2024云南中考數學二輪專題復習 題型五 二次函數性質綜合題（課件）

題型五二次函數性質綜合題類型一函數性質計算(1)若拋物線與x軸有兩個交點，求k的取值范圍；【思維引導】由拋物線的圖象與一元二次方程的關系可知，當一元二次方程有兩個不相等的實數根時，所對應的拋物線與x軸有兩個交點，利用一元二次方程根的判別式即可求解．典例精講一題多設問已知拋物線y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1.例1解：(1)令y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5＞0，解得k＜

；(2)若直線y＝1與拋物線只有一個交點，求k的值；【思維引導】直線y＝1與拋物線只有一個交點，說明直線y＝1過拋物線的頂點，即拋物線的最小值是1，再根據拋物線的最值公式列方程求解．(2)∵直線y＝1與拋物線只有一個交點，∴直線y＝1過拋物線的頂點．∴y＝x2＋(2k－1)x＋k2－1的最小值為1.∴

＝1.解得k＝

；(3)若拋物線過點P(－2，t)、Q(4，t)，求k的值；【思維引導】由點P和點Q的縱坐標相同可知兩點關于拋物線的對稱軸對稱，據此可求出拋物線的對稱軸，再結合拋物線對稱軸的公式列方程即可求解．(3)∵點P(－2，t)、Q(4，t)的縱坐標相同，∴點P(－2，t)與點Q(4，t)關于拋物線的對稱軸對稱．∴拋物線的對稱軸為直線x＝

＝1.∴

＝1.解得k＝－

；(4)若x＜3時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；【思維引導】拋物線開口向上，當x＜3時，y隨x的增大而減小，說明拋物線的對稱軸為直線x＝3或在直線x＝3的右側，據此可列不等式求解．(4)∵拋物線開口向上，當x＜3時，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3或在直線x＝3的右側，∴

≥3.解得k≤－

；(5)若點M(－3，m)，N(2，n)在拋物線上，當m＜n時，求k的取值范圍；【思維引導】因為拋物線開口向上，故離拋物線的對稱軸越遠的點的縱坐標越大，再利用兩點的中點橫坐標將上述遠近關系轉換求解．(5)∵拋物線的開口向上，m＜n，∴點M離對稱軸的距離比點N離對稱軸的距離近．∴

＜

.解得k＞1；(6)當－1≤x≤1時，y的最大值為2，求k的值．【思維引導】拋物線開口向上，所以最大值肯定在區(qū)間端點處取得，且在離對稱軸較遠的端點處取得，因為拋物線的對稱軸不定，需討論在哪個端點處取得最大值．(6)當拋物線的對稱軸在y軸左側時，＜0，解得k＞

.此時當x＝1時，y最大，即1＋2k－1＋k2－1＝2.整理，得k2＋2k－3＝0.解得k＝－3(舍去)或k＝1；當拋物線的對稱軸在y軸右側時，＞0，解得k＜

.此時，當x＝－1時，y最大，即1－(2k－1)＋k2－1＝2.整理，得k2－2k－1＝0.解得k＝1＋(舍去)或k＝1－.當拋物線的對稱軸為y軸時，＝0，解得k＝

，此時，當x＝±1時，y最大，最大值為1＋(

)2－1＝

，不合題意．綜上所述，k的值是1或1－.1.(2023北京)在平面直角坐標系xOy中，點(1，m)和點(3，n)在拋物線y＝ax2＋bx(a>0)上．(1)若m＝3，n＝15，求該拋物線的對稱軸；針對訓練解：(1)∵m＝3，n＝15，∴將點(1，3)和點(3，15)分別代入y＝ax2＋bx中，得解得∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝－1；(2)已知點(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在該拋物線上．若mn<0，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由．(2)∵a>0，mn<0，拋物線過(0，0)，∴m<0，n>0，∴拋物線的對稱軸

<x<

，∴點(－1，y1)到對稱軸的距離

<d1<

，點(2，y2)到對稱軸的距離

<d2<

，點(4，y3)到對稱軸的距離

<d3<

，∴d2<d1<d3.∵a>0，∴拋物線上的點距離對稱軸越近，y值越小，∴y2<y1<y3.2.(2023云南逆襲卷)已知二次函數y＝ax2＋bx＋1(a≠0)．(1)若二次函數圖象的對稱軸為直線x＝1，且圖象經過點(－1，4)，求二次函數的解析式；解：(1)∵二次函數圖象的對稱軸為直線x＝1，∴－

