2024徐州中考數(shù)學二輪重難題型專題訓練 題型一 規(guī)律探索題 (含答案)

2024徐州中考數(shù)學二輪重難題型專題訓練題型一規(guī)律探索題基礎小練(1)若一列正整數(shù)：1，2，3，4，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是______，這n(n≥1)個數(shù)的和為______．(2)若一列數(shù)：1，3，5，7，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是______，這n(n≥1)個數(shù)的和為______．(3)若一列數(shù)：2，4，6，8，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________，這n(n≥1)個數(shù)的和為________．(4)若一列數(shù)：－1，1，－1，1，－1，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(5)若一列數(shù)：1，－1，1，－1，1，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．能力提升(6)若一列數(shù)：1，4，9，16，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(7)若一列數(shù)：2，5，10，17，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(8)若一列數(shù)：0，3，8，15，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(9)若一列數(shù)：4，7，10，13，17，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．(10)若一列數(shù)：2，6，12，20，…，n，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個數(shù)是________．類型一圖形累加型典例精講例下列圖形都是由同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的，其中圖①中一共有3個三角形，圖②中一共有6個三角形，圖③中一共有10個三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則圖⑨中三角形的個數(shù)為________，圖中三角形的個數(shù)為________．例題圖55，eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)【解析】設第一個圖形中三角形的個數(shù)為3＝1＋2，第二個圖形中三角形的個數(shù)為6＝1＋2＋3，第三個圖形中三角形的個數(shù)為10＝1＋2＋3＋4，…，第n個圖形中三角形的個數(shù)為an，根據(jù)題意列表如下：圖序n三角形個數(shù)an的值11＋221＋2＋331＋2＋3＋4……n1＋2＋3＋…n＋n＋1由列表可知，圖⑨中三角形的個數(shù)為1＋2＋3＋…＋9＋10＝55，圖中三角形的個數(shù)為1＋2＋3＋…n＋n＋1＝eq\f(（n＋1）（n＋2）,2).針對訓練1.如圖是以菱形為基本圖形組成的一組有規(guī)律的圖案，圖①中有3個菱形，圖②中有5個菱形，圖③中有7個菱形，…，按此規(guī)律擺下去，圖中菱形的個數(shù)為________．第1題圖2.下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第________個圖形共有210個小球．第2題圖3.如圖，每個圖案均由大小相同的圓和正三角形按規(guī)律排列，依照此規(guī)律，第n個圖形中正三角形的個數(shù)比圓的個數(shù)多________個．(由含n的代數(shù)式表示)第3題圖4.下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定的規(guī)律拼接而成，依照此規(guī)律，第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為________．第4題圖5用大小相等的黑白棋子組成下列一組圖形：第5題圖按照這樣的規(guī)律擺下去，若第n個圖形中有416枚白棋，則n的值為________．6.海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質文化遺產(chǎn)名錄．如圖是黎錦上的圖案，每個圖案都是由相同菱形構成的，若按照第1個圖至第4個圖中的規(guī)律編織圖案，則第5個圖中有______個菱形，第n個圖中有________個菱形(用含n的代數(shù)式表示)．第6題圖類型二圖形成倍遞變型典例精講例如圖，四邊形ABC1D是菱形，且AC1＞BD，∠BAD＝60°，AB＝2，以對角線AC1為邊作菱形AC1C2E，使點D在對角線AC2上，再以對角線AC2為邊作菱形AC2C3F，使點E在對角線AC3上，…，如此下去，則對角線ACn的長度為________．例題圖【答案】2(eq\r(3))n【解題步驟】分析圖形可知，所有圖形都是由如圖所示的基本模型構成，故求出AC1，AC2的長度即可找出ACn長度的規(guī)律．