m=331．在△ABC中，D是線段AB上靠近B的一個三等分點，E是線段AC上靠近A的一個四等分點，DF→=4FE→，設(shè)AB（1）用m→，n→表示（2）設(shè)G是線段BC上一點，且使EG∥AF，求|CG【解析】（1）因為D是線段AB上靠近B的一個三等分點，所以AD→因為E是線段AC上靠近A的一個四等分點，所以AE→所以DE→因為DF→=4FE則AF→又AB→=m所以AF→（2）因為G是線段BC上一點，所以存在實數(shù)λ，使得CG→則EG→因為