＝1，∴b＝－2a.將點(－1，4)代入二次函數y＝ax2＋bx＋1中，得a－b＋1＝4.將b＝－2a代入，得a＋2a＋1＝4，解得a＝1，∴b＝－2，∴該二次函數的解析式為y＝x2－2x＋1；(2)若a＋b＝－1，判斷該二次函數圖象與x軸的交點個數，并求出相應的交點坐標．(2)∵a＋b＝－1，∴b＝－1－a，即y＝ax2＋(－1－a)x＋1，由題意得Δ＝(－1－a)2－4a×1＝(a－1)2≥0，∴該二次函數圖象與x軸有一個或兩個交點；令y＝0，即ax2＋(－1－a)x＋1＝0，由一元二次方程求根公式可得：x＝

，則當二次函數圖象與x軸有一個交點時，即a－1＝0時，解得a＝1，此時x1＝x2＝1，∴交點坐標為(1，0)；當二次函數圖象與x軸有兩個交點時，則a－1>0，則a>1，此時x1＝

，x2＝1，∴交點坐標為(

，0)，(1，0)．綜上所述，當二次函數圖象與x軸有一個交點時，交點坐標為(1，0)；當二次函數圖象與x軸有兩個交點時，交點坐標為(

，0)，(1，0)．類型二代數證明問題一題多設問例2已知拋物線y＝ax2＋bx－3a(a≠0)；(1)若a＋b＜0，點P(2，m)(m＞0)在拋物線上，證明：a＜0；【思維引導】由點P在拋物線上可得m與a和b的關系式，再結合m＞0和a＋b＜0即可證明．證明：(1)當x＝2時，m＝4a＋2b－3a＝a＋2b＞0.①∵a＋b＜0，∴－a－b＞0.②①＋②得b>0，∴a＜0；(2)若該拋物線的頂點在第二象限，且過點(1，1)，當a＜b時，證明：－3＜2a＋b＜－1；【思維引導】由一元二次方程根的判別式可知拋物線與x軸有兩個交點，再結合拋物線的頂點在第二象限可判斷出開口方向和對稱軸的正負；由拋物線過點(1，1)可得出a與b的關系，從而將2a＋b化為只含有一個未知數的式子，利用a＜b和對稱軸的正負即可求證．(2)∵b2－4a(－3a)＝b2＋12a2＞0，且a≠0，∴該拋物線與x軸有兩個交點．將(1，1)代入拋物線解析式，得1＝a＋b－3a，∴b＝2a＋1，∴拋物線的解析式為y＝ax2＋(2a＋1)x－3a，∵a＜b，∴a＜2a＋1，解得a＞－1，∵拋物線的頂點在第二象限，且與x軸有兩個交點．∴拋物線開口向下，即a＜0，∴拋物線的對稱軸為直線x＝－

＝－

＜0，解得a＜－

，∴－1＜a＜－

.∴－3＜4a＋1＜－1.即2a＋b的取值范圍－3＜2a＋b＜－1；(3)當a＝1，b＝2時．①若點P(x1，m)與點Q(x2，m)在拋物線上，且x1＜x2，PQ＝n，求證：－2x2＝－3n＋2；【思維引導】將點P、Q的坐標分別代入拋物線解析式中，可得兩個等式，從而表示出

和

，代入所要證明的等式中；利用點P、Q的坐標特點用x1和x2表示出n，且可求得x1＋x2的值，代入求證即可．(3)①當a＝1，b＝2時，拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.∵點P(x1，m)與點Q(x2，m)在拋物線y＝x2＋2x－3上，∴x1，x2即為方程x2＋2x－3－m＝0的兩根，∴

＝m＋3－2x1，

＝m＋3－2x2，對稱軸為直線x＝

＝－

＝－1.∴x1＋x2＝－2，∵x1＜x2，PQ＝n，∴n＝x2－x1，∴

－2x2－

＋3n－2＝m＋3－2x2－2x2－(m＋3－2x1)＋3(x2－x1)－2＝m＋3－4x2－m－3＋2x1＋3x2－3x1－2＝－x2－x1－2＝－(x1＋x2)－2＝2－2＝0.∴