步驟一求AC1的長：由基本模型圖可知，菱形對角線的交點分別為O1、O2，∵四邊形ABC1D是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，∴∠C1AB＝30°，∴在Rt△ABO1中，cos30°＝eq\f(AO1,AB)，∴AO1＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴AC1＝2AO1＝2eq\r(3).步驟二求AC2的長：在Rt△AC1O2中，cos30°＝eq\f(AO2,AC1)，∴AO2＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3，∴AC2＝2AO2＝6＝2eq\r(3)×eq\r(3)＝2(eq\r(3))2，步驟三總結，同理可得ACn的長度：同理可得AC3＝2(eq\r(3))3，AC4＝2(eq\r(3))4，…，依此類推，∴ACn＝2(eq\r(3))n.徐州近年中考真題精選1.如圖，已知OB＝1，以OB為直角邊作等腰直角三角形A1BO，再以OA1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，則線段OAn的長度為________．第1題圖2.如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，則第n個正方形的邊長為________．第2題圖3.如圖，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝eq\r(3).過點A1作A1B1⊥OM，交ON于點B1，以點B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點A2；過點A2作A2B2⊥OM，交ON于點B2，以點B2為圓心，B2O為半徑畫弧，交OM于點A3；…；按此規(guī)律，所得線段A20B20的長等于________．第3題圖針對訓練1.如圖，在邊長為1的正方形OABC中，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，以點O為頂點在扇形OAC中作第2個正方形OA1B1C1，使點B1在eq\o(AC,\s\up8(︵))上，點C1在邊OC上；再以點O為圓心，OA1長為半徑畫弧，以點O為頂點在扇形OA1C1中作第3個正方形OA2B2C2，使點B2在eq\o(A1C1,\s\up8(︵))上，點C2在邊OC上；…；則第2022個正方形的邊長是________．第1題圖2.如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，AC為對角線，記△ABC的面積為S1，取AC中點O，連接DO，記△COD的面積為S2，取AD中點E，連接OE，記△AOE的面積為S3，取OD的中點F，連接EF，記△EOF的面積為S4，如此下去，則S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝________．第2題圖3.如圖①，已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1邊長按原法延長一倍后得到正方形A2B2C2D2，如圖②；…；以此下去，則正方形A4B4C4D4的面積為________．第3題圖4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\r(2)，CD⊥AB，垂足為D，以BD為一條直角邊向三角形外作第二個等腰Rt△BDE，DF⊥BE，再以BF為一條直角邊向三角形外作第三個等腰Rt△BFG，如此下去，如果Rt△ABC的斜邊記為c1，上述方法所作的等腰直角三角形的斜邊依次記為c2，c3，c4，…，cn，則c2022＝________.第4題圖5.如圖①，正六邊形ABCDEF的邊長為1，把它的各邊延長一倍得到新正六邊形A1B1C1D1E1F1(如圖②)，稱為第一次擴展；把正六邊形A1B1C1D1E1F1邊按原方法延長一倍得到正六邊形A2B2C2D2E2F2(如圖③)，稱為第二次擴展；如此下去，…，第n次擴展得到正六邊形AnBnCnDnEnFn，則eq\f(A1B1,AB)＝________；第n次擴展得到正六邊形AnBnCnDnEnFn的面積是________．第5題圖6.如圖，點B1在直線l：y＝eq\f(1,2)x上，點B1的橫坐標為2，過點B1作B1A1⊥l，交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點A4；…；按照這個規(guī)律進行下去，則第n個正方形AnBnBn＋1Cn的邊長為________(結果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)．第6題圖參考答案基礎小練(1)n；eq\f(n（n＋1）,2).(2)(2n－1)；n2.(3)2n；(n2＋n)．(4)(－1)n.(5)(－1)n＋1.能力提升(6)n2.(7)(n2＋1)．(8)(n2－1)．(9)(3n＋1)．(10)n(n＋1)．類型一圖形累加型針對訓練1.(2n＋1)【解析】由題意可知，圖①中有2×1＋1＝3個菱形，圖②中有2×2＋1＝5個菱形，圖③中有2×3＋1＝7個菱形，∴圖中有(2n＋1)個菱形．