導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)凹向與拐點(diǎn)

1.鉛直漸近線鉛直漸近線.或利用導(dǎo)數(shù)，就可以判斷曲線的升降，凹凸，如鉛直漸近線:(垂直于x軸的漸近線)以及極值點(diǎn)，拐點(diǎn)，就可以大致作出曲線的形狀.為了使作圖更精確，回憶曲線的漸近線.一、漸近線第1頁(yè)/共66頁(yè)如鉛直漸近線:第2頁(yè)/共66頁(yè)2.水平漸近線如水平漸近線:水平漸近線.或(b為常數(shù))(平行于x軸的漸近線)=)(limxf第3頁(yè)/共66頁(yè)3.斜漸近線斜漸近線.明顯有從而將a帶入即可求出b.)1()0,,(1aba且為常數(shù)第4頁(yè)/共66頁(yè)例解定義域第5頁(yè)/共66頁(yè)無(wú)水平漸近線第6頁(yè)/共66頁(yè)利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.確定函數(shù)的定義域、值域、間斷點(diǎn),函數(shù)是否有奇偶性、周期性.判定和拐點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性和極值,曲線的凹凸性漸近線.

適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).特別注意123二、圖形描繪的步驟第7頁(yè)/共66頁(yè)例解無(wú)奇偶性及周期性.三、作圖舉例第8頁(yè)/共66頁(yè)拐點(diǎn)極大值極小值列表第9頁(yè)/共66頁(yè)拐點(diǎn)極大值極小值第10頁(yè)/共66頁(yè)例解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).第11頁(yè)/共66頁(yè)極大值拐點(diǎn)第12頁(yè)/共66頁(yè)作業(yè)作業(yè)冊(cè)本節(jié)全部第13頁(yè)/共66頁(yè)第三節(jié)泰勒(Taylor)公式14第14頁(yè)/共66頁(yè)15不足:問(wèn)題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。第15頁(yè)/共66頁(yè)16分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交第16頁(yè)/共66頁(yè)17N階接觸第17頁(yè)/共66頁(yè)18拉格朗日型余項(xiàng)第18頁(yè)/共66頁(yè)19證明:第19頁(yè)/共66頁(yè)20第20頁(yè)/共66頁(yè)21第21頁(yè)/共66頁(yè)22說(shuō)明:第22頁(yè)/共66頁(yè)23麥克勞林(Maclaurin)公式此時(shí)泰勒公式稱(chēng)為麥克勞林公式.拉格朗日型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)第23頁(yè)/共66頁(yè)24解近似公式誤差其誤差第24頁(yè)/共66頁(yè)25解第25頁(yè)/共66頁(yè)26第26頁(yè)/共66頁(yè)27第27頁(yè)/共66頁(yè)28第28頁(yè)/共66頁(yè)29第29頁(yè)/共66頁(yè)30第30頁(yè)/共66頁(yè)31常用函數(shù)的麥克勞林公式第31頁(yè)/共66頁(yè)32解第32頁(yè)/共66頁(yè)33解第33頁(yè)/共66頁(yè)34解利用泰勒展開(kāi)式求極限第34頁(yè)/共66頁(yè)35例6解第35頁(yè)/共66頁(yè)練習(xí)：36P143習(xí)題3-31.3.5.7.10.第36頁(yè)/共66頁(yè)第四節(jié)

函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性37一、函數(shù)單調(diào)性的判定法第37頁(yè)/共66頁(yè)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系38觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？第38頁(yè)/共66頁(yè)39

函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系觀察結(jié)果：函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)增加第39頁(yè)/共66頁(yè)40定理第40頁(yè)/共66頁(yè)41證應(yīng)用拉格朗日定理,得第41頁(yè)/共66頁(yè)42例1解例2解第42頁(yè)/共66頁(yè)43例3解第43頁(yè)/共66頁(yè)44例4解第44頁(yè)/共66頁(yè)45例4解也可用列表的方式，第45頁(yè)/共66頁(yè)46導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,

y-2O2-4-224x

y=x3駐點(diǎn)第46頁(yè)/共66頁(yè)47例5證利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式第47頁(yè)/共66頁(yè)48即原式成立。例6證第48頁(yè)/共66頁(yè)49由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。例7證第49頁(yè)/共66頁(yè)小結(jié)50單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.第50頁(yè)/共66頁(yè)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)51問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?NABM第51頁(yè)/共66頁(yè)52觀察與思考：函數(shù)曲線除了有上升和下降外，還有什么特點(diǎn)？第52頁(yè)/共66頁(yè)53

定義一如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的。曲線凹向的定義凹的凸的第53頁(yè)/共66頁(yè)54曲線凹向的定義凹的凸的第54頁(yè)/共66頁(yè)55圖形上任意弧段位于所張弦的上方：凸的圖形上任意弧段位于所張弦的下方：凹的第55頁(yè)/共66頁(yè)56定義二第56頁(yè)/共66頁(yè)57觀察與思考：

曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？拐點(diǎn)凹的凸的當(dāng)曲線是凹的時(shí)，

f

(x)單調(diào)增加。當(dāng)曲線是凸的時(shí)，

f

(x)單調(diào)減少。曲線凹向的判定曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。第57頁(yè)/共66頁(yè)58定理第58頁(yè)/共66頁(yè)59例8解x

yO第59頁(yè)/共66頁(yè)60例9解凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)第60頁(yè)/共66頁(yè)61第61頁(yè)/共66頁(yè)62例10解拐點(diǎn)的求法：1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2.若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào),則為拐點(diǎn),若同號(hào)則不是拐點(diǎn).第62頁(yè)/共66頁(yè)63例11解第63頁(yè)/共66頁(yè)64利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明不等式

例12證第64頁(yè)/共66頁(yè)65-2-112-2-112Ox

y

解：f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。

當(dāng)x

(-

,-1)時(shí)，f

(x)>0，函數(shù)f(x)在(-

,-1)內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)x

(