－2x2＝

－3n＋2；②設n為拋物線與直線y＝－3x－4的交點的橫坐標，求證：【思維引導】利用拋物線和直線的解析式可得關于n的一元二次方程，因為結論有n4，故將方程變形、平方，再對照結論變化即可．②∵n為拋物線y＝x2＋2x－3與直線y＝－3x－4的交點的橫坐標，∴n2＋2n－3＝－3n－4，即n2＋5n＋1＝0，∴n2＋1＝－5n，∴(n2＋1)2＝(－5n)2，即n4＋2n2＋1＝25n2，∴n4－2n2＋1＝21n2，∵n2＋5n＋1＝0，∴n≠0，∴

.1.(2023省卷23題12分)已知拋物線y＝－2x2＋bx＋c經過點(0，－2)，當x<－4時，y隨x的增大而增大，當x>－4時，y隨x的增大而減小．設r是拋物線y＝－2x2＋bx＋c與x軸的交點(交點也稱公共點)的橫坐標，m＝(1)求b、c的值；針對訓練(1)解：根據題意可知拋物線y＝－2x2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－4，∴x＝

＝－4，得b＝－16.將(0，－2)代入y＝－2x2－16x＋c中，得c＝－2；【一題多解】根據題意可知，拋物線的對稱軸為直線x＝－4，設拋物線解析式為y＝－2(x＋4)2＋k，將(0，－2)代入，得－2×(0＋4)2＋k＝－2，解得k＝30，∴拋物線的解析式為y＝－2(x＋4)2＋30＝－2x2－16x－2，∴b＝－16，c＝－2；(2)求證：r4－2r2＋1＝60r2；(2)證明：由(1)可知，拋物線解析式為y＝－2x2－16x－2，且r是拋物線與x軸交點的橫坐標，令y＝0得，－2r2－16r－2＝0，即r2＋8r＋1＝0，∴r2＝－8r－1，∴r4－2r2＋1＝(－8r－1)2－2r2＋1＝64r2＋16r＋1－2r2＋1＝62r2＋16r＋2＝62r2＋2(8r＋1)＝62r2－2r2＝60r2；(3)以下結論：m<1，m＝1，m>1，你認為哪個正確？請證明你認為正確的那個結論．(3)解：m>1正確．證明：由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，且r3≠0，∴r3(r4－2r2＋1)＝60r2·r3，即r7－2r5＋r3＝60r5，∴m＝

＝

＝

.∵r是拋物線y＝－2x2－16x－2與x軸交點橫坐標，∴－2r2－16r－2＝0，解得r＝－4±<0，∴

>0，∴m>1.【一題多解】m＞1正確．證明：由m＝

，令p＝r9＋r7－2r5＋r3＋r－1，q＝r9＋60r5－1，則p－q＝(r9＋r7－2r5＋r3＋r－1)－(r9＋60r5－1)＝r7－62r5＋r3＋r＝r(r6－62r4＋r2＋1)．由(2)可知，r4－2r2＋1＝60r2，即r4－62r2＋1＝0，∴p－q＝r[r2(r4－62r2＋1)＋1]＝r[r2·0＋1]＝r，∵r是拋物線y＝－2x2－16x－2與x軸交點的橫坐標，∴－2r2－16r－2＝0，∴r＝－4±<0，∴p－q＝r<0，∴p<q，且p，q都為負數，∴m＝

>1.2.已知二次函數y＝ax2＋4ax＋1的頂點為M(－2，－3)，其圖象與一次函數y＝－mx＋5的圖象交于點A、B(點A在點B左側)．(1)求二次函數的解析式；(1)解：把點M(－2，－3)代入y＝ax2＋4ax＋1中，得4a－8a＋1＝－3，解得a＝1，∴二次函數的解析式為y＝x2＋4x＋1；(2)若點P(t，0)在拋物線上，求證：；(2)證明：∵點P(t，0)在拋物線上，∴t2＋4t＋1＝0.