2.20【解析】第1個圖中有1個小球，第2個圖中有1＋2＝3個小球，第3個圖中有1＋2＋3＝6個小球，第4個圖中有1＋2＋3＋4＝10個小球，則第n個圖中有1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)個小球，令210＝eq\f(n（n＋1）,2)，則n＝20.3.(2n＋1)【解析】第一個圖中有1個圓，有1×3＋1＝4個三角形，第二個圖中有2個圓，有2×3＋1＝7個三角形，第三個圖中有3個圓，有3×3＋1＝10個三角形，以此類推，第n個圖中有n個圓，有n×3＋1個三角形，則第個圖中三角形的個數(shù)比圓的個數(shù)多n×3＋1－n＝(2n＋1)個．4.(3n＋2)【解析】圖①中白色正方形的個數(shù)為：2＋3×1＝5，圖②中白色正方形的個數(shù)為：2＋3×2＝8，圖③中白色正方形的個數(shù)為：2＋3×3＝11，…，則第n個圖形中白色正方形的個數(shù)為：2＋3n.5.19【解析】第1個圖形中白棋的個數(shù)為2×3－4＝2，第2個圖形中白棋的個數(shù)為3×4－4＝8，第3個圖形中白棋的個數(shù)為4×5－4＝16，第4個圖形中白棋的個數(shù)為5×6－4＝26，…，∴第n個圖形中白棋的個數(shù)為(n＋1)(n＋2)－4，當(n＋1)(n＋2)－4＝416時，解得n＝19(負值已舍去)．6.41，(2n2－2n＋1)【解析】觀察題圖可以發(fā)現(xiàn)：第1個圖中菱形個數(shù)為1＝12＋02，第2個圖中菱形個數(shù)為5＝22＋12，第3個圖中菱形個數(shù)為13＝32＋22，第4個圖中菱形個數(shù)為25＝42＋32，則第5個圖中菱形個數(shù)為52＋42＝41個，以此規(guī)律可得第n個圖中菱形個數(shù)為n2＋(n－1)2＝(2n2－2n＋1)個．類型二圖形成倍遞變型徐州近年中考真題精選1.(eq\r(2))n【解析】由等腰直角三角形的性質可知，OA1＝eq\r(2)OB＝eq\r(2)，OA2＝eq\r(2)OA1＝(eq\r(2))2，OA3＝eq\r(2)OA2＝(eq\r(2))3，…，OAn＝(eq\r(2))n.2.(eq\r(2))n－1【解析】第一個正方形的邊長為1，它的對角線為第二個正方形的邊長，即為eq\r(2)，第二個正方形的對角線為第三個正方形的邊長，即為eq\r(2)×eq\r(2)＝(eq\r(2))2，同理，第四個正方形的邊長為(eq\r(2))3，以此規(guī)律可得，第n個正方形的邊長為(eq\r(2))n－1.3.219【解析】∵B1O＝B1A2，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝eq\f(1,2)B2A2，∴A2B2＝2A1B1，同理A3B3＝2A2B2＝22A1B1，…，則A20B20＝219A1B1，∵A1B1＝OA1·tan30°＝1，∴A20B20＝219.針對訓練1.(eq\f(\r(2),2))2021【解析】如解圖，連接OB，則正方形的頂點B1，B2，B3，…都在OB上，第2個正方形的對角線OB1＝OA＝1，邊長為1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)；第3個正方形的對角線OB2＝OA1＝eq\f(\r(2),2)，邊長為eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝(eq\f(\r(2),2))2，…，第n個正方形的邊長為(eq\f(\r(2),2))n－1，∴第2022個正方形的邊長為(eq\f(\r(2),2))2021.第1題解圖2.1－eq\f(1,22022)【解析】由題意可得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，S4＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，…，∴Sn＝eq\f(1,2n)，∴S1＋S2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,4)＝1－S2，S1＋S2＋S3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝1－eq\f(1,8)＝1－S3，S1＋S2＋S3＋S4＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝1－eq\f(1,16)＝1－S4，∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝1－S2022＝1－eq\f(1,22022).3.625【解析】最初邊長為1，面積1，延長一次邊長為eq\r(5)，面積5，再延長一次邊長為51＝5，面積52＝25，下一次延長邊長為5eq\r(5)，面積53＝125，以此類推，當n＝4時，正方形A4B4C4D4的面積為54＝625.4.eq\f(（\r(2)）2021,22020)【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\r(2)，∴c1＝2.∵CD⊥AB，垂足為D，以BD為一條直角邊向三角形外作第二個等腰Rt△BDE，c2＝eq\r(2)，再以BF為一條直角邊向三角形外作第三個等腰Rt△BFG，c3＝1，如此下去，c4＝eq\f